Учебное пособие по дисциплине СиСПИ

зависимость u2 от u1 приобретает вид ломаной линии, показанной на рис. 1.11, б.

Устройство, обладающее подобной характеристикой, должно рассматриваться как нелинейное, а разность u2-u1=q — как ошибка, погрешность квантования. Видно, что наибольшая ошибка, по абсолютной величине не превышающая Δ/2, с возрастанием u2 остается неизменной (рис. 1.11, в).

Предположим, что входное колебание s(t) является гармоническим (рис. 1.12, а). Колебание sвыx (t) приобретает ступенчатую форму, отличающуюся от входного колебания s (t) (рис. 1.12, б, тонкая линия), а ошибка квантования принимает вид функции

q(t) s	вых	(t) s(t),

представленной на рис. 1.12, в.

(1.23)

Рис 1.12. Сигнал на входе (а) и выходе (б) квантующего устройства; помеха квантования

30

При изменении в широких пределах амплитуды и частоты гармонического колебания s(t) изменяется только частота следования зубцов: форма их остается близкой к треугольной при неизменной амплитуде Δ/2. Функцию q (t) можно назвать помехой или шумом квантования. Нетрудно вычислить среднюю мощность шума квантования. При допущении треугольной формы зубцов (рис. 1.11, в) с амплитудой Δ/2 средняя длительность одного зубца мощность равна (1/3) (Δ/2)2 = 2/12. Так как эта величина не зависит от длительности зубца, можно считать, что средняя мощность шума квантования

Pq

2

/12

.

(1.24)

Этот результат, выведенный для гармонического сигнала, можно распространить и на любой другой сигнал, в том числе и случайный. Отличие лишь в том, что функция q (t) будет случайным процессом из-за случайной длительности зубцов.

Нетрудно вычислить и отношение сигнал/помеха при квантовании. При высоте ступени и общем числе ступеней, укладывающихся в пределах характеристики АЦП, равном L, амплитуда гармонического сигнала не должна превышать величины LΔ/2, а средняя мощность сигнала — величины 1/2(LΔ/2)2 (во избежание ограничения сигнала). Следовательно, отношение сигнал/помеха при квантовании гармонического колебания

P / P 3L2	/ 2 .	(1.25)
s g

Так как число уровней L связано с числом двоичных разрядов r соотношением L = 2r, то последнее выражение можно представить в виде

P / P (3/ 2)22r .	(1.26)
s q
31

Это соотношение можно рассматривать как частный случай общего выражения

P	/ P
s	q

3 2	2r

/

	K	2
		пф

,

(1.27)

где Kпф — пик фактор сигнала, т. е. отношение максимального значения к среднеквадратическому.

При гармоническом колебании

Kпф

2

, что и приводит

к выражению (1.26); при случайном сигнале с нормальным законом распределения Kпф может быть принят 2,5—3. В этом

случае

P	/ P
s	q

2	2r

/

3

, a среднеквадратическое напряжение сиг-

нала не должно превышать ~LΔ/6.

Физический смысл выражения (1.27) очевиден: с увеличением числа разрядов r очень быстро возрастает число дискретных уровней, приходящихся на заданный диапазон измене-

ния s(t), и,	следовательно, снижается перепад					двух соседних
уровней.
При	грубой оценке	превышения		сигнала над шумом
квантования исходят из соотношения Ps / Pq 2					2r	или, в децибе-
лах:
	DдБ (Ps	/ Pq )дБ10lg 2	2r	10 2r lg 2 6r . (1.28)

В современных АЦП число разрядов достигает десяти и более. При этом величина DдБ , характеризующая динамический

дапазон АЦП, равна примерно 60 дБ (6 дБ на один разряд). Другой важной характеристикой шума квантования явля-

ется его спектральная характеристика. При гармоническом колебании на входе АЦП помеха квантования является периодической функцией времени. Спектр ее является линейчатым, содержащим только частоты, кратные частоте входного колеба-

32

ния. Из-за зубчатой формы функции q (t) (см. рис. 1.12, в) спектр шума содержит высшие гармоники.

При входном воздействии типа случайного процесса с

дисперсией

2 s

и со среднеквадратической шириной спектра

fSCK статистические характеристика шума квантования зависят не только от характеристик исходного процесса s(t), но и от со-

отношения между s и

. В частности, при

	s

ширина fq CK

спектра шума квантования Wq(ω) во много раз больше ширины fS CK спектра процесса s (t).

Введем в рассмотрение дискретизацию входного сигнала. На рис. 1.13 представлены одна из реализаций случайного сигнала s(t) и совокупность выборок, взятых с шагом Т. В АЦП каждая выборка преобразуется в цифровой код.

