PH_1_Lecture_2_2013

Y

vr

v

ϕ

r

r

r

vr

er

er

ϕ

ϕ

0

X

Векторы

vr

и

vrϕ

- взаимно перпендикулярны, поэтому

r

r r r2

2

r 2

r 2

v =

2

2

=

• 2

+r

2

• 2

= v

vr

+vr

r

ϕ

v v = v

= (vr )

+(vϕ )

Ускорение a =a(t) (acceleration)

Быстрота изменения вектора скорости со временем – производная v по t - ускорение частицы (МТ):

r

v

=

dv

r•

a = lim

t

dt

= v

t→0

•

•

•

•

v =vx +vy +vz

vr = vrx +vry +vrz

r•

d

r

r

dv

x

r

d dx

r

d 2 x

r ••

vx =

(ex vx )= ex

= ex

= ex

= ex x

dt

dt

dt2

dt dt

ar = erx •x•+ ery •y•+ erz •z•

Если

vr = v ev = v τr

,

- орт касательной к траектории, направлен в сторону

τ

vr

, то

d

•

•

ar =

(v τr)= v τr

+v τr

dt

Тангенциальное ускорение

Нормальное ускорение

коллинеарно

τr

,

перпендикулярно

τr

,

по касательной к траектории

траектории

	•
ar			ar	= v τr•
	= v τr
τ			n
		a = aτ +arn

Свойства aτ и arn (траектории – плоские кривые)

•

•

ar

•

arτ

Тангенциальное ускорение

= v τr

=

v τr

=

v

τ

•

arτ

v > 0

направлен по

(по

), скорость увеличивается

•

, вектор

τ

v

	•
			arτ		τ
•	v <0	, вектор		направлен противоположно		(против	v	), скорость
уменьшается

Нормальное ускорение arn = v τr•

τr•		- быстрота изменения с		направления касательной к траектории Æ
			t
arn
		определяется искривлением траектории и скоростью перемещения по
		ней
Кривизна плоской кривой:
					C = lim	ϕ	=	dϕ
						s		ds
					s→0

ϕ - угол между касательными к траектории в 2-х точках:

s

τ

R

ϕ τ '

Радиус кривизны в данной точке кривой (траектории):

R =	1	dϕ −1
		=
	C
			ds

R - центр окружности, которая в данном месте кривой сливается с ней на

ее бесконечно малом участке s . Центр этой окружности – центр кривизны для данной точки кривой.

Вычисляем arn = v τr• . Производная единичного вектора τ (см. рис.):

τr• = ddϕt nr

n - орт нормали к траектории, направлен в сторону поворота. При движении МТ по траектории (см. рис.)

dϕ	≈	ϕ	≈	s R	=	1		s	= v	= v C
dt		t		t		R		t	R

Быстрота поворота вектора τ - величина τr• - пропорциональна кривизне

траектории (или R1 ) и скорости частицы. Итог: нормальное ускорение

arn = v τr• = v2 nr

R

Полное ускорение = сумма тангенциального и нормального:

r	r	r		•	r	+	v2 r
a	= a	+ a	n	= v τ				n
	τ						R

Модуль ускорения:

a =	a	2	+a	2	=		• 2	v2		2
				n		v		+
	τ								R

Примеры:

• Прямолинейное движение: радиус кривизны R →∞, arn = v τr• , τr• → 0 ,

an →0 - нормальное ускорение отсутствует

• Равномерное (с постоянной по величине скоростью) движение по

2

•

an = v

= const

окружности:

ar = v τr = 0

,

τ

R

Примеры вычислений

Вычисление пути

за время

(t2 −t1 )

:

s

N

s →

s1 +

s2 + s3.... + sN = ∑ sk

(t2 −t1 )→ t1 + t2 +

t3.... + tN

k =1

sk vk

tk

Среднее значение скорости в течение

tk

tk

- промежуток времени

									N
При	N	→∞	tk	→	0		s → lim		∑vk	tk
		,						tk →0	k =1
Путь s :
Определенный интеграл от функции v(t) в пределах от										t1 до t2 :
v(t)								t2
							s =	∫v(t)dt , v(t)= vr(t)
vk								t1
							Путь , пройденный за время
							от t1 до t2	= площадь,
	t		tk	t2		t	ограниченная кривой v(t), осью				t
	1						и прямыми	t =t1 и t =t2

Вектор перемещения частицы из положения r (t1 ) в r (t2 ):

	r	= t2	r( )	= t2	r
						не путать с	s	!
	r12	∫v t dt		∫dr
		t1		t1

Вычисление скорости (известно ускорение и значение скорости в

начальный момент времени t =t0 ):

vr(t)= vr0 (t0 )+ ∫t ar(t')dt'

t0

Единицы измерений: система СИ (International System of Units, SI)

Расстояние: метр (м) Время: секунда (с) Скорость: м/с Ускорение: м/с2

Задачи к ЛК-2:

1. Радиусвектор МТ r (t)= R cosωt ex +R sin ωt ey , где R и ω - постоянные. Докажите, что в любой момент времени r v , a v . 2. В задаче 1 найти уравнение траектории МТ и путь МТ за промежуток времени от t = 0 до t = 2πω.