Vektornaya_algebra

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА.

1.Что называется вектором? Приведите примеры векторных величин, известных из курса физики.

2.Какие векторы называются: а) свободными; б) скользящими; в) связанными?

3.Какие векторы называются равными?

4.Какие векторы называются: а) коллинеарными; б) сонаправленными; в) противоположно направленными?

5.Что значит разложить вектор по двум неколлинеарным векторам? Разложите вектор по двум заданным направлениям.

6.Сформулируйте и докажите условие коллинеарности двух векторов.

7.В чем заключается правило треугольника сложения двух векторов?

8.Сформулируйте переместительный и сочетательный законы сложения векторов.

9.Что называется разностью двух векторов? Постройте разность двух данных векторов.

10.Объясните, как сложить несколько векторов по правилу многоугольника. Зависит ли сумма нескольких векторов от порядка слагаемых?

11.Что называется произведением вектора на число? Перечислите основные свойства этого произведения.

12.Что называется компонентами вектора?

13.Какие действия над векторами можно производить, если вектор задан через свои компоненты.

14.Какие векторы называются компланарными. Сформулируйте условие компланарности трех векторов?

15.Сформулируйте правило скалярного умножения двух векторов. Каков геометрический смысл скалярного произведения?

16.Что такое векторное произведение двух векторов и каковы его свойства?

17.Выполняется ли перестановочный закон для векторного произведения двух векторов?

18.Выполняется перестановочный закон для скалярного произведения двух векторов?

19.Что называется определителем третьего порядка? Перечислите его свойства.

20.Приведите примеры из векторной алгебры, где можно использовать определитель третьего порядка.

21.Докажите, что любые три коллинеарных вектора в пространстве удовлетворяют условию компланарности.

21

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.

Даны точки А(3;

–1; 0), В(0; 0;

–7),

С(2;

0;

0),

D(–4;

0; 3), Е(0; –1; 0),

F(1;

2;

3), G(0;

5; –7),Н(–

5 ;

3 ;

0). Какие из этих точек принадлежат :

а) оси абсцисс;

б) оси ординат; в) оси аппликат;

г)плоскости

Оху д) плос-

кости Оуz; е) плоскости Охz?

2.

ar

b

2.

Даны два вектора

а

и

b . Найти сумму ar + b

этих

векторов.

Модули

этих

векторов

равны

| a | =5 и

br

= 4 .

3.

Вдоль прямой АВ навстречу друг другу направлены два равных по модулю

вектора. Определить сумму и разность этих векторов.

a{3;

4.

Какие из приведенных векторов равны между собой

5;

–7},

b {0,4;

–

r

ur

r

ur

2

3

0,3; 2,25},

c {–7;

3;

5},

d

{–1;

0; 0}, e {3; 5;

–7},

f

{0; –1;

0},

g

{

;

–

;

5

10

2

1

}?

4

ur

5.

Даны векторы: a{3; -5;

2},

b {0;

7;

-1},

c {⅔;

0;

0},

{-2,7;

3,1;

0,5}.

d

Найдите компоненты следующих векторов: а)

a

+

b ;

б)

ar

+

cr

;

в) b

+ c ;

r

ur

r

r

; е)

r

r

+ c ; ж) b + a

+

r

r

r

+

ur

г) b

+ d

; д) a

+ d

a

+ b

d

; з) a + b

+ c

d

6.

В координатах X и Y задано положение точки М: x = 5; y = 5. Определить мо-

дуль вектора r , соединяющего начало координат и точку М, а также угол α

между этим вектором и осью Х.

rr

α = 45 o )

(Ответ:

= 7,1;

7.

Вектор a , модуль которого равен

4,0 составляет угол α = 240 0 с вектором b ,

модуль которого равен 6,0. Определить модуль вектора cr =ar −b и угол β меж-

ду a и c .

cr

α = 37o )

(Ответ:

=8,7;

8.Вектор r , модуль которого равен 6,0 направлен под углом 30 0 к оси Х. Определить проекции этого вектора на координатные оси X и Y.

