МАРЭС

12. Записать математическую модель цепи II-го порядка в пространстве состояний.

13. Найти матричную передаточную функцию по известной системе уравнений переменных состояния.

X AX BU

Y CX DU

Решение:

U1(p)				Y1(p)
			H(p)
Un(p)				Ym(p)
			11( )	1 ( )
=						, где H(p) – матричная передаточная функция.
			1( )	… ( )
Применим преобразование Лапласа:
∙		= ∙ + ∙ ( ) ,				т.е. = ( ∙ 1 − )−1 ∙ ∙ ( )
∙ 1 − ∙				= ∙ ( )
Получаем:
				= ∙		∙ 1 − −1 ∙ ∙ + ∙ ( )

= [ ∙ ∙ 1 − −1 ∙ + ] ∙ ( ) , т.о.= ∙ ( ∙ 1 − )−1 ∙ + .

14. Записать передаточную функцию и дать качественную оценку поведения цепи II-го порядка на ОУ в частотной и временной области.

С1 С2 С R1 R2 R

Решение:

1) строим сигнальный граф.

G1+pC1+1 1

-1	+1	-G2+pC2+1
2	3
	-pC2	4

E

	Найти передаточную функцию цепи Т31 по формуле Мезона =					∙∆		, где Pi – i путь
						∆
	от узла j к узлу К; ∆ – определитель части графа не касающегося i-го пути.
	∆= 1 −	(1) +	(2) −	(3) .
	Для Т31:	∆ = −1 −1		( 2 + 2); (1)1 = 1 + 1 + 1; (2)1	= 2 + 2 + 1;
	(3)1 = 1
	14 = −2 ∙ 1; 22		= 11 ∙ 13; 23 = 11 ∙ 14; 24 = 12 ∙ 13; 31 = 11 ∙ 13		∙ 12.
				∆= −( 2 1 + 2 1 2)

31 = −1 −1 ( 2+ 2) . −( 2 1+ 2 1 2)

В зависимости от постоянной времени форма выходного напряжения будет иметь вид

( 1 < 2 < 3):

Т.о. данная цепь интегрирует входное напряжение. В выражении для передаточной функции степень числителя меньше степени знаменателя, поэтому данная цепь не пропускает сигналы верхних частот, но пропускает нижние.

15. Записать алгоритм расчета чувствительности выходного напряжения к паразитным параметрам цепи при p j методом присоединенной системы.

Решение:

1) TX=W=> = 1

; =

2

0

=

1 + 1 + 2 + 2

−2 + 2

−( 2 + 2)

−3 + 2 + 3 + 2

2) Задаем вектор = 0

1

1

3) Решаем присоединенную систему уравнения. = −;

=

2

=

1 +

−

; =

1 + −

;

1 + −

= 1 ;

−

1 +

−

1 +

−

1 +

0

1

−

1+

1 +

1

1 =

0 1 + =

; 2 =

− 0

=

.

2 +1

2 +1

1 + −

1

= 0

0

−

11+ 0

; =

−1

1+

=

−

;

=

− −1

= −1− .

− 1 + 2

−1

1

∆

2 +1

2

∆

2 +1

= ( )

− ( )

;

вых

=

0

1

= ∙ =

1

и тд.

0 0 2

1

1

2

1

2 +1

16. Записать алгоритм расчета чувствительности выходного напряжения по отношению к температуре, игнорируя паразитные элементы и темературный коэффициент емкости. Положить p j . В разложении Тейлора функции

температурной зависимости проводимостей учесть только линейную часть.

G2

С2

I

G1

С1=0

С3=0

G3

UВЫХ

																						1		+ 2								−2								1				=
																						−2							3 + 2											2										0
																												3 −																	3 −
																																					п
																					=							5					п =											5
																								1															1
																												2 +									п								2 +
																								2															2
																												5																5
					=			1			= п п							1			0		1			+ 0 = п											=			−7 −
																		0			0		2																				25
												1					2																1	1
							1
					=			1			=				=		2
°																	°
								0
2															0		0																	−7 −
			=															1			+ 0 =							=
															0		1		2															25
							1					2														2		2
3
2			=			2				+				2			= 2					−7 −
°														3							25
					1
17. Найти минимум целевой функции																																			=									−									+ −				, указав
градиент															и координаты глобального минимума.
Преобразуем функцию:																						=				− 2						+			1 −							2		= 2 2									− 2			+ 2	− 2 + 1.
																								1				2									1														1			1		2		1	2
Запишем частные производные:																											= 4						− 2 − 2 ,													= 2								− 2 . Отсюда градиент:
																									1			1											2				2										2			1
						=						,			=			4 − 2 − 2 , 2 − 2 . Функция имеет экстремум при
								1					2					1								2		2						1
																																	= 4				− 2 − 2														= 0
равенстве нулю первой производной:																													1					1														2						. Отсюда 1				= 2 =
																																			= 2					− 2 = 0
																															2						2							1
1;							= 0. Это координаты экстремума целевой функции. Докажем, что это минимум.
																																			2																2							2
Для этого найдем вторую производную: =																																				= 4, =																			= −2, =				= 2.
																																			2													1										2
																																			1																			2				2
Определитель матрицы Гессе: =																																	= − 2											= 4. Так как > 0 и > 0, то

точка (1, 1, 0) – минимум.

18. Для целевой функции	=	−	+ −	найти матрицу Гессе и
направление поиска, G-сопряженное к направлению =					.

Матрица Гессе составляется из частных производных второго порядка:

Преобразуем функцию:				=			−		2 + 1 −					2 = 2 2				− 2 + 2 − 2					+ 1.
						1		2					1				1			1	2	1	2
Запишем первые частные производные:											= 4			− 2 − 2 ,							= 2	− 2 .
																			2
									1			1						2			2		1
					2					2				2						2
Вторые частные производные:						2	= 4,					=					= −2,				2 = 2. Отсюда
		4	−2		1				1 2				2 1							2
матрица Гессе: =				. Найдем направление поиска G-сопряженное к
	−2		2
направлению 0 = 1		0	:
				0 =				4	−2			х 1		=	4
								−2		2		0			−2

При движении по этому направлению достигается минимальное положение.