ИДЗ1
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 11 |
|
|
|
|
||||
1. Вычислить определители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
2 3 1 |
, |
|
|
|
б) |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 3 4 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 1 |
|
|
3 5 4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 1 |
|
и |
|
|
3 4 2 |
|
|
|
|
||||
2. Даны матрицы A = |
|
B = |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 2 |
|
|
|
|
1 1 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найти: |
а) матрицу 4A − 2B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
б) матрицу |
AB − BA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
в) матрицу |
A −1 . |
Сделать проверку. |
|
|
|
||||||||||||
3. Решить матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 1 |
|
|
|
3 − 1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 − 1 |
|
6 2 − 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − 1 |
|
|
|
|
||||||||
а) |
|
|
X = |
|
, |
|
|
|
б) X |
1 |
= |
6 1 1 . |
|||||||||
|
3 2 |
|
|
|
5 − 1 |
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
8 − 1 4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 1 |
|
||
4. Найти f (A) , если f ( x) = x 2 |
− x − 1 , |
A |
|
3 |
1 2 |
|
|
||||||||||||||
= |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Перемножить матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 − 1 − 1 |
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
||||
C = |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
1 |
− 3 |
|
|
|
− 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Решить систему методом Крамера и матричным методом: |
|
||||||||||||||||||||
3x |
+ |
2x |
|
+ |
x |
|
= |
|
5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
+ 3x2 |
+ x3 |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
+ |
x2 |
+ 3x3 |
= 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21
7. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
2x1 |
+ |
x3 |
+ 3x4 |
= 1, |
x1 |
+ x2 |
− 3x3 |
= −1, |
|||
|
x + x |
− |
x |
= −1, |
2x |
+ x |
|
− 2x |
= 1, |
||
а) |
1 |
2 |
|
4 |
= 3, |
б) |
1 |
+ x |
2 |
3 |
= 3, |
|
|
− 2x + x |
+ 5x |
|
x |
|
+ x |
||||
|
2 |
3 |
4 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
||
|
x1 |
− 3x2 |
+ 2x3 |
+ 9x4 |
= 5; |
|
x1 |
+ 2x2 |
− 3x3 |
= 1. |
8.Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:
|
3x1 |
|
+ 2x2 |
|
− 7 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
|
− x |
|
+ |
x |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2x |
|
− |
x |
|
|
|
− |
|
x |
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2x1 |
|
+ 3x2 |
|
− 2x3 |
|
|
+ x4 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x1 |
|
+ x2 |
|
+ 3x3 |
|
|
− x 4 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
3x + 2x |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
4 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3x + x |
|
|
+ 9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4x1 |
|
+ 2x2 + 7 x3 |
|
|
− 2x4 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
9. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
а) A = |
− 3 4 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) A = |
3 0 2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = {1;0;0} , |
|
|
|
|
2 = {0;1;0} , |
|
|
|
3 = {0;0;1} заданы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
Относительно |
|
базиса |
|
|
|
e |
|
|
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 , |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
векторы |
a |
a |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = {1;1;1} , |
|
|
= {1;1;2}, |
|
|
3 = {1;2;3}, |
|
|
|
|
|
= {6;9;14} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
2 |
|
a |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) доказать, что векторы |
a |
a |
a |
|
образуют базис пространства |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) записать матрицу A перехода от базиса |
|
|
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e |
e |
e |
3 |
|
к базису |
a |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B перехода от базиса |
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
|
|
к базису |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
и матрицу |
|
|
|
a |
a |
a |
3 |
e |
e |
e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в базисе |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) найти координаты вектора |
x |
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
г) |
записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в |
базисах e1 , e2 , e3 и a1 , a 2 , a 3 .
