mu
.pdf5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений
x (t) y 7x,
y (t) 2x 5y.
6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-
го члена ряда |
u |
|
|
|
(1)n |
|
и проверьте, выполняется ли необходимый |
|||||||||||||||
n |
(n 1)! |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
признак сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. Исследуйте числовые ряды на сходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|||||||
7.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
7.2. |
|
|
|
|
|
|
; |
||
3n |
2 |
2n |
4 |
|
|
(0,5) |
n |
|
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4n 3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
(1)n n |
|
|
||||||||||
7.3. |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
7.4. |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его поведение на концах интервала сходимости:
|
( x 3)n n |
|
|
(1)n 1 |
(x 2)n |
||
8.1. |
|
|
; |
8.2. |
|
|
. |
2 |
n |
n |
|
||||
n 1 |
|
|
n 1 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
9. Разложите функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:
9.1. |
y e2 x 1, a 1; |
|
|
9.3. |
y ln(3 x), a 0; |
|||
9.4. |
y cos2 3x, a |
|
; |
9.4. |
y |
|
1 |
, a 0. |
|
|
x |
||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
Вариант № 12
1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:
1.1. (8 ex )dy yexdx 0 ; |
1.4. |
y y ctg x 2x sin x ; |
||||||||
1.2. (1 e2 x ) yy ex ; |
1.5. |
y |
2 y2 |
4 |
y |
. |
||||
x2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
1.3. y tg |
y |
|
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
61
2. Решите задачу Коши:
|
|
y xy x3 , |
y(0) 3. |
|
3. Найдите общее решение дифференциального уравнения: |
||||
3.1. y |
4 |
; |
|
3.4. y 4y 29y 0; |
|
|
|||
|
x4 |
|
|
|
3.2. y 5y 0 ; |
|
3.5. y y 2e x . |
||
3.3. y 10y 25y 0 ; |
|
|
||
4. Решите задачу Коши: |
|
|
||
|
|
y y sin 2x, |
y( ) 1, y ( ) 1. |
5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:
x (t) x y,y (t) x 3y.
6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-
го члена ряда |
un |
|
|
n! |
и проверьте, выполняется ли необходимый |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
2n 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
признак сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. Исследуйте числовые ряды на сходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
3 |
1 |
2n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.1. |
|
|
|
|
|
|
; |
|
7.2. |
|
|
|
|
; |
|||
(5n 4)(4n |
1) |
|
4n |
3 |
2 |
||||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||||||
7.3. n |
1 |
; |
|
|
|
|
7.4. |
|
(1) |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 1 |
2 (n 1)! |
|
|
|
|
n 1 |
n(n 1) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его поведение на концах интервала сходимости:
|
( 1)n ( x 2)n |
5n xn |
|
|
|
|||||||||
8.1. |
|
|
|
|
|
; |
8.2. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
3 n |
||||||||||||
n 1 |
|
|
1 |
n 1 |
|
|
|
|||||||
9. Разложите функцию |
y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки |
|||||||||||||
x a и укажите интервал сходимости полученного ряда: |
||||||||||||||
9.1. y sin |
x |
|
, a 0; |
9.2. y |
2 |
|
|
, a 2; |
||||||
|
|
|
x |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
62
9.3. y e 3x , a 2; |
9.4. y x ln(1 x2 ), a 0. |
Вариант № 13
1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:
1.1. x ydy yx2dy xy2dx ; |
|
1.4. y |
|
y2 |
|
|
2 y |
2 ; |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x |
|||
1.2. y(4 ex ) ex y 0; |
|
|
|
1.5. y |
|
y |
ex (x 1). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.3. y tg |
y |
|
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Решите задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
x2 2, |
y( 1) |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Найдите общее решение дифференциального уравнения: |
|
|
|
||||||||||||||||
3.1. y x |
2 |
|
; |
|
|
|
|
3.4. 25y 10y y 0 ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. 3y 2y 8y 0 ; |
|
|
|
3.5. y 6y 9y 2x 3; |
|||||||||||||||
3.3. y 6y 13y 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. Решите задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y 2 y 10 y 10x2 |
18x 6, |
y(0) 1, y (0) 3,2. |
5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:
x (t) x y,
y (t) 4x 3y.
6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле по извест-
ной формуле для общего члена ряда un |
1 |
и проверьте, |
|
|
|||
(5n 4)(4n 1) |
|||
|
|
выполняется ли необходимый признак сходимости.
