Izmeritelnye_preobrazovateli_Mironov

Дальнейшая обработка данных проводится в нижеследующей последовательности.

1. По значениям x и σ выявляются и отбрасываются промахи. При этом предполагается, что результаты косвенных измерений Аi подчиняются нормальному закону распределения, т. е. для выявления промахов могут быть ис-

пользованы как метод 3σ, так и табличный метод (оба метода описаны в п. 4.2 учебного пособия).

2.Вычисляется СКО среднего арифметического значения по формуле

σA = σn .

3.Оценивается абсолютная случайная составляющая погрешности результата косвенного измерения искомой величины по формуле

ε = t σA ,

где ε – случайная составляющая погрешности;

t– коэффициент Стьюдента.

4.Оценивается абсолютная неисключенная систематическая составляющая погрешности результата косвенного измерения искомой величины по формуле

,

где Θ – абсолютная неисключенная систематическая составляющая погрешности результата косвенного измерения;

k – коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности и числа слагаемых (подробно см. в п. 7.1 учебного пособия);

Θb, Θc, ..., Θs – абсолютные неисключенные систематические составляющие погрешностей результатов прямых измерений аргументов b, с, ..., s;

∂∂Fb ,∂∂Fc ,∂∂Fs – частные производные от функции (7.24) по b, c, ..., s.

121

Отметим, что при задании зависимости (7.24) в виде алгебраической суммы аргументов b, с, ..., s удобнее оценивать абсолютную составляющую по-

грешности Θ по формуле (7.29).

Если же зависимость (7.24) представляет собой произведение и (или) отношение аргументов b, с,..., s, то удобнее оценивать относительную неисключенную систематическую составляющую результата косвенного измерения величины А по формуле

θв 2

∂F 2

θс 2

∂F 2

θs 2

∂F

2

υ = k

+

+ K+

,

А

∂b

А

∂c

A

∂s

где υ – относительная неисключенная систематическая составляющая погреш-

ности (υ может выражаться в процентах или в виде относительной величины).

Величины Θ и υ связаны между собой соотношениями

__

Θ= 100A% υ % ,

Θ= A υ .

Соотношение (7.31) используется при выражении υ в процентах, а соот-

ношение (7.32) – при выражении υ в виде относительной величины.

5. Оценивается абсолютная погрешность результата косвенного измере-
ния искомой величины									по формуле
							A
										= ±К(|Θ| + |ε|),
где			– абсолютная погрешность результата косвенного измерения;
K – коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности и от отно-
шения Θ / σ					(табл. 7.2).
				А
																		Таблица 7.2
						Значения коэффициента К = f (p,θ/ δ										)
														A
θ / σ			0,8			1,0			2,0	3,0		4,0	5,0				6,0	7,0	8,0
	A
K0,95			0,76			0,74			0,71	0,73		0,76	0,78				0,79	0,80	0,81
K0,99			0,84			0,82			0,80	0,81		0,82	0,83				0,83	0,84	0,85
											122

Для приближенных расчетов можно принять K = 0,80 при доверительной вероятности Р = 0,95 и K = 0,85 при доверительной вероятности Р = 0,99.

Относительные погрешности результата косвенного измерения определяются по формулам

δ′ = А 100 % ,

δ = А.

Соотношение (7.34) используется при выражении относительной погреш-

ности в процентах, а соотношение (7.35) – при выражении δ в относительных величинах.

6. Результат косвенного измерения и его погрешность представляют в

виде

(A ± ), P,

где A – результат косвенного измерения;

± – значение абсолютной погрешности; Р – принятая доверительная вероятность.

Допускается также представление результатов косвенных измерений в

виде

А; σА ; n; Θ(P),

где σА – среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значе-

ния (СКО результата косвенного измерения); n – число измерений;

Θ(P) – абсолютная неисключенная систематическая составляющая погрешности результата косвенного измерения, полученная с доверительной вероятностью P.

При необходимости кроме абсолютных погрешностей могут быть приведены относительные погрешности в соответствии с соотношением (7.34) или

(7.35).

123

7.3.3. Примеры расчета

В качестве примеров рассмотрены три задачи (задача 7.4, задача 7.5 и задача 7.6) по оценке погрешностей косвенных измерений. Первые две задачи решены классическим методом, а третья – в соответствии с рекомендациями методических указаний МИ 2083–90 [48].

Рассмотрим пример оценки погрешности косвенного измерения по формуле (7.18).

Задача 7.4

Условие задачи

Найти площадь квадрата S и абсолютную суммарную погрешность ее

косвенного измерения (s), если результат прямого измерения стороны квадрата равен «a» и абсолютная суммарная погрешность этого измерения составляет

« (a)».