22
ВАРИАНТ 12
1. Вычислить определители:
|
|
1 |
− 2 |
|
3 |
|
|
|
|
0 |
5 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
3 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
2 |
3 − 4 |
, |
|
|
б) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
7 2 4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
− 2 |
− 5 |
|
|
|
|
0 |
4 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 − 8 − 5 |
|
|
1 |
|
0 0 |
|
|
|||||||||
2. Даны матрицы |
A = |
− 4 |
7 − 1 |
и B = |
2 |
|
1 − 1 . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 3 5 1 |
|
|
|
0 − 2 |
|
1 |
|
|
||||||||
Найти: а) матрицу − 2A + 5B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
б) матрицу |
AB − BA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
в) матрицу |
A −1 . |
Сделать проверку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Решить матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 0 |
−6 6 |
|
1 − 3 |
|
2 |
|
1 |
|
5 − 5 |
|||||||||||
а) |
|
|
|
3 − 4 |
|
|
|
|
|
3 10 |
|
|
|||||||||||
X |
|
= |
|
, |
б) |
−1 X |
= |
0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
− 4 3 |
−8 9 |
|
|
2 − 5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
9 |
− 7 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
− 1 |
|
|
|||
4. Найти |
f (A) , если f ( x) = 2x 2 + 4x − 3 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
, A = |
|
0 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
5. Перемножить матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
1 1 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
D = |
− 3 |
|
3 |
. |
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
3 |
− 5 |
|
|
||||||||||
|
|
1 2 1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
1 |
|
|
|
||||
6. Решить систему методом Крамера и матричным методом: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2x |
− |
x |
|
− |
x |
|
= 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
+ |
4 x2 |
− |
2x3 |
= 11, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
− |
2 x2 |
+ |
4x3 |
= 11; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
x1 |
+ 3x2 |
+ 3x3 |
+ 2x4 |
= 4, |
||||||||
|
x + 4x |
|
+ 5x |
|
+ 3x |
|
= 7, |
|||||
а) |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
2x1 |
+ |
5x2 |
+ |
4x3 |
+ |
x4 |
= |
5, |
||||
|
x1 |
+ |
5x2 |
+ |
7x3 |
+ |
6x4 |
= |
10; |
23
x1 |
− 2x2 |
+ x3 |
+ x |
||||||
x |
− |
2x |
|
+ |
x |
|
− |
x |
|
б) |
1 |
|
2x |
2 |
|
x |
3 |
|
5x |
|
x |
− |
|
+ |
|
+ |
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
x1 |
− 2x2 |
+ x3 |
− 3x |
4
4
4
4
=1,
=− 1,
=5,
=− 3.
8.Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:
x1 |
− 7x2 |
− 2x3 |
+ 8x4 |
= 0, |
|
|
2x − 9x − 3x + 8x = 0, |
||||
а) |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
||||
|
− x + 9x + 2x − 12x = 0, |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
||||
− 5x1 |
+ 16x2 |
+ 4x3 |
− 14x4 |
= 0; |
2x1 |
+ x2 |
+ x3 |
+ 3x4 |
= 0, |
|||||
|
3x + 2x |
|
+ 2x |
|
+ |
x |
|
= 0, |
|
б) |
1 |
|
2 |
+ 2x |
3 |
− 9x |
4 |
= 0, |
|
|
x + 2x |
|
|
|
|||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
− x1 |
+ 3x2 |
+ 3x3 |
− 26x4 |
= 0. |
9. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы: |
||||||||||||
1 |
− 3 |
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− 3 |
|
|
||||
|
− 6 |
13 |
|
, |
б) A = |
− 1 − 2 |
|
. |
||||
а) A = − 2 |
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
− 4 |
8 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|||
− 1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Относительно базиса |
|
e |
1 = {1;0;0} , |
|
e |
2 = {0;1;0} , |
|
|
e |
3 |
|
= {0;0;1} заданы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = {1;2;3} , |
|
|
|
|
|
|
|
2 = {−2;3;−2} , |
|
|
|
3 = {3;−4;−5} , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
векторы |
a |
a |
a |
x |
: |
|
|
|
|
a |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= {6;20;6} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
3 образуют базис пространства R3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) доказать, что векторы |
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) записать матрицу A перехода от базиса |
|
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
3 к базису |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
e |
e |
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
матрицу B перехода от базиса |
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
3 к базису |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
a |
a |
e |
e |
e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) найти координаты вектора |
x |
в базисе |
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в базисах e1 , e 2 , e 3 и a1 , a2 , a3 .
