Lek_1_ELEKTROSTATIKA

• Пусть

dl

– вектор элементарного перемещения,

направленный по касательной к эквипотенциальной поверхности. Тогда работа dA электрических сил при перемещении заряда q на этом элементарном перемещении может быть представлена в виде:

dA = (F,dl) = q(E,dl) = qEdlcos(E ^ dl)

где

α

– угол между векторами

E

и dl . Поскольку

работа при перемещении по эквипотенциальной поверхности равна нулю, то cos(E ^ dl ) 0 и, следова-

тельно	(E ^ dl ) / 2	.

• Таким образом, вектор напряженности электриче-

ского поля перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности в каждой ее точке.

•Поэтому силовые линии напряженности электрического поля ортогональны к эквипотенциальной поверхности.

•Это означает, что в каждой точке эквипотенциальной поверхности вектор напряженности электростатического поя перпендикулярен этой поверхности.

•Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разность потенциалов между соседними поверхностями была постоянна. Тогда по густоте этих поверхностей можно судить о величине напряженности поля E .

•Действительно, там где эквипотенциальные поверхности расположены гуще, там быстрее меняется

потенциал, то есть больше grad , а значит больше и

и напряженность E электрического поля.

•Зная положение силовых линий, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление вектора напряженности.

•Рассмотрим два простых случая, взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей:

а) эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда

φ =	1 q						1
						φ = f			(73)
	4 0 r
						r

• Из (73) следует, что при одном и том же расстоянии

от точечного заряда

q

потенциал

постоянен.

q

	4

1

	2

	3

• Поэтому эквипотенци-

альные поверхности поля точечного заряда являются концентрическими сферами, а силовые линии – радиальными прямыми

(рис. 27).

Рис. 27

b) эквипотенциальные поверхности поля двух бесконечно протяженных равномерно заряженных

		3
	5

7

параллельных плоскостей

	q		1			• В этом	случае	эквипотен-
					4	циальные	поверхности пред-
						ставляют	собой	плоскости
				6
						перпендикулярные		силовым
			2
	q					линиям	и параллельные за-

Рис. 28	ряженным плоскостям.

• Таким образом, можно сказать и так : любая

поверхность, проведенная в электростатическом поле, во всех точках которой вектор напряженности поля перпендикулярен к данной поверхности, является

поверхностью эквипотенциальной.

16. Примеры расчета разности потенциалов по напряженности электростатического поля

• Используя формулу (69), связывающую напряжен-

ность электростатического поля с потенциалом, найдем разность потенциалов между точками поля, созданного протяженными электрическими зарядами.

а) разность потенциалов двух точек поля бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости

E

Ex

2

2 0

x

1

x1

x2

x

d E

dx

dx

Рис. 29

x

2 0

2						x
						2
											1	2
	d		2				dx		2		(x	x		)
1					0	x				0
						1
									(x		x )			(74)
				2			2
		1								2		1
								0

b) разность потенциалов двух точек поля двух бесконечно протяженных равномерно заряженных плоскостей

• Пусть двум бесконечно протяженным параллельным

плоскостям сообщен одинаковый по величине, но разный по знаку заряд (рис. 30).

		E
		1	2
		x1	x2	x
		d

Рис. 27

откуда		2	x2
		d
			x
		1	1

• Поле между плоскостями		одно-
родное и его величина
E
	0
• Разность потенциалов		между

двумя произвольными точками х1 и

х2 определим, исходя из условия
	E		d				d Edx
			dx
Edx		( )					(x	x )
										(75)
		1		2			2	1
						0

Если точки х1 и х2 находятся на плоскостях, то разность потенциалов (напряжение U) между этими

плоскостями выразится следующей формулой

	U	d
		0

(76)

с) разность потенциалов поля равномерно заряженной сферической поверхности

•Сообщим сферической поверхности заряд q.

•Вне сферы (r > R) напряженность поля такая же, как и у точечного заряда, поэтому одинаковы и их потенциалы. Для точечного заряда, в соответствии с формулой (62), потенциал дается формулой:

	1			q	(77)
	4 0			r

•Формула (77) справедлива и для сферической поверхности для случая, когда расстояние от центра сферы r ≥ R, где R – радиус сферы.

•Очевидно, в соответствии с (77), разность потенциалов ( 1 2 ) между двумя точками вне сферы

( 1 2 )	q			1		1
	4
		0 r1				r2

• Внутри сферы напряженность поля

	d	0		const
	dr

(78)

E 0	. Тогда
	(79)

т.е. внутри сферы потенциал постоянен и в силу непрерывности потенциала в этой области равен

потенциалу на поверхности сферы