Решение задачи Площадь квадрата S = a2.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения площади квадрата оценивается соотношением

		(S) =	(a)	dS(a)			= (a)		d(a2 )		= (a) 2a ;
					da					da
					(S) = (a) 2a .
Относительная суммарная погрешность косвенного измерения площади
квадрата соответственно:
		δ(S) =			(S)	=		2a (a)		= 2 δ(a) ,
					S
								a2
где δ(a)=	(a)	– относительная			суммарная				погрешность прямого измерения
	a

стороны квадрата.

δ(S )= 2 δ(a).

124

Отметим, что суммарные относительные погрешности δ(S) и δ(a) могут выражаться в относительных величинах, как в примере, или в процентах (см. соотношение (7.20)).

Задача 7.5

Условие задачи

Найти значение тока I3 и абсолютную суммарную погрешность его косвенного измерения по приведенной схеме.

Значения токов I1 иI2 , полученные путем прямого измерения с помощью амперметров А1 и А2, заданы. Заданы также абсолютные суммарные погрешно-

сти измерения этих токов 1

и

2

(соответственно).

Решение задачи

Значение тока I3 (по первому закону Кирхгофа):

I3 = I1+I2.

Абсолютная суммарная погрешность

3

косвенного измерения тока I3 за-

пишется в виде

∂f 2

2

∂f

2

2

3

= ±

1 +

2 .

∂I1

∂I2

∂f

=

∂(I1 + I2 ). =

∂I1 +

∂I1

=1+ 0 =1.

∂I1

∂I1

∂I1

∂I2

∂f

=

∂(I1 + I2 ). =

∂I1

+

∂I2 = 0 +1 =1.

∂I2

∂I2

∂I2

∂I2

3 = ± 12 21 +12 22

= ± 21 + 22 .

3 = ± 21 + 22 .

Относительные суммарные погрешности косвенного измерения тока I3 соответственно:

δ3 =	3 ; δ3′ =	3 100% ,
	I3	I3

125

т. е. относительная суммарная погрешность, как уже отмечалось, может выражаться в относительных величинах или в процентах.

Задача 7.6

Условие задачи Методом вольтметра и амперметра в нормальных условиях эксплуатации

проведено измерение электрического сопротивления R. Класс точности вольтметра 0,5; предел его измерения Uk = 30 В. Класс точности миллиампермет-ра

. Значения прямых измерений напряжения U и тока I, а также текущие значения косвенного измерения искомого сопротивления R приведены в табл. 7.3.

				Таблица 7.3
	Результаты измерений
Параметры		Номер измерения
			3
	1	2		4
U, В	18,0	20,5	19,8	21,2
I, мА	530	610	590	630
R, Ом	33,9623	33,6066	33,5593	33,6508

Найти результат и погрешность косвенного измерения сопротивления R и записать результат косвенного измерения с учетом найденной погрешности.

Решение задачи 1. Текущие значения косвенного измерения электрического сопротивле-

ния определяются по закону Ома соотношением

R = UI ,

где U ; I – значения напряжения и тока, приведенные в табл. 7.3;

R– искомая величина.

2.Среднее арифметическое значение сопротивления R , принимаемое за результат косвенного измерения искомой величины, запишется в виде

R = 1 ∑n R = 33,6948 Ом n i=1

126

где n – число измерений (n = 4);

Ri – результат i-го измерения (см. табл. 7.3).

3. Среднее квадратическое отклонение σ имеет следующее значение:

n

∑(Ri − R)2

σ =	i=1		=1,1822 Ом
		n −1

где Ri,, R , n – определены выше.

4.Выявление промахов детально рассмотрено в параграфе 4.2 и в силу этого при решении данной задачи не проводится. Отметим только, что в приведенном ряду косвенных измерений сопротивления R промахи отсутствуют.

5.Среднее квадратическое отклонение результата измерения σR имеет

следующее значение:

σR = σn = 0,18224 = 0,0911 Ом

6.Случайная абсолютная погрешность результата измерения ε:

ε= t σR = 3,18 0,0911 = 0, 2898 Ом

где t – коэффициент Стьюдента ( t = 3,18 для доверительной вероятности

Р= 0,95 и числа измерений n = 4).

7.Относительная инструментальная погрешность измерения напряжения U (см. табл. 7.3) оценивается соотношением

δ	=		Uk	γ%	,
V		Umin

где δV – относительная инструментальная погрешность измерения напряжения;

Uk – верхний предел шкалы вольтметра;

U min – минимальное показание вольтметра;

γ – приведенная погрешность вольтметра, определяемая его классом точности

(γ = ±0,5%).

δV = 18,030 0,5% = 0,8333 % .