24
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 13 |
||||
1. Вычислить определители: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
4 |
− 3 |
2 |
|
|
2 3 |
4 1 |
|
||
а) |
2 |
5 |
− 3 |
|
б) |
. |
||||
|
5 |
6 |
− 2 |
|
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 |
|
|
1 − 1 |
0 |
|
|
|
|||||
2. Даны матрицы |
|
|
|
2 − 3 |
|
и |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||
A = |
1 |
B = |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 1 |
|
|
|
|
0 − 3 |
− 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
− 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти: а) матрицу |
|
1 |
A − B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) матрицу |
AB − BA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) матрицу |
A −1 . |
Сделать проверку. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. Решить матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 5 |
|
− 9 13 |
2 |
0 |
5 |
|
3 |
4 |
|
11 |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
− 4 |
|
|
|
|||||||
а) |
X = |
|
|
, б) X |
3 16 = |
−1 . |
||||||||||||
6 |
− 1 |
|
|
15 4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 10 |
−1 |
2 21 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 2 |
3 |
||||
4. Найти |
f (A) , если |
|
f ( x) = 3x 2 − 2x |
+ 5 , |
A |
|
2 |
− 4 |
1 |
|
||||||||
|
= |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− 5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Перемножить матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C = |
− 2 3 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
2 3 − 2 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
D = |
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − 2 |
|
|||
|
4 2 4 |
|
|
|
|
|
− 2 − 1 |
|
||||||||||
6. Решить систему методом Крамера и матричным методом: |
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
+ x |
|
+ 2 x |
|
= − 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x1 |
− x2 |
+ 2 x3 |
= − 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+ x2 |
+ 4 x3 |
= − 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
7. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
x1 |
− x2 |
+ x3 |
− x4 |
= 4, |
||||
|
x + x |
|
+ 2x |
|
+ 3x |
|
= 8, |
|
а) |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
2x1 |
+ 4x2 |
+ 5x3 |
+ 10x4 |
= 20, |
||||
2x − 4x |
2 |
+ x |
3 |
− 6x |
4 |
= 4; |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
x1 |
+ x |
2 |
+ x3 |
+ x4 |
|
= 0, |
|
|||
|
|
x |
|
+ x3 |
+ x4 |
+ x5 |
= 0, |
|
|||
б) |
|
2 |
. |
||||||||
+ 2x2 |
+ 3x3 |
|
|
|
= 2, |
||||||
|
x1 |
|
3x4 |
|
|
||||||
|
|
x |
2 |
+ |
2x3 |
+ |
|
= − |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
+ 2x4 |
+ 3x5 |
= 2. |
|
||
|
|
|
|
|
|
8.Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:
x1 |
− x2 |
+ x3 |
− x4 |
+ x |
||||
|
x |
+ x |
|
|
|
+ |
|
3x |
а) |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3x1 |
+ x2 |
+ x3 |
− x4 |
+ 7 x |
||||
|
|
2 x |
2 |
− x |
3 |
+ x |
4 |
+ 2 x |
|
|
|
|
|
|
5
5
5
5
=0,
=0,
=0,
=0;
x1 |
+ x2 |
+ x3 |
+ x4 |
= 0, |
||||
x + 2x |
|
+ 2x |
|
− x |
|
= 0, |
||
б) |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
x1 |
|
|
+ |
|
3x4 |
= 0, |
||
3x + 4x |
2 |
+ 4x |
3 |
+ x |
4 |
= 0. |
||
|
1 |
|
|
|
|
9. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −1 |
−1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
− 5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 − 4 9 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 4 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = {1;0;0} , |
|
|
|
2 |
|
= {0;1;0} , |
|
|
|
3 = {0;0;1} заданы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
Относительно |
базиса |
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
3 , |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
векторы |
a |
a |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= {5;0;4} , |
|
|
|
|
= {2;5;−5} , |
|
|
|
|
|
|
= {−9;−6;0}, |
|
|
|
|
|
= {−6;−12; 6} . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
1 |
|
a |
2 |
|
|
a |
3 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) доказать, что векторы |
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
3 |
|
образуют базис пространства R3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A перехода от базиса |
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
|
|
к базису |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) записать матрицу |
e |
e |
e |
3 |
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицу B перехода от базиса |
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
к базису |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
a |
3 |
|
e |
e |
e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в базисе |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) найти координаты вектора |
|
|
|
x |
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в базисах
e 1 , e 2 , e 3 и a1 , a2 , a3 .
