86-2008(методичка-математика)

			arctg x							e x3
17.					dx.			18.	x2		dx.
	0		x2 1						0
				2x 1
19.							dx.	20.	x sin x2 dx.
				x2 x 1
	0								0

Задача № 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

1.y x2 , y 2x 3.

2.	y 2x2 ,	y	x	.
		2
3.	y 4 x2,	y x.
4.	y x2 2x 1,				y x 3.

5.y x2 , y 3x 4.

6.	y 4x x2,				y x 2.
7.	y	x2		2,	y x2.
	2
8.	y 2x x2 ,				y x.
9.	y 2x x2 ,				y x 2.
10.	y x2 ,			y 2x 3.

21

11.	y	x2	,	y x		3	.
	2				2
12.	y 4x2 ,		y x.
13.	y 3x2 2,			y x2.
14.	y x2 x 3,				y x.
15.	y x2 ,		y 3x 4.
16.	y 2x2 1,			y x2.
17.	y 4 x2 ,			y 2x 1.
18.	y x2 2x 4,				y x.
19.	y 3x x2,			y 2x.

20.y x2, y 2x 3.

Задача № 10

Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями.

	1.	y	1			x	2			1	ln x; 1 x 2.
			4							2
															7
	2.	y			1 x2					+ arcsin x;			0 x				.
														9
	3.	y ln cos x;										0 x	.
													4
														8
	4.	y	1 x2							arccos x;			0 x			.
														9

22

5.	y ln(1 x2 );											0 x				1		.
															4
6.	y 1 ln cos x;											0 x					.
																	4
																						15
7.	y arcsin x 1 x2 ;														0 x									.
																					16
8.	y 1 ln sin x;												x				.
												3					2
9.	y 1 ln(x2						1);						3 x 4 .
10.	y ln cos x 2;											0 x					.
																		6
	y x						0 x 4 .
11.					x;
12.	y		a2 x2 ;										0 x a .
13.	y 1 ln cos x;												0 x					.
																		3
14.	y ln(1 x2 ) 1;												0 x						1	.
																		2
15.	y	1	(1 e x e x );												0 x 3.
		2
16.	y	1	(3 e2x e 2x );															0 x 2.
		4
17.	y ln cos x 5;												0 x					.
																		6
																								24
18.	y		1 x2 arcsin x;															0 x							.
																								25
19.	y ln sin x 1;											x						.
												4						3
20.	y		(x 2)3 ;									2 x 6.

23

Задача № 11

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

1.	y 4 x2,						y 0.
2.	y 4x x2,							y 3.
3.	x2 y2 4,							x 1.
	y	2		x2				y 0.
4.						,
					2
5.	y	2	,		y 0,			x 2,		x 4.
		x
6.	y x2 1,						y 0,		x 3.
7.	y2 4 x,						y 0,		x 0.
8.	x2 y2 4,							y x 2,		x 0.
9.	y 5 x2 ,						y 1.
10.	y	4	,		y 0,			x 2,		x 4.
		x
11.	y 4x x2 ,							y 0.
12.	y 4 x2 ,						y 2x 4.
13. x2 y2					9,			y 3 x,		x 0 .
14.	y 2x x2 ,							y 0.

24

15.	y 2 x2 ,				y 2 x.
16.	y 3 2x2 ,					y 1.
17.	y	1	,	y 0,		x 1,				x 2.
		x
18.	x2 y2			1,		x 2.
19.	y 2 4 x,				y		x		2.
						2
20.	x2 y2			4,		x 4.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №2

Задача № 1

Найти критические точки и интервалы монотонности

функции y 2x2 ln x.

Решение. Точки, в которых функция определена, а ее производная либо равна нулю, либо не существует, называют критическими точками. Данная функция определена при x 0 . Находим ее производную:

y 4x 1 4x2 1 . x x

Решим уравнение y 0 :

4x2 1 0

x	1	,	x	2		1	.
1	2				2

Производная не существует при x 0 .

25

Области определения функции принадлежит лишь точка x 12 .

Определим теперь интервалы монотонности функции, т.е. интервалы, в которых функция возрастает или убывает.

Напомним критерий монотонности функции: для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция y y(x) , дифференцируемая во всех его внутренних точках,

возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы во всех внутренних точках промежутка

выполнялось неравенство
								y (x) 0 y (x) 0 .
	Найденная точка разбивает область определения функции
						1		1
на интервалы 0;							и					; .
								2
						2
									1						y 0 .
	Для		всех			x		0;				выполняется неравенство
									2
													1
Следовательно, в интервале 0;														функция убывает. Для всех
													2
	1
x		; выполняется неравенство y 0 . Следовательно, в
	2
				1
интервале					; функция возрастает.
				2

Задача № 2

Исследовать на экстремум функцию y 2x 33x2 . Решение. Для отыскания экстремумов функции

поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем исследуют каждую из них с целью выяснения, есть ли в этой точке минимум или максимум, или же экстремума в ней нет.