Рис. 1.13. К определению ошибки квантования

Из предыдущих рассуждений ясно, что преобразование

осуществляется с ошибкой, заключенной в пределах	/ 2	. Ес-

ли выборки берутся из случайного сигнала, а изменение функции s(t) за время Т превышает или тем более несколько Δ, то ошибки в различные отсчетные моменты времени nТ и (n + 1) Т можно считать взаимно независимыми и равновероятными. Дисперсия случайной величины q, равновероятной в интервале (- /2, /2) равна (1/3) (Δ /2)2. Этот результат совпадает с выра-

33

жением, полученным усреднением мощности шума квантования по времени. Сделанные выше допущения равносильны утверждению, что дискретная последовательность ошибок q (nТ) соответствует выборкам из некоррелированного шума, т. е. шума с равномерным спектром. Этот спектр, как отмечалось выше, во много раз шире спектра исходного случайного процесса s(t). В связи с этим шум квантования обычно рассматривают как белый шум, аддитивный по отношению к s(t). Так как квантование осуществляется на входе цифрового фильтра, то шум квантования можно трактовать как собственный шум цифрового фильтра (отнесенный к его входу).

Определим спектр шума квантования. Пусть полная ширина спектра шума квантования в отсутствие дискретизации равна fqcк. При дискретизации шума квантования с шагом Т — 1/f1 результирующий спектр является суммой парциальных спектров, сдвинутых один относительно другого на ω = 2π/Т.

Особенностью рассматриваемого			случая является то, что
fqск 1/ T f1 , так что имеет место многократное перекрытие
спектров.
В пределах частотного интервала (0,f1) мощность каждо-
го отдельного спектра (	2	/12) f1 /	fqск . Но число перекрашиваю-

щих спектров равно fqcк. Результирующая мощность квантова-

ния в полосе (0,f1) будет	2	/12	. Можно поэтому считать, что в

указанном частотном интервале спектр равномерен (белый шум) и равен

W	2	f	),
	( ) ( /12)(1/
q		1

0 f f	.
1

(1.29)

При АЧХ цифрового фильтра KT(ω), спектр шума квантования на выходе фильтра

	W	( ) (1/12)( 2 / f )K 2 ( ),	1	/ 2 1 / 2, (1.30)
	q вых	1 T

34

а средняя мощность (дисперсия)

			2			1 / 2
	q2	вых	1		1	KT2	( )d .
			12 f1		2
						1 / 2	(1.31)

Пример. Определим основные параметры шума квантования на выходе режекторного фильтра второго порядка, при следующих данных число

разрядов квантования r = 8; раствор характеристики АЦП								0
кретизации Т=1/fl =1 мс; f1 = 1000 Гц.
1. Определим число уровней
L		2		r	2	8	256,
2. Найдем шаг квантования			0

10 / 256 0,04B 40мВ.

=10 В; шаг дис-

3. Дисперсия шума на входе

2 q

2

/12 (4 10			2	)	2	/12		1,3 10	4	B	2
		1,1 10			2		В 11мB
	q

,

Основываясь						на		том,			что				АЧХ			цифрового фильтра
KT ( ) 4sin( T / 2) , находим:
	1			1 / 2						1			1 / 2				4 T
					KT2 ( )d									16sin					KT2 ( )d
	2									2								2
				1 / 2									1 / 2
			1			2		/ 2								2 3
									sin		4
					16	2							xdx				.
		2
						T			0							T
										35

	Применяя формулу (1.31), получаем
	q2			2 1 6					2	,	q2	вых				26мВ.
		вых
				12 f1 T					2
													2

Итак, уровень собственных шумов квантования на выходе рассматриваемого фильтра равен 26 мВ.

Форма спектра этого шума повторяет форму квадрата АЧХ:

			2		4 T				T
W		( )		16sin		2 10	6	4		B	2	/ Гц.
	вых						16sin
q			12		2				2

В заключение укажем на требования, предъявляемые к АЦП в зависимости от скорости изменения входного сигнала s(t). Длительность выборки τ0 задается малой, чтобы изменение s(t) за время τ 0 было пренебрежимо мало. Во всяком случае, это изменение должно быть меньше . В современных АЦП τ 0 уменьшают до единиц наносекунд.

Электронный ключ, с помощью которого берутся из сигнала s(t) выборки, имеет RС-цепь для запоминания уровня выборки на время, необходимое для срабатывания АЦП. В быстродействующих АЦП это время составляет десятки наносекунд.

1.3.2 Преобразование цифра-аналог и восстановление континуального сигнала

Обратное преобразование сигнала из цифровой в континуальную форму производится с помощью двух устройств: ЦАП

исинтезирующего фильтра.