26
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Вычислить определители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
||||
а) |
2 − 1 2 |
, |
|
|
|
|
б) |
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 3 6 10 |
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
10 |
20 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 − 3 |
2 |
|
|
|
1 |
5 − 5 |
|
|
|
|
|||||
2. Даны матрицы A = |
3 − 4 |
− 1 и |
B = |
3 10 |
0 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 − 5 |
3 |
|
|
|
|
2 |
9 − 7 |
|
|
|
|
|||
Найти: а) матрицу |
− 3A + 2B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
б) матрицу |
AB − BA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
в) матрицу A −1 . |
Сделать проверку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Решить матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 5 |
|
5 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
6 9 8 |
|
|||||||||
|
|
б) X |
|
2 3 4 |
|
|
|||||||||||||||
а) |
|
|
X = |
|
, |
|
= |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
8 3 |
|
35 8 |
|
|
|
3 |
4 |
1 |
|
0 1 6 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 |
3 |
|
|
|||
4. Найти |
f (A) , если |
f ( x) = x 2 − 2x + 5 , |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
A = 4 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Перемножить матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5 2 0 0 |
|
|
|
|
1 − 2 −1 0 |
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 0 |
|
|
|||
C = |
|
2 1 0 0 |
, |
|
D |
= |
− 2 5 |
|
|
. |
|||||||||||
|
0 0 8 3 |
|
0 0 |
|
0 2 |
|
− 3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
0 5 8 |
|
|
||||||
|
|
|
0 0 5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. Решить систему методом Крамера и матричным методом: |
|
|
|
|
|
x |
− |
2x |
|
+ |
|
x |
|
= |
7, |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
2x1 |
+ x2 |
− |
x3 |
= − 2, |
||||||
|
x1 |
− |
3x2 |
+ |
2 x3 |
= |
11; |
|||
|
27
7. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
|
x1 |
+ 2 x 2 |
+ x3 |
− x 4 |
− x5 |
= |
1, |
|||||
а) |
2 x1 |
+ 3 x 2 |
+ 2 x3 |
− x 4 |
|
|
= 3, |
|||||
|
|
x1 |
+ x 2 |
+ 2 x3 |
− x 4 |
− x5 |
= 0, |
|||||
|
|
|||||||||||
|
− 2 x |
1 |
− |
3 x |
3 |
− x |
4 |
+ x |
5 |
= − 4; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x1 |
− 3 x 2 |
+ 5 x 3 |
− x 4 |
+ x 5 |
= |
5, |
||||||
|
x |
|
− 5 x |
|
+ x |
|
− 2 x |
|
+ 3 x |
|
= 10, |
|
б) |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
3 x1 |
+ 4 x 2 |
− 2 x 3 |
+ x 4 |
− x 5 |
= − 12, |
|||||||
|
− x |
1 |
+ 3 x |
2 |
+ 4 x |
3 |
+ 2 x |
4 |
+ 2 x |
5 |
= 10, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 x1 |
+ x 2 |
− 2 x 3 |
+ x 4 |
+ 4 x 5 |
= |
1. |
8.Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:
x1 |
+ x2 |
|
+ 5x3 |
|
− 7 x4 |
= 0, |
|
|||||
а) 2x1 |
+ x2 |
|
+ x3 |
|
+ 2x4 |
= 0, |
|
|||||
x1 |
+ 3x2 |
|
+ x3 |
|
+ 5x4 |
= 0, |
|
|||||
2x + 3x |
2 |
|
− 3x |
3 |
|
+ 14x |
4 |
= 0; |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3x1 |
+ x2 |
− 8x3 |
+ 2x4 |
+ x5 |
= 0, |
|||||||
б) 2x1 |
− 2x2 |
− 3x3 |
− 7 x4 |
+ 2 x5 |
= 0, . |
|||||||
|
x + 11x |
2 |
− 12x |
3 |
+ 34x |
4 |
− 5x |
5 |
= 0, |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x − 5x |
2 |
+ 2x |
3 |
− 16x |
4 |
+ 3x |
5 |
= 0. |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
9. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы:
|
|
|
|
5 6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
а) A = − 1 0 |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) A = |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
10. Относительно базиса |
|
1 |
= {1;0;0} , |
|
|
|
2 = {0;1;0} , |
|
|
|
3 = {0;0;1} заданы векторы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 , |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 = {2;5;4} , |
|
2 = {−3;1;3} , |
|
|
|
= {1;−3;2} , |
|
|
|
|
= {17;−2;16} |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
a |
a |
3 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 |
образуют базис пространства R3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) доказать, что векторы |
|
a |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) записать матрицу A перехода от базиса |
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
к базису |
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
e |
e |
3 |
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
матрицу B перехода от базиса |
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
к базису |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
a |
a |
3 |
|
e |
e |
e |
в) найти координаты вектора x в базисе a1 , a2 , a3 ;
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в базисах e1 , e2 , e3 и a1 , a2 , a3 .