63
7. Исследуйте на сходимость числовые ряды:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
7.1. |
|
|
; |
|
|
|
7.2. |
|
; |
|
|||
2 |
n |
|
|
|
|
n |
2 |
|
|||||
n 1 |
n! |
|
|
|
|
n 1 |
n 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4n |
3 3n |
|
(1)n (2n 2) |
|
|||||||
7.3. |
|
|
|
|
|
; |
7.4. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
n(n 3) |
|||||||
n 1 |
|
n 2 |
|
n 1 |
|
|
8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте поведение ряда на границах интервала сходимости:
(n2 1)(x 7)n |
|
xn |
|
|
||||||||
8.1. |
|
|
|
|
|
; |
8.2. |
|
|
|
|
. |
|
7 |
n |
|
(n 2) |
n |
|||||||
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Разложите функцию |
y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки |
|||||||||||
x a и укажите интервал сходимости полученного ряда: |
||||||||||||
9.1. y e x , a 3; |
|
|
9.2. y cos |
x |
, a 3 ; |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
9.3. y |
1 |
, a |
0; |
9.4. y ln(4 x), a 2. |
||||||||
|
||||||||||||
2x 3 |
Вариант № 14
1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
4 y |
|
||
1.1. |
ln x 3 2 y |
2 xyy 0; |
1.4. y |
|
3; |
||||||||||||
x2 |
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5. y |
|
y |
xsin x. |
||||||
1.2. |
|
4 y2 dx ydy x2 ydy ; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
1.3. |
y sin2 |
5y |
|
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2. Решите задачу Коши:
y y tg x cos |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
x, |
y |
|
|
. |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
3. Найдите общее решение дифференциального уравнения: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. |
y |
3 x2 |
; |
3.4. 4 y y 0 |
; |
||
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
64
3.2. |
y 7 y 6y 0; |
3.5. y 3y 2y 2ex . |
3.3. |
9 y 6 y y 0 ; |
|
4. Решите задачу Коши: |
|
|
|
y 2 y ex (x 3), |
y(0) 2, y (0) 2. |
5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:
x (t) 6x y,y (t) 3x 2 y.
6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-
го члена ряда u |
|
|
n 1 |
|
и проверьте, выполняется ли необходимый при- |
||||||||||||||
n |
n! |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
знак сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. Исследуйте числовые ряды на сходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 4 |
|
|
|
|||
7.1. |
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
7.2. |
|
|
; |
|
||||
n |
2 |
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
n 2n 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7.3. |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
7.4 ( 1) |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
5n 2 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
3n |
1 |
8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его поведение на концах интервала сходимости:
( x 5)n |
|
n(x 4)n |
|||||||
8.1. |
|
|
|
|
|
; |
8.2. |
|
. |
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|||||||||
n 1 |
n |
n 1 |
3 |
|
|||||
9. Разложите функцию |
y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки |
||||||||
x a и укажите интервал сходимости полученного ряда: |
|||||||||
9.1. y sin2 x, a 0; |
9.2. y e2 x 1, a 1; |
||||||||
9.3. y |
1 |
|
, a 3; |
9.4. y x ln(x 5), a 0. |
|||||
|
|||||||||
4 x |
65
Вариант № 15
1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:
|
|
|
|
|
|
|
3y |
|
y |
|
||
1.1. |
3 x2 y xy2 4x 0 ; |
1.4. y sin2 |
|
; |
||||||||
2x |
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1.5. y |
2xy |
|
|
|||||
1.2. x |
|
4 y2 dx 2 y(x2 5)dy 0 ; |
|
1 x2. |
||||||||
|
1 x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.y 2 y2 3y 3;
x2 x
2. Решите задачу Коши:
|
|
y |
3y |
|
2 |
, |
y(1) 1. |
||
|
|
x |
|
x3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Найдите общее решение дифференциального уравнения: |
|||||||||
3.1. y |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
3.4. y 2y 10y 0 ; |
3x3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. y 7 y 6y 0; |
|
|
|
|
|
|
3.5. 2y y y 4xex . |
||
3.3. 9 y 6 y y 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Решите задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 y 16 y 15y 4e |
3 |
x , |
|
|
||||
|
|
|
y(0) 3, y (0) 5,5. |
||||||
|
2 |
|
5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:
x (t) x y,
y (t) 8x 5y.
6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-
го члена ряда un 2n и проверьте, выполняется ли необходимый при- n!
знак.
66
7. Исследуйте числовые ряды на сходимость:
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
7.1. |
|
|
|
; |
7.2. |
5 |
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
4n 3 |
|||||||||
n 1 |
n n 3 |
|
n 1 |
|
|
|||||||||
|
|
3n 2 |
|
3n |
|
( 1) |
n |
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||||
7.3. |
|
|
|
; |
7.4. |
|
|
|
|
|
. |
|||
n 1 |
|
2n 1 |
|
n 1 |
n 2 |
8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его поведение на концах интервала сходимости:
|
(x 2)n n |
|
|
(1)n 1(x 4)n |
||
8.1. |
|
|
; |
8.2. |
|
. |
2 |
n |
|
||||
n 1 |
|
|
n 1 |
3n 2 |
||
|
|
|
|
|
||
9. Разложите функцию |
y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки |
x a и укажите интервал сходимости полученного ряда:
9.1. |
y xe 2 x , a 0 ; |
|
|
9.2. y ln(x 5), a 3; |
|||
9.3. |
y cos2 x, a |
|
; |
9.4. y |
|
1 |
, a 2. |
2 |
|
x |
|||||
|
|
|
4 |
|
Вариант № 16
1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:
1.1. y ln y xy 0 ; |
|
|
1.4. |
y |
|
y |
ey |
2 x ; |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 2x |
y 1. |
||||||
1.2. |
3 y2 dx ydy x2 ydy ; |
1.5. |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||
1.3. |
2 y |
y2 |
8 |
y |
8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Решите задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 2x |
y 1, |
y(1) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Найдите общее решение дифференциального уравнения: |
|
||||||||||||||||||
3.1. y |
|
3 |
|
; |
|
|
3.4. 9 y 6 y y 0 ; |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2x |
|
|
||||||||||||||||
3.2. y 13y 12y 0 ; |
|
|
3.5. y 3y 2cos x . |
67
3.3. y 6y 8y 0;
4. Решите задачу Коши:
y 5y 6 y e2 x , |
y(0) 0, y (0) |
1 |
. |
|
9 |
||||
|
|
|
5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:
x (t) 4x 5y,y (t) 4x 4 y.