127

8. Относительная неисключенная систематическая погрешность (НСП) результата измерений запишется в виде

υ = k δV2 + δA2 ,

где υ – относительная НСП результата измерения;

k – коэффициент ( k =1,1 для доверительной вероятности P = 0,95 и m = 2, где

Р– доверительная вероятность, m – число слагаемых под корнем);

δA – относительная инструментальная погрешность измерения тока, опреде-

ляемая классом точности миллиамперметра ( δA =1,0% ),

υ=1,1 0,83332 +1,02 =1,3017 % .

9.Абсолютная неисключенная систематическая погрешность результата измерения Θ запишется в виде

Θ= 100%R υ% = 33,1006948 1,3017 = 0, 4386 Ом

10. Абсолютная суммарная погрешность результата измерений оценивается соотношением

= ±K (Θ + ε ),

где K – коэффициент ( K ≈ 0,80 для доверительной вероятности P = 0,95 );

= ±0,80( 0, 4386 + 0, 2898 ) = ±0,5827 Ом

После округления получаем '= ±0,6 В.

11. Относительная суммарная погрешность результата измерения δ оценивается соотношением

δ = ± R 100% = ± 33,69780,5827 100 = ±1,7293% .

После округления: δ'= ±1,7 %.

12. С учетом погрешности результат измерения запишется в виде

U ′ = (33,7 ± 0,6)Ом.

128

7.4. Неопределенности измерений

По инициативе ряда международных метрологических организаций предложена новая концепция для показателя точности результатов измерений. В основе этой концепции лежит отказ от принятого сейчас понятия «погрешность» и переход на новый показатель точности «неопределенность». Стимулировало такой подход, видимо, несоответствие принятого определения понятия «погрешность» и установившегося порядка практической оценки погрешностей результатов измерений. Терминологические межгосударственные рекомендации РМГ 29–99 [53] дают следующее определение понятия погрешности результата измерения: «Погрешность результата измерения – это отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины».

Далее в рекомендациях [53] отмечается, что истинное значение величины неизвестно и его применяют только в теоретических исследованиях. На практике используют действительное значение измеряемой величины, за которое принимают номинальное значение эталона или образцового средства измерения

(СИ).

Следует отметить, что на практике при измерении искомой величины действительное значение этой величины неизвестно. Более того, возникает законный вопрос: зачем проводить измерение, если действительное значение измеряемой величины уже известно. Ответ очевиден: проводить измерение в этом случае не имеет смысла. Другими словами, реализовать практическую оценку погрешности результата измерения непосредственно из определения [53] невозможно. Практическая оценка погрешностей прямых многократных измерений проводится в соответствии с требованиями ГОСТ 8.207–76 [46], оценка погрешностей прямых однократных измерений – в соответствии с рекомендациями Р50.2.038–2004 [54] и оценка погрешностей косвенных измерений – в соответствии с рекомендациями МИ 2083–90 [48]. В нормативных документах [46; 48; 54] для оценки погрешностей истинное (действительное) значение измеряемой величины не используется. Оценка погрешностей по [46; 48; 54] никак не

увязывается с определением термина «погрешность». Складывается впечатле-

129

ние, что определение погрешности существует само по себе, а найденные по [46; 48; 54] величины, непосредственно не связанные с погрешностью по [53] и также называемые погрешностями, существуют сами по себе. Напрашивается вывод о необходимости изменить определение понятия «погрешность результата измерения» или изменить порядок оценки погрешности, увязав его с истинным (действительным) значением измеряемой величины.

Авторы замены погрешности на неопределенность пошли по первому пути. Они отказались от показателя точности – «погрешность результата измерения» и предложили новый показатель точности – «неопределенность результата измерений». Рекомендации [53] дают следующее определение понятию неопределенность: «Неопределенность измерений – это параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине». Как видно, в этом определении нет понятий «истинного (действительного) значения измеряемой величины». Приведенные выше рассуждения свидетельствуют, что этого понятия в данном случае и не должно быть. Повторим еще раз, что существующие методы оценки погрешностей результатов измерений непосредственно не используют понятие «истинное (действительное) значение измеряемой величины». Не требуют знания этой величины и методы оценки неопределенностей измерений. Последнее послужило поводом утверждать, что авторы «неопределенностей» отвергают понятие истинного (действительного) значения измеряемой величины. Да, отвергают, но только в данном, конкретном случае при оценивании неопределенностей результатов измерений. И с этим можно согласиться. Все меняется коренным образом, если речь идет о погрешностях средств измерений. По определению [53]: «Погрешность средства измерений – это разность между показанием средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины». В данном случае «истинное (действительное) значение» вполне уместно. Более того, экспериментальная оценка погрешностей средств измерений невозможна без использования эталонов или образцовых средств. Напомним, что номинальное значение эталона или образ-

130