ВЦАП имеется набор источников фиксированных напряжений, соответствующих каждому из r разрядов, и устройство для синхронного подключения (или отключения) этих напряжений к сумматору в зависимости от поступающих из АЦП символов (имеется в виду схема на рис. 1.11, а). Напряже-

36

ние на выходе ЦАП максимальное, когда со всех элементов поступают единицы. Пусть, например, число разрядов r=4 и, следовательно, число дискретных уровней L=24=16, а максимальное напряжение сигнала условно равно 1 В. Тогда цена самого младшего разряда 1/16 В, следующего за ним 1/8 В, затем 1/4 и 1/2 В. При кодовом слове, поступающем от АЦП в виде 0,1111, напряжение на выходе ЦАП будет 1/2+1/4+1/8+1/1=15/16 В (максимальное значение), а при слове 0,0001 1/16 (минимальное значение). Кодовому слову 0,0010 соответствует напряжение

2/16 В, слову 0,1000 1/2 В и т. д.

Рис. 1.14. Выборки в виде прямоугольных импульсов

Рис 1.15. Тактовый импульс

Указанные напряжения поддерживаются на выходе ЦАП в течение времени τ0 <T, а иногда вплоть до поступления новой кодовой группы (τ0=Т). В результате при фильтрации сигнала s(t) на выходе ЦАП появляется напряжение в виде импульсной последовательности, представленной на рис. 1.14 (при τ0 < Т).

37

Амплитуды прямоугольных импульсов равны соответствующим отсчетам, поступающим (в закодированном виде) от АЦП.

Спектр такой последовательности имеет сложную структуру. Фильтр на выходе ЦАП с полосой пропускания, меньшей или равной частоте f1/2 (где f1=1/Т - частота повторения импульсов), выделяет основной частотный интервал, в котором содержится вся информация о сигнале s (t) (спектр которого должен быть не шире fm=f1/2). На этом и заканчивается процедура восстановления континуальной формы профильтрованного сигнала. Следует, однако, иметь в виду, что спектр последовательности «толстых» импульсов, показанных на рис. 1.14, может существенно отличаться от спектра для тонких импульсов (теоретически δ-функция).

1.4 Кодирование информации в системах связи

1.4.1 Назначение и классификация кодов

В этой главе рассматривается кодирование сообщений, передаваемых в дискретном канале, или кодирование в узком смысле. Дискретный канал образуется из непрерывного путем включения в канал модема. На вход модулятора и с выхода демодулятора поступают дискретные кодовые символы (например, в форме импульсов), одинаковые или различные. Будем обозначать кодовые символы числами 0, 1, ..., q—1, где q — основание кода.

Пусть источник выдает некоторое дискретное сообщение а, которое можно рассматривать как последовательность кодовых символов сообщений ai (i=0, 2, ..., n-1). Совокупность кодовых символов {ai} — алфавит источника. Кодирование заключается в том, что последовательность кодовых символов источника а заменяется кодовым словом, т. е. последовательностью b кодовых символов. Такое преобразование сообщения в кодовое слово (если не учитывать воздействия помех), как правило, является взаимно-однозначным, что и позволяет осуществить де-

38

кодирование, т. е. восстановить сообщение по принятому кодовому слову.

В простейшем случае, когда объем алфавита источника m равен основанию кода q, можно сопоставить каждый кодовый символ букве источника. На практике применяют более сложные коды, основное назначение которых заключается в согласовании источника сообщений с дискретным каналом по объему алфавита и по избыточности.

Согласование по объему необходимо во всех случаях, когда объем алфавита источника m не совпадает с количеством различных символов n, для передачи которых пригоден используемый дискретный канал. Чаще всего m>n, так что каждый знак источника кодируется несколькими последовательными кодовыми символами. Так, например, в простейшем телеграфном коде Бодо каждая буква русского алфавита кодируется кодовым словом из пяти двоичных символов (0 и 1); в телеграфном коде Морзе на каждую букву алфавита затрачивается от двух до шести символов, принимающих значения «точка», «тире» и «пробел».

Остановимся подробнее на согласовании источника с каналом по избыточности. Пусть случайное сообщение А заменяется кодовой последовательностью В. Поскольку считаем кодирование обратимым, то получаем

I (A, B)

H (A)

H (B)

,

(1.32)

где I(А, В) — количество информации в кодовой последовательности относительно сообщения; H(А) — энтропия сообщения; Н(В) — энтропия кодовой последовательности. Следовательно, энтропия при кодировании не изменяется..

Иначе обстоит дело с избыточностью, определяющей соотношение между энтропией и ее максимальным значением (при данном алфавите). Избыточность может при кодировании как возрастать, так и уменьшаться.

39