ДГМ_лк1

1-3. ЗАКОНЫРАСПРЕДЕЛЕНИЯОТКАЗОВ

В период эксплуатации какого-либо технического устройства – электрической машины, механизма, прибора и т. д. – происходят отказы в работе, которые имеют различный характер. Как уже указывалось, эти отказы могут быть внезапными и постепенными. Внезапные отказы относятся к категории случайных событий. Случайность их возникновения проявляется в том, что они происходят неожиданно и нерегулярно. Физическая природа таких отказов обусловлена внезапной концентрацией нагрузок, действующих, например, внутри электрической машины, трансформатора или другого устройства и вызывающих соответствующие внутренние повреждения в виде обрыва или короткого замыкания обмоток, поломки деталей и т. д.

Постепенные отказы в работе технического устройства обусловлены старением материалов и износом отдельных деталей, что приводит к ухудшению его выходных параметров.

Следовательно, причины, обусловливающие возникновение отказов в работе устройства, связаны с определенными физическими процессами в материалах конструкции. Характер протекания этих процессов зависит как от режима и длительности работы, так и от внешних условий эксплуатации устройства: температуры, влажности, давления и состава окружающей среды, вибраций и ударов и т. д.

Отказы в работе технических устройств как случайные события могут иметь различные законы распределения во времени. Для исследования надежности этих устройств или при оценке вероятности появления различного числа неисправных изделий при выборочной проверке партии их практическое значение имеют следующие законы распределения: экспоненциальный, нормальный, Рэлея, γ-распределение, Вейбулла, биноминальное распределение и распределение Пуассона.

Экспоненциальное распределение. Как указывалось выше,

экспоненциальное убывание во времени надежности технических устройств согласно уравнению ( 1 - 1 1 ) может иметь место только при постоянстве интенсивности внезапных отказов их λ. В связи с этим при рассмотрении количественных характеристик надежности этих устройств для случая экспоненциального распределения отказов во времени можно зависимости между вероятностью безотказной работы устройства P(t), вероятностью отказов его Q(t), частотой отказов a(t) и средней наработкой до первого отказа Tср представить на основании уравнении (1-2), (1-4), ( 1 - 1 1 ) , (1-13) и (1-15) в следующем виде:

где λ — средняя постоянная величина интенсивности внезапных отказов технического устройства в долях единицы на один час работы; t – время работы устройства в часах.

На рис. 1-4 представлены по уравнениям (1-18) количественные характеристики надежности и других величин технического устройства для экспоненциального распределения [12]. В этом случае при интенсивности отказов λ=const среднее время между соседними отказами, или наработка на отказ, tср равно средней наработке до первого отказа Tср. Для времени работы устройства t = Tcp вероятность безотказной работы его по уравнениям (1-18) будет иметь значение

Следовательно, при экспоненциальном убывании во времени надежности устройства среднее время безотказной работы, или средняя наработка до первого отказа, Tср есть время, в течение которого вероятность безотказной работы устройства уменьшается до 0,37.

Экспоненциальным изменением надежности технических устройств во времени по уравнениям (1-18) можно пользоваться для количественной оценки надежности электрической машины. Это обусловлено тем, что при продолжительной работе машин во время эксплуатации за промежуток времени от окончания приработки до начала периода износа составных частей (рис. 1-10) в них обычно наблюдаются внезапные отказы в работе примерно через равные по длительности промежутки времени. Ввиду этого интенсивность таких отказов за большой период времени работы электрической машины в среднем можно считать практически постоянной. При этом условии надежность электрической машины убывает во времени приблизительно но экспоненциальной кривой. Поэтому, имея в распоряжении конкретные опытные статистические данные об

интенсивности отказов λ для данного типа машин, можно произвести приближенную оценку надежности такой машины для любого заданного промежутка времени работы t.

С помощью уравнений (1-18) можно производить также количественную оценку и конструкционной надежности электрической машины как сложного технического устройства, состоящего из нескольких основных частей. В этом случае необходимо знать для данного типа машины средние опытные значения интенсивностей отказов λ1, λ2 ,.., λn отдельных ее частей. Для количественной оценки конструкционной надежности электрической машины ее рассматривают в смысле теории надежности как устройство из последовательно соединенных основных частей. Тогда с помощью формулы для определения надежности системы с последовательно соединенными элементами можно вычислить общую надежность ее как сложного устройства в виде произведения надежностей отдельных основных частей (см, уравнения (1-42) и (1-44), § 1-5). В целях иллюстрации использования уравнений (1-18) для оценки надежности электрической машины приводится числовой пример.

Пример 1-1. Произвести приближенную оценку вероятности безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа однофазного асинхронного двигателя малой мощности тина АОЛБ-32-2 для двух промежутков времени его работы: t=1000 и 3000 ч, по следующей средней статистической величине интенсивности отказов в долях единицы на один час работы: λ≈20·10-6 ч-1.

Решение.