9. Даны векторы: a{-1; 2; 0},
ты векторов	ur	r	r
	p = 3 b		– 2 a +

10.Даны векторы: a{-1; 0; 2}, ur r r

вектора d , если а) a = b +

b {0;	-5; -2} и	c {2;	1;	-3}. Найдите компонен-
c и q = 3 c –2b + a .
b {-2;	2; 0} и	c {-3;	1;	2}. Найдите компоненты

c + dr; б) 2b = a – 2 c + 3 dr.

11.Даны точки М	(2;10) и М (5;6). Определить модуль вектора	.
1	2	ОМ1 + ОМ2

22

12.Разложить векторы на составляющие по заданным направлениям (Рис. 16).

ur g

		ur
	ur
		S
	F

а)

б)

в)

рис, 16.

13.Даны два вектора

a = ax erx + ay ey

+ az ez

и b =

bx

ex + by ery + bz ez . Найти

сумму и разность этих векторов.

14.Даны два вектора ar и b ,

модули которых

ar

=2;

b

=60. Угол между ними

α =60o . Найти скалярное произведение этих векторов.

(Ответ: a ·b = 30)

15.Вычислить ar – b , если

a = 3 ex

+ 2 ey

b= 2 ex

– 3 ey .

(Ответ: a – br = 26 .)

16.При каких значениях k в равенстве a = k b , где b ≠ 0 , векторы a и b :

а) коллинеарны; б) сонаправлены;

в) противоположно направлены.

17.Какой особенностью должны обладать векторы

a

и

b , чтобы имело место

соотношение: а)

r

r

б) | a + b | = | a –

b |;

r

r

a/а =

b /b;

в) | a

+ b | = | a| + | b |;

г) | a + br | = | a| – | b |; д) | a – b | = | a| + | b |; е) a + b = λ( a – br ), λ > 0.

18.Какие соотношения возможны между модулем приращения

вектора a ( |∆a| )

и приращением модуля вектора a

( ∆| a| )?

19.Определить построением, каким условиям должны удовлетворять векторы a и
br с тем, чтобы выполнялись следующие равенства:				в) | a + br | = a2 + b2 ;
а) | a +	br	| = 0;	б) | a + b | = а;
r	r	| = a2 −b2 .
г) | a +	b
20.Доказать, что векторное произведение вектора а				на перпендикулярный ему
вектор	r	Равносильно повороту вектора a на 90о по часовой стрелке в плоско-
	n
сти, перпендикулярной к вектору n .
21.Вычислить: [ a , br			] 2 + ( a , br) 2.	(Ответ: a 2 b 2)
			23

22.Даны три точки M,			N	и P, лежащие на одной прямой и точка О, не лежащая
на этой прямой. Выразите вектор					uur	через векторы	uuur	uuur	, если:
					OP		OM	и ON
uuur	uuuur	б)	uuur	uur
а) NP = 2 MN ;			MP	= – ½ PN .

23.Два вектора a и b заданы через свои компоненты ах = 3, ay = 4 и bх = 7, by = 1. Найти скалярное произведение этих векторов и угол между ними.

(Ответ: as b =25; α =37o .)

24.Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векто-
рах a = – 6 erx + 5 ery			и br = – 4 ex – 3 ey .				(Ответ: 64,65о)
		a · br + br· c + c · a, если a = b = c = 2
25.Чему равна сумма							и . ar + b + c = 0.
							(Ответ: – 6)
26.Отрезок АВ задан координатами своих концов : А(2; 3)							и В(5; 5). Найти ве-
личину проекции отрезка АВ на прямую, уравнение которой х + 2у = 4 .									4
							(Ответ:			)
									5
27.Задан вектор a = 4 erx			– 6 ery	. Найти его проекцию на ось			lr, направление кото-
рой образует угол		30О с осью 0х.				(Ответ: al = 2 3 + 3 .)
uuur	cr	,	uuur	= a ,	uur
28.Три вектора AB =			BC		CA = b есть стороны треугольника. Выразить
через векторы a ,	r				uuuur	uur	uuur
	b	и c медианы треугольника AM ,				BN ,	CP .

