Kontrolnye_raboty_No3_i_No4
.pdfСогласно второму закону Ньютона
Отсюда находим скорость электрона
обращения Т 2 R 2 m.
eB
m 2 |
e B |
sin 1 . |
|
R |
|||
|
|
eBR и период его m
Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току
I |
|
|
|
e |
e2B |
||
экв |
|
|
|
|
. |
||
|
|
||||||
|
|
T |
2 m |
||||
Зная Iэкв , найдем |
магнитный момент эквивалентного |
тока, который выражается соотношением
Pм IэквS ,
где S=πR2 – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном.
|
Подставим значения Iэкв |
|
и |
S |
|
в |
формулу |
|
магнитного |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
e2BR2 |
|
|
|
|
|
||||||
момента, окончательно получим |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Убедимся в том, что правая часть равенства даст единицу |
||||||||||||||||||||||||
измерения магнитного момента (Ам2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
e2BR2 |
|
Кл2 Тл м2 |
|
|
Кл2 H |
|
А2 с2 м м2 |
|
А м2. |
||||||||||||||
|
|
m |
кг2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
кг А м |
|
А м кг с2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Произведем вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(1,6 10 19)2 0,2 (0,05) |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
12 |
2 |
|
||||||||
|
Р |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
А м |
|
|
7,03 10 |
|
|
|
А м |
. |
|||||
|
|
|
2 9,1 10 31 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В=10 мТл по винтовой линии, радиус которой равен 1 см и шаг h=6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость υ.
51
|
Решение |
|
|||
Разложим |
скорость |
|
|
|
|
электрона на две составляю- |
|
R |
|||
|
|||||
щие: параллельную вектору B - |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|| и перпендикулярную ему . |
|
B |
|||
|
в магнитном |
||||
Скорость || |
|
|
|||
поле не изменяется и обеспе- |
|
// |
|||
чивает перемещение электрона |
|
|
|||
вдоль силовой линии. Скорость |
|
|
|||
|
действия |
силы |
Лоренца |
будет изменяться |
|
в результате |
только по направлению, обеспечивая движение по окружности. Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении его со скоростью и вращательном со скоростью .
Согласно второму закону Ньютона
e B m 2 . R
Перпендикулярная составляющая скорости будет равна
eBR
m .
Период обращения электрона связан именно с этой составляющей скоростью соотношением
T2 R 2 m .
eB
Проверим размерность полученного выражения и произведем вычисление:
m |
кг |
|
кг А м2 |
|
кг с2 |
м2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1c |
|
|
|
|
А с Н м |
с кг |
м |
2 |
|||||||
eB |
Кл Тл |
|
|
|
|
|||||||||
T |
|
2 9,1 10 31 |
|
3,57 10 9 |
с 3,67нс. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1,6 10 19 10 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Модуль |
скорости |
υ, |
как видно из рисунка, можно |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
выразить через и || :
2 2
||
Параллельную составляющую скорости || найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой лини расстояние h, т.е. h T || , откуда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eBh |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
// |
2 m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, модуль скорости электрона |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
eB |
|
R |
2 |
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,6 10 9 |
10 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
0,06 2 |
2 |
|
7 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
2,46 10 |
|
м |
. |
||||||
9,1 10 |
31 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
с |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт ток I =50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны её длиной l=65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно её ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?
Решение
Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением
BndS .
S
В нашем случае вектор магнитной индукции B перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки Bn=B. Магнитная индукция B, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой
53
B 0I , |
|
x |
|
dx |
|
|
2 x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
где х – расстояние от |
|
|
|
||
провода до точки, в которой |
|
|
|
||
определяется B. |
|
I |
|
dS=ldx |
|
Для вычисления магнит- |
|
|
|||
ного потока заметим, что |
l |
|
|
||
так как В зависит от х и |
|
|
|
||
элементарный |
поток |
Ф |
|
|
|
будет также зависеть от х, |
|
|
|
||
то |
|
|
a |
a |
B |
dФ=В(х)dS. |
|
||||
|
|
|
|
Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (см. рис.). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние x) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде
d 0I ldx. 2 x
Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x1= a до x2 = 2a, найдём
|
0Il |
2a |
dx |
|
0Il |
2a |
|
|
|
|
lnx | . |
||||
2 |
x |
2 |
|||||
|
a |
|
a |
Подставив пределы, получим
0Il ln2. 2
Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб):
[μ0][I][l] = 1Гн/м·1А·1м = 1 Вб.
Произведя вычисления, найдём Ф = 4,5 мкВб.
54
Пример 8. Плоский квадратный контур со стороной |
а = 10 |
см, по которому течет ток I = 100А, свободно устано- |
вился в |
однородном магнитном поле с индукцией В |
= 1 Тл. |
Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол 90˚.
Решение
На контур с током в магнитном поле действует момент
силы |
|
|
I |
М РМ Вsin , |
|
|
|
где P IS Ia2– магнитный |
момент |
a |
|
м |
|
||
|
|
|
|
контура; α – угол между векторами Pм |
|
P |
|
(направлен по направлению |
положи- |
|
м B |
|
|
тельной нормали к контуру) и B .
По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле, т.е. М=0, а значит векторы Pм и B сонаправлены (α=0). Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. В силу зависимости М от угла поворота α, для подсчета работы внешних сил воспользуемся методом интегрирования. Элементарная работа равна
dA= Mdα = IBa2sin α dα.
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте контура на конечный угол 2 :
|
|
|
|
0 |
2 |
|
A IBa2 sin d IBa2 |
|
cos |
|
IBa2 . (1) |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
Производя расчет в единицах СИ, получим
А = 100·1·0,12 Дж =1 Дж.