6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
го члена ряда u |
n |
|
и проверьте, выполняется ли необходимый |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
признак. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. Исследуйте числовые ряды на сходимость: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
7.1. |
|
|
|
; |
|
|
|
7.2. arcsinn |
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3n |
2 |
4 |
|
|
|
|
n |
||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7.3. |
|
; |
|
|
|
|
|
7.4. ( 1)n 1 |
|
|
. |
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2n 3 |
8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его поведение на концах интервала сходимости:
|
n |
|
2) |
n |
||||||
8.1. |
( x 1) |
|
; |
8.2. |
(x |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 1 n4n 1 |
|
|
n 1 |
n2 |
|
|
|
|||
9. Разложите функцию |
y f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки |
|||||||||
x a и укажите интервал сходимости полученного ряда: |
||||||||||
9.1. y 3 8 x, a 0; |
9.2. y sin x cos x, a ; |
|||||||||
9.3. y e4 x 1, a 2; |
9.4. y |
|
1 |
|
, a 3. |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
2x |
68
Вариант № 17
1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:
|
|
|
|
|
y xy2 x 0 ; |
|
1.4. y |
y |
e2 y x ; |
|||||||
1.1. 9 x2 |
|
|||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.2. 6xdx 6 ydy 2x2 ydy 3xy2dx ; |
|
1.5. y |
|
y |
|
x2. |
||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.3. y |
y2 |
|
|
|
y |
1; |
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
x2 |
, |
y(1) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3. Найдите общее решение дифференциального уравнения: |
||||||||||||||||
3.1. y |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
3.4. y 2y y 0; |
|||||||
4x3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.2. y 3y 0 ; |
|
3.5. y 3y 4y 2x 5. |
||||||||||||||
3.3. y 2y 5y 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. Решите задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3y 4 y 17sin x, |
y(0) 4, y (0) 0. |
5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений:
x (t) 3x 2 y,y (t) 2x 2 y.
6. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-
го члена u |
|
|
nn |
и проверьте, выполняется ли необходимый признак. |
|||||||
n |
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. Исследуйте числовые ряды на сходимость: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|||
7.1. |
|
|
|
; |
7.2. |
|
n5 |
|
; |
||
|
|
|
|
|
(n |
|
|||||
n 1 |
(n 2)(n 2) |
|
n 1 |
1)! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
|
|
2n |
2n 1 |
|
n |
n |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
7.3. |
|
|
; |
7.4. (1) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
2n |
3 |
|
||||||
n 1 |
|
3n 1 |
|
n 1 |
|
|
1 |
8. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте его поведение на концах интервала сходимости:
|
( x 2)n |
|
|
|
(x 3)n |
|
||||||||||
8.1. |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
8.2. |
|
|
|
|
. |
|
n |
2 |
4 |
n |
|
n |
n |
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Разложите функцию y f (x) |
в ряд Тейлора в окрестности точки |
|||||||||||||||
x a и укажите интервал сходимости полученного ряда: |
|
|||||||||||||||
9.1. y sin |
x |
cos |
x |
, a 3 ; |
9.2. y |
9 x2 , a 0; |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.3. y ln(2x 3), a 1; |
9.4. y |
4 |
, a |
2. |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
3 x |
Вариант № 18
1. Найдите общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
cos2 |
2 y |
|
|||
1.1. y2 5 y y |
2x2 1 0 ; |
1.4. y |
; |
||||||||||||||||
|
x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
1.2. (e4 x 5)dy y3e4 xdx 0; |
1.5. y |
|
|
|
y |
x2 |
2x. |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.3. y |
y2 |
|
|
3y |
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Решите задачу Коши:
|
|
y |
y |
|
x 1 |
ex , |
y(1) e. |
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
3. Найдите общее решение дифференциального уравнения: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. y 55 x3 ; |
|
|
|
|
3.4. 25y 10y y 0 ; |
||
3.2. 2y y y 0; |
|
|
|
|
3.5. y y x 1. |
||
3.3. y 9 y 0; |
|
|
|
|
|
70