29.Проверить справедливость тождества ( a + b )2 + ( a – b )2 = 2(a2 + b2).

30.На векторах a и b построен треугольник. Проекция вектора a на направление

br

равна 5, а проекция вектора b

на направление a равна 3. Вектор a = 6 ex +

8 ery . Найти: а) вектор br ;

б) площадь данного треугольника;

в) какой вектор

c

надо прибавить к вектору b ,

чтобы получить вектор, перпендикулярный к

вектору ar

(Ответ: а) br = -2,35 erx + 5,51 или b = 5,95 ex –0,71 ey ;

б) S = 15 3 ≈ 25,9;

в) c = =

–(1,8 + 0,8m) erx + (-2,4 + 0,6m) ery ), где m любое число не равное нулю.

31.Коллинеарны ли следующие векторы: а) a{3; -5; 2}, и

b {6;

-10; 4},

б) c {1;

-1;

ur

{-2;

3; 15};

в)

i {1;

0;

0} и

j {0;

1;

0};

ur

{0;

0;

0}

и n {5;

0}, и d

г) m

7;

-3}; д)

ur

-1; -5}

и

r

3;

15};

r

-6;

18} и

r

{2;

-3;

-9}.

p {⅓;

q {-1;

е) f {-4;

s

32.Найдите значения m и

n, при которых следующие векторы коллинеарны:

а) a{15; m; 1},

и br {18;

12; n};

б) c {m; 0,4;

-1}, и

dr {-½;

n; 5}.

24

33.Лежат ли точки А, В, и С

на одной прямой, если: а) А(-5;

7;

12); В(4;

-8;

3); С(13; -23; -6);

б) А(-4;

8; -2); В(-3;

-1;

7);

С(-2; -10; -16);

в) А(2;

-7;

10); В(-1;

-2; 8);

С(5;

-12;

12).

(Ответ: а) да; б) нет; в) да.)

34.Компланарны ли векторы: а) a {-3;

-3;

0},

ex

и

ey ;

б) br {2;

0;

-3}, ex

и

eurz ;

в)

r

0;

-2},

ey

и

uur

r

{1;

0;

2},

n {1;

1; -1}

и

ur

2;

4};

c{1;

ez ;

г) m

p {-1;

д)

r

5;

r

3;

3}

и

s {1;

1; 4}.

q {0;

3}, r {3;

35.Лежат ли точки

A,

B,

C

и

D в одной плоскости, если имеют координаты:

а) A(-2; -13; 3),

B(1; 4; 1),

C(-1; -1; -4)

и

D(0; 0;

0);

б) A(0;

1; 0), B(3;

4;

-1),

C(-2; -10;

7)

и D(6;

0; -5).

(Ответ:

а) да;

б) нет.)

36.Кирпичи размером по векторам ar , br бер.

a,	b	и c уложены как показано на рисунке 17. Разложить
и	cr	векторы, проведенные из вершины А к центрам ре-

А

br

cr ar А

Рис. 17

(Ответ: к основанию: (-2 ar	– 6 b – 2,5 c );	к торцевой грани: (–4 ar – 3 b – 2,5 c );
к фронтальной грани: (–2 a – 3 b – 5 c ).
uur	uur	+ 7 ey и	uur	= -3 erx – ery . Докажите,
37.Заданы векторы: AB = 2 erx – 6	ey , CD = ex		EF

что на этих векторах можно построить треугольник и определите все углы этого треугольника.

(Ответ: 90О; 26,6О; 63,4О.)

25