55
Задачу можно решить и другими способами:
1) Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на
изменение магнитного потока, пронизывающего контур: |
|
А I Ф I(Ф1 Ф2), |
(2) |
где Ф1 – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения, Ф2 – то же, после перемещения.
Если 1 2 , то Ф1=ВS, Ф2=0. Следовательно,
А = IBS = IBa2,
что совпадает с выражением (1).
2) Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле.
Wп pmBcos .
Тогда работа внешних сил
А=ΔWп = W2 - W1, или A pmB(cos 1 cos 2).
Так как рm= Ia2, cosα1 = 1 и cosα2 = 0, то
A=IBa2,
что также совпадает с выражением (1).
Пример 9. В однородном магнитном поле (В = 0,2Тл) равномерно с частотой ν=600мин-1 вращается рамка, содержащая N = 1200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 100 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.
Решение
Согласно закону электромагнитной индукции
dФ, dt
где Ф = NBScos α – полный магнитный поток, пронизывающий рамку.
56
При вращении рамки угол (n, B), образованный норма-
лью n к плоскости рамки и линиями индукции В, изменятся по закону
t 2 t. |
|
B |
Подставив в закон электромагнит- |
|
|
ной индукции выражение магнитного |
|
|
потока и продифференцировав по |
n |
|
времени, найдем мгновенное значение |
|
|
ЭДС индукции: |
|
|
NBS d (cos2 t) NBS 2 sin2 t dt
Максимальное значение ЭДС определится при условии, что sin 2πνt =1. таким образом,
max 2 NBS .
Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):
2 NBS |
Тл м2 |
|
Н м |
|
Дж |
В . |
с |
А м с |
|
||||
|
|
|
Кл |
|||
Произведем вычисление: |
|
|
|
|
|
|
max 2 10 1200 0,2 100 10 4 |
151(В). |
Пример 10. Соленоид содержит N =1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 A магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию магнитного поля соленоида.
Решение
Индуктивность L связана с потокосцеплением Ψ = LI. Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N:
Ψ = NФ.
На основании этих формул индуктивность соленоида
57
L NФI .
Энергия магнитного поля соленоида
W LI2 NФI . 2 2
Подставим в формулы для L и W значения физических величин и произведем вычисления:
L 1,2 103 6 10 6 Гн 1,8Гн; 4
W1 1,2 103 6 10 6 4Дж 14,4мДж.. 2
Пример 11. Определить индукцию В и напряжённость Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N = 200 витков, идёт ток I =5 А. Внешний диаметр d1 тороида равен 30 см, внутренний d2 = 20 см.
Решение
Для определения напряжённости магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектораН вдоль линий
магнитной индукции поля: Hdl.
Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии величина напряжённости поля одинакова. Поэтому в выражении циркуляции напряжённость Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2πr, где r - радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т.е.
2 r |
|
|
Hdl H |
dl 2 rH . |
(1) |
L0
Сдругой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряжённости магнитного поля равна
58
сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:
|
n |
|
Hldl Ii . |
(2) |
|
L |
i 1 |
|
Приравняв правые части равенств (1) и (2) получим
n |
|
2 rH Ii . |
(3) |
i 1 |
|
Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2πrН = Nl, откуда
H |
NI |
. |
(4) |
|
|||
|
2 r |
|
Для средней линии тороида r = (R1+ R2)/2= (d1+ d2)/4. Подставив выражение в формулу (4), найдём
H |
2NI |
. |
(5) |
|
|||
|
(d1 d2) |
|
Магнитная индукция В0 в вакууме связана с напряжённостью поля соотношением В0=μ0Н. Следовательно,
B0 |
2 0NI |
|
|
. |
(6) |
(d d |
2 |
) |
|||
|
1 |
|
|
|
Подставив значения величин в выражения (5) и (6),
получим: Н =1,37 кА/м, В0 =1,6 мТл.
Пример 12. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l0 = 5мм. Длина l средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I = 4 А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл. Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.
Решение
Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока
59
запишем: IN = Hl + H0l0. По графику (см. приложение 4) находим что при B = 0,5 Тл, напряжённость Н магнитного поля в чугуне равна 1,6 кА/м. Так как для воздуха μ=1, то напряжённость поля в воздушном зазореь H0 B 0 0,4 МА/м.
Искомое число витков N = (H l+H0 l0) / I = 900.
3.2. Задачи для выполнения контрольной работы №4
4.01. Вычислить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком AB прямолинейного проводника с током в точке C, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него. По проводнику течет ток 30 А. Отрезок AB проводника виден из точки C под углом 900.
4.02. Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам текут токи I1= I2= 5 А в противоположных направлениях. Найти величину и направление магнитной индукции поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от
каждого проводника. |
|
|
|
|
4.03. Два бесконечно длинных |
прямых |
|
||
проводника скрещены под прямым углом. |
|
|||
По проводникам текут |
токи I1 = 80 А и |
|
||
I2 = 60 А. Расстояние между проводниками |
|
|||
d = 10 см. Чему равна магнитная индукция в |
|
|||
точках A и C, одинаково удаленных от обоих |
|
|||
проводников? |
|
прямой С |
|
|
4.04. Бесконечно |
длинный |
|
||
проводник согнут под прямым углом. По |
|
|||
проводнику течет ток I = 100 А. Вычислить |
|
A |
||
магнитную индукцию в точках А и С, |
|
|||
|
|
|||
лежащих на биссектрисе угла и удаленных |
|
|||
от вершин угла на a = 20 см. |
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|