Средняя наработка до первого отказа двигателя по последнему уравнению (1-18) будет

Вероятность безотказной работы или надежность двигателя по первому уравнению (1-18), с учетом уравнения (1-17), для двух промежутков времени работы будет:

Как показывают полученные данные, надежность рассмотренного двигателя характеризуется том, что в соответствии со вторым уравнением (1-18) на каждые 100 двигателей вероятность выхода из строя в течение указанных двух промежутков времени работы составляет: в первом случае

– 2 двигателя, или 2%, и во втором – 6 двигателей или 6%.

Нормальное распределение. Нормальный закон представляет собой распределение случайных величин, группирующихся около среднего значения с определенными частотами. Кривая нормального распределения случайных величии имеет колоколообразную форму (рис. 1-5). Такое распределение случайных величин получается в том случае, когда на

исследуемую величину воздействует ряд случайных факторов, каждый из которых оказывает незначительное влияние на суммарное значение отклонения величины от ее среднего значения.

Кривая 1 (рис. 1-5) известна в опубликованной литературе под разными названиями: нормальный закон, кривая Гаусса и кривая Лапласа. Эта кривая математически описывается следующим уравнением [33]:

где σ – среднее квадратическое отклонение случайных величин; X – независимая переменная; X – среднее значение нормального распределения.

Нормальная кривая 1 (рис. 1-5) представляет собой вероятность появления событий в том случае, когда ни один из случайных факторов, оказывающих влияние на исследуемую величину, не имеет решающего значения. В теории надежности эта кривая выражает собой нормальное распределение во времени отказов некоторых технических устройств.

Частота отказов а(1) или плотность вероятности их f ( t ) в этом случае определяются уравнением [12]:

где Tр и σ – среднее значение долговечности устройства и квадратическое отклонение времени между отказами в нормальном законе (рис. 1-5, где

						T
	нужно положить X = t и	X = Tр);							– интеграл вероятности вида
						Р
							2

, определяемый по табл. П-1 для значения

В этом случае вероятность безотказной работы технического устройства P(t), вероятность отказа его Q(t) интенсивность отказов λ(t) и средняя наработка до первого отказа Tcр на основании уравнений (1-2), (1-6), (1-8) и (1-14), с учетом уравнения (1-20), будут:

где – интеграл вероятности указанного выше вида, определяемый по табл. П-1 для значения

На рис. 1-6 представлены по уравнениям (1-21) количественные характеристики надежности и других величии технического устройства для нормального распределения [12]. Как показывает рисунок, интенсивность отказов λ(t) в этом случае сильно возрастает с течением времени. Это означает, что имеет место старение или износ составных частей устройства. В начальной стадии работ и устройства в течение небольшого промежутка времени, когда износ некоторых его частей еще не проявляется, вероятность его безотказной работы P(t) убывает незначительно. Однако при продолжительной работе устройства надежность его значительно снижается из за износа частей, характер отказов которых близок к нормальному распределению во времени в соответствии с рис. 1-5.

Вэлектрических машинах – коллекторных или с контактными кольцами

–наибольшему износу при их длительной работе обычно подвергается щеточное устройство. Как покапывает опыт, распределение во времени скоростей износа разных марок щеток в этих машинах близко к нормальному распределению (рис. 1-5). В связи с этим и распределение отказов в работе щеток во времени представляется примерно этой же зависимостью.

В целях иллюстрации использования уравнений (1-21) для оценки надежности электрической машины в период износа (рис. 1-10) приводится числовой пример.

Пример 1-2. Определить вероятность безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа трехфазного асинхронного двигателя малой мощности типа АОЛ-22-2 к концу периода нормальной эксплуатации его t=Tи=6000 ч (рис. 1-10), если средняя интенсивность отказов в долях единицы на один час работы λ≈15·10-6 ч-1. Вычислить также вероятность безотказной работы этого двигателя, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа в период износа (рис. 1-10) для трех промежутков времени его работы, считая от начала периода нормальной эксплуатации t=8000, 10000 и 12000 ч, если средняя долговечность, или ресурс двигателя от того же начала отсчета Tр= 12000 ч и среднее квадратическое отклонение времени между отказами в нормальном законе (рис 1-5) σ=2000 ч.

Решение.

Средняя наработка до первого отказа двигателя по последнему уравнению (1-18) будет

Вероятность безотказной работы, или надежность, двигателя к концу периода нормальной эксплуатации по первому уравнению (1-18), с уметом уравнения (1-17), будет

В период износа надежность двигателя будет постепенно понижаться не только от износовых отказов, но также из-за возможных в этот период внезапных отказов примерно с той же интенсивностью λ, как и в предыдущем периоде нормальной эксплуатации (рис. 1-10). Понижение надежности двигателя от внезапных отказов в период износа будет составлять:

Вероятность безотказной работы или надежность, двигателя в период износа по первому уравнению (1-21) для трех промежутков времени работы после периода нормальной эксплуатации будет:

(где интегралы вероятности из табл. П-1: Ф(-1,41) =-0,9523; Ф(4,26) = 1 ) ; (где из табл. П-1 Ф(-0,707) =-0,6778)

Общая вероятность безотказной работы, или надежность, двигателя и период износа будет равна произведению надежностей периодов нормальной эксплуатации и износа:

Интенсивность отказов двигателя по третьему уравнению (1-21) для трех промежутков времени в период износа будет:

Средняя наработка до первого отказа по последнему уравнению (1-21) будет

Как показывают полученные данные, надежность рассмотренного двигателя в период износа характеризуется тем, что в соответствии со вторым уравнением (1-21) на каждые 100 двигателей вероятность выхода из строя к концу срока долговечности (Tр=12 000 ч) составляет 58 двигателей, или 58%, т. е. более половины двигателей к этому сроку откажет в работе.

Наряду с этим и интенсивность отказов данных двигателей в период износа с течением времени непрерывно и значительно возрастает, что указывает на ускорение процесса их износа по мере приближения времени работы к установленному сроку долговечности.

Распределение Рэлея. При изменении во времени отказов технического устройства в соответствии с распределением Рэлея их частота a(t) или плотность вероятности отказов f ( t ) определяются следующим уравнением [12]:

где σ1 – параметр распределения Рэлея.

В этом случае вероятность безотказной работы устройства Р( t ) , вероятность отказов его Q(t), интенсивность отказов λ(t) и средняя наработка до первого отказа Tср на оснований уравнений (1-2), (1-6), (1-8) и (1-14), с учетом уравнения (1-22), будут:

На рис. 1-7 представлены по уравнениям (1-22) и (1-23) количественные характеристики надежности и других величин технического устройства, изменяющиеся во времени по распределению Рэлея [12]. Как показывает рисунок, интенсивность отказов устройства σ1λ(t) по этому распределению возрастает линейно.с течением времени. Это означает, что при изменении отказов во времени по распределению Рэлея происходит интенсивное старение, или износ технического устройства и отказы его не удовлетворяют условиям установившегося случайного процесса. При этом вероятность безотказной работы устройства для больших промежутков времени t уменьшается значительно быстрее, чем при экспоненциальной зависимости. Однако в начальный период работы устройства при малых значениях времени t, когда интенсивность отказов незначительна, вероятность безотказной работы P(t) убывает с течением времени медленнее, чем по экспоненте (рис. 1-7). Такое изменение надежности во времени может наблюдаться, например, в некоторых автоматических системах кратковременного действия с резервированием, в которых изменение отказов во времени отдельных элементов системы подчиняется приблизительно распределению Рэлея.

В электрических машинах, в которых при длительной работе обычно наблюдаются случайные внезапные отказы примерно постоянной

интенсивности λ, вероятность безотказной работы их как целого устройства P(t) не может практически представляться распределением Релея.

В целях иллюстрации использования уравнении (1-23) для определения количественных характеристик надежности некоторого технического устройства приводится числовой пример.

Пример 1-3. Определить вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа технического устройства, отказы которого во времени подчиняются распределению Рэлея, для трех промежутков времени его работы: t = 200, 1000 и 3000 ч, если параметр распределения σ1= 1600 ч.

Решение.

Вероятность безотказной работы, или надежность, устройства по первому уравнению (1-23) для трех промежутков времени работы будет:

Интенсивность отказов устройства по третьему уравнению (1-23) для трех промежутков времени будет:

Средняя наработка до первого отказа по последнему уравнению (1-23) будет

Как показывают полученные данные, рассмотренное устройство имеет высокую надежность при малых интервалах времени работы и весьма низкую – при больших интервалах, так как интенсивность отказов здесь возрастает пропорционально времени. Следовательно, технические устройства с отказами во времени, подчиняющимися распределению Рэлея, целесообразно использовать только в течение небольших промежутков времени работы.

Гамма-распределение. При этом распределении частота отказов технического устройства a(t) или плотность вероятности их f(t) представляются следующим уравнением [121:

где λ1 – параметр γ-распределения.

В этом случае при целом и положительном k вероятность безотказной работы устройства P(t), вероятность отказов его Q(t), интенсивность отказов λ(t) и средняя наработка до первого отказа Tср на основании уравнений (1-2), (1-6), (1-8) и (1-14), с учетом уравнения (1-24), будут:

Параметр k характеризует асимметрию и выход величин за пределы γ-распределения. В зависимости от его значения существенно изменяется вид основных количественных характеристик надежности. На рис. 1-8 представлены по уравнениям (1-24) и (1-25) количественные характеристики надежности и других величин технического устройства, изменяющееся во времени по γ-распределению при значениях параметра k≥1 [12]. Как показывает первое уравнение (1-25), при k=1 γ-распределение становится чисто экспоненциальным.

На практике к γ-распределению близко подходит характер изменения во времени отказов сложных резервированных систем. В целях иллюстрации использования уравнений (1-25) для оценки надежности некоторой резервированной системы приводится числовой пример.