28
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Вычислить определители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
− 1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
− 1 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|
− 1 |
2 |
|
|
|
||||||||
а) |
3 4 − 2 |
, |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
12 5 − 3 4 |
|
||||||||||||||||||
|
3 |
− 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
− 2 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
5 |
|
12 |
15 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
2. Даны матрицы A = |
3 |
1 |
2 и |
B = 14 |
9 |
|
17 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 |
|
|
6 3 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||
Найти: а) матрицу |
5A − 2B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
б) матрицу |
AB − BA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
в) матрицу |
A −1 . Сделать проверку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. Решить матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 1 |
|
|
5 5 |
|
|
1 2 1 |
|
1 2 1 |
|
1 |
9 15 |
|
||||||||||||
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
|
X= |
|
, |
0 1 2 |
X 0 1 2 |
= −5 5 |
|
|
9 . |
|
||||||||||||||
|
1 3 |
|
|
5 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 1 |
|
3 1 1 |
|
12 26 32 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|||
4. Найти |
f (A) , если |
f ( x) = 2x 2 − 3x + 4 , |
A |
|
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|
||||||||||||||
= |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Перемножить матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
, K = |
|
|
|
|
2 |
. |
|||||||||
C = |
|
|
|
, |
= 1 2 |
1 4 |
− 1 1 |
|
− 2 |
||||||||||||||||
|
|
1 − 1 2 |
|
|
|
|
3 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
1 |
|
|||
6. Решить систему методом Крамера и матричным методом: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 x |
|
− x |
|
+ x |
|
= 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x 2 − x3 = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
− x 2 + 3x3 = |
6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
7. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
x1 + |
x 2 |
+ 5x3 |
= − 7, |
x1 − x2 |
+ 2 x3 |
− 3x4 |
= 1, |
|||||||
2 x + |
x |
|
+ x |
|
= 2, |
x + 4 x |
|
− x |
|
− 2 x |
|
= − 2, |
||
а) |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
б) 1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
x1 + 3x 2 |
+ x3 |
= 5, |
x1 − 4 x2 |
+ 3x3 |
− 2 x4 |
= − 2, |
|||||||
2 x + 3x |
2 |
− 3x |
3 |
= 14; |
x |
− 8x |
2 |
+ 5x |
3 |
− 2 x |
4 |
= − 2. |
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8.Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:
|
x1 |
− x 2 − 2x3 − x4 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x + x |
|
|
+ x |
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x1 |
+ x 2 |
|
|
|
|
− 3x 4 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− x |
3 |
|
− 7 x |
4 |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x1 + 4x2 + x3 + 2x 4 + 3x5 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x + 5x |
|
|
+ 3x |
|
+ 5x |
|
+ 6x |
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x1 + 8x2 + x3 + 5x 4 + 8x5 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x + 5x |
2 |
+ 3x |
3 |
+ 7 x |
4 |
+ 8x |
5 |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
− 5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) A |
|
5 |
|
|
− 7 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
, б) |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
− 9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= {1;0;0} , |
|
|
|
|
2 |
= {0;1;0} , |
|
|
|
|
3 = {0;0;1} заданы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Относительно базиса |
|
|
|
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
|
3 , |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
векторы |
|
a |
a |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= {2;1;1} , |
|
|
|
|
|
= {−1;0;−1} , |
|
|
|
3 = {−1;2;0} , |
|
|
= {1;4;0} . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
a |
2 |
|
|
a |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
|
2 , |
|
3 образуют базис пространства |
R3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) доказать, что векторы |
|
|
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A перехода от базиса |
|
|
1 , |
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) записать матрицу |
|
e |
e |
e |
3 |
|
|
к базису |
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
B перехода от базиса |
|
1 , |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и матрицу |
a |
a |
a |
3 |
|
|
к базису |
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
2 , |
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) найти координаты вектора |
x |
|
|
в базисе |
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 , |
|
2 , |
|
|
и |
|
1 , |
|
2 , |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
базисах |
e |
e |
e |
3 |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30