26

Данная функция	определена									и			непрерывна при всех
x R . Найдем ее производную:
y		2				2				3
	2											x 1 .
		3	x			3	x

Критические точки:

x 1 (в этой точке производная обращается в ноль); x 0 (в этой точке производная терпит разрыв).

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (-∞;-1), (-1;0) и (0;+∞), в каждом из которых производная функции сохраняет знак. Поэтому достаточно определить знак производной в произвольной точке каждого интервала.

Для наглядности поместим результаты вычислений в таблицу.

x

(-∞; -1)

-1

(-1;

0)

0

(0; +∞)

y

+

0

-

Не сущ.

+

y

1

0

Таким

образом,

при

переходе

через

точку

x 1 в

направлении возрастания переменной x производная меняет знак «плюс» на знак «минус». Следовательно, точка x 1 является точкой максимума и ymax y( 1) 1. При переходе

через точку x 0 производная меняет знак «минус» на знак «плюс». Следовательно, точка x 0 является точкой миниума и ymin y(0) 0 .

Задача № 3

Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции y e x 2 / 2.

27

Решение. Кривая y y(x) вогнута (выпукла) в интервале (a;b) , если во всех точках интервала вторая производная

функции удовлетворяет неравенству

y (x) 0 y (x) 0 .

Находим первую и вторую производные функции: y xe x 2 / 2 ;

y (x2 1) e x2 / 2 .

Первая и вторая производные существуют при любых x R . Точки перегиба функции ищем из следующего условия: если в точке x x0 вторая производная функции обращается в ноль или не существует и при переходе через эту точку меняет знак, то точка с абсциссой x x0 – точка перегиба.

Приравниваем y к нулю и находим: y (x2 1) e x2 / 2 0 ;

x1 1,

x2 1.

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (-∞;-1), (-1;1) и (1;+∞), в каждом из которых вторая производная функции сохраняет знак. Поэтому достаточно определить знак второй производной в произвольной точке каждого интервала.

Поместим результаты вычислений в таблицу:

	(-∞;-1)	-1	(-1;1)	1	(1;+∞)
y	+	0	–	0	+
y		т. п.		т. п.

Таким образом, функция выпукла в интервале (-1; 1), вогнута в интервалах (-∞;-1) и (1;+∞) (см. рис. 1). Кроме того,

28

при переходе через точки x 1	и x 1 вторая производная
меняет знак. Следовательно,	точки М1( 1; e 1/ 2 ) и

М 2 (1; e 1/ 2 ) являются точками перегиба графика функции.

y

1

M1			M 2
-1	0	1	x

Рис. 1

Задача №4

Найти асимптоты графика функции

y		x	3	.
		2
	x		1

Решение. Вертикальные асимптоты.

Поскольку функция терпит разрыв в точках x 1 и x 1, проверим наличие вертикальных асимптот в этих точках. Для этого вычислим односторонние пределы:

lim		x3		,	lim		x	3	.
		2 1					2
x 1 0 x					x 1 0 x			1

Данная кривая имеет две вертикальные асимптоты

x 1 и

x 1.

29

	Наклонные асимптоты.
	Наклонные асимптоты						будем искать		в виде прямых
	y kx b , где
	k	lim		y(x)		;	b	lim y(x) kx
				x
		x						x
				y(x)
	k	lim				;	b	lim y(x) kx .
		x		x				x

Вычислим пределы:

k	lim	y(x)		lim		x3
		x					2 1)
x			x x(x
							x	3
b lim	( y(x) kx)			lim
x
				x x2 1

	lim		x	2		1 ,
			2
x x				1
						x
x	lim							0.
	x x2 1

.

Таким образом, у данной кривой существует одна наклонная асимптота, уравнение которой y x .

	Задача №5
Найти наибольшее	и	наименьшее значения функции
y x3 3x 3 на отрезке			3
	3;			.
			2

Решение. Если функция y y(x) непрерывна на отрезкеa;b , то на этом отрезке существует точка, в которой функция

принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение. Причем, если функция имеет

на отрезке	максимумы в точках	x1, x2 , , xk , то наибольшее
значение	функции y y(x)	на отрезке a;b равно

наибольшему из чисел

y(a), y(x1), y(x2 ), , y(xk ), y(b) .

30