Математика_практикум_Ч1
.pdf4)
3x |
3 |
x 1 |
|
|
|||
lim |
|
|
x |
x |
e |
||
|
|
;5)
lim x 0
x arctg x |
|
x |
3 |
|
;6)
2 |
x |
3 |
x |
|
|
||
lim |
1 x |
||
x 0 x |
|||
|
|
|
2 |
;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
3x |
e |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
8) |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
arctg x |
У |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
10) |
|
|
|
|
|
|
|
11) |
lim x ctg x ; |
|||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x 1 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x tg x |
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg x |
|
|||||||||
|
|
lim ln x ln x 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ln x |
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
12) |
|
|
13) |
|
|
|
|
; |
|
|
14) |
|
|
lim |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim x |
ln(e 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15) |
|
|
|
|
|
; 16) lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 1; 7) |
cos a ; |
||||||||||||||
Ответы: 22.1 1) – 1; 2) 0; 3) 2; 4) 1/2; 5) 12; 6) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8) 5; 9) 2/3; 10) 1/2; 11) 2; 12) |
; |
13) 3; 14) + ; 15) 1/2; 16) 0; 17) 2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18) – 1; 19) 2 / ; |
20) |
|
|
1 |
; 21) 1; 22) e3 ; 23) 10; 24) |
e 2 ; 25) e2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
26) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
; 27) 1; 28) 1; 29) 1; 30) 1. 22.2 |
1) 1; |
2) 6; |
3) 1; |
4) 0; |
5) 1/3; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6) ln 2 ; 7) – 4; 8) 0; 9) 1/6; 10) 1/2; 11) 1/ ; 12) 0; 13) 1; 14) 1; 15) e; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16) |
e 1/ 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
23.1 Разложить |
многочлен |
|
|
x4 2x2 13x 9 |
|
по |
степеням |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
двучлена x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
23.2 Разложить |
многочлен |
|
|
x3 3x2 2x 4 |
|
по |
степеням |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
двучлена x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.3 Для многочлена |
x |
4 |
4x |
2 |
x 3 |
|
написать формулу Тейлора |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2-го порядка в точке |
x0 |
1 . Записать остаточный член в форме |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лагранжа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
23.4 Написать |
|
|
формулу |
|
Тейлора |
3-го |
порядка |
для |
|
функции |
||||||||||||||||||||||||||||
f x 10 |
x |
в точке |
x0 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
23.5 Написать |
|
|
формулу |
|
Тейлора |
3-го |
порядка для |
|
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||
f x |
x |
|
|
в точке x0 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
23.6 Написать |
|
|
формулу |
|
Тейлора |
2-го |
порядка для функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||
f x tg x в точке x0 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23.7 Вывести приближенную формулу sin x x |
|
|
|
|
и оценить |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0,05 . |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ее точность при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
23.8 Вывести |
|
|
|
приближенные формулыйоценить их погрешность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при |
x |
1: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
о |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) 1 x 1 |
|
|
x |
|
x |
|
; р2) 1 x |
1 |
|
x |
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23.9 Проверить, |
ч о при вычислении значений функции ex при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 x |
1 |
|
|
|
|
|
иприближенной |
|
формуле |
|
ex |
1 x |
x2 |
|
|
x3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
п |
грешность меньше 0,01. Пользуясь этим, найти e0,2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
допускаемая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с тр мя в рными цифрами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
23.10 Вычислить с точностью до 10 |
4 |
cos10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
е23.11 Вычислить с точностью до 10 3 : 1) 5 33 ; 2) ln1,05 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
23.12 Найти |
пределы, |
|
используя |
|
разложение |
по |
|
формуле |
||||||||||||||||||||||||||||||
РМаклорена с остаточным членом в форме Пеано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
|
lim |
|
|
1 x |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos x |
|
|
|||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
2 |
|
x |
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
lim |
xe2x xex 2e2x 2ex |
|
|
|
|
|
lim |
ln 1 x x 1 x |
|
||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
ex 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашние задания |
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||||
|
23.13 Разложить многочлен |
x |
4 |
5x |
3 |
x |
2 |
3x 4 |
по степеням |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
двучлена x 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
23.14 Написать |
формулу |
Тейлора |
3-го |
|
|
порядка |
для функции |
||||||||||||||||||||||||||||
f x |
|
|
1 |
при |
x0 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
23.15 Написать |
формулу |
Тейлора |
3-го |
|
|
порядка |
для функции |
||||||||||||||||||||||||||||
y arcsin x при x0 |
0 . |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
23.16 Написать |
формулу Тейло а n-го порядка для функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
1 |
|
при x0 1. |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
23.17 Написать формулу Макл рена n-го порядка для функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f x xex , |
x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.18 Вычисл ть пр бл женные значения с заданной точностью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
п |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) sin1 , |
10 |
|
|
; |
|
|
|
2) |
|
e , 10 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3) 10 1027о, 10 4 ; |
|
|
4) cos 5 , 10 5 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
23.19 Найти пределы, используя формулу Тейлора с остаточным |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чл ном в форме Пеано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
еsin x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
0 |
|
x2 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 ex 1 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
lim |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
4) |
lim |
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
x |
0 |
1 3x 1 2x |
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы:
23.1 |
f x 9 11 x |
2 22 x |
|
|
|
2 |
8 x |
3 |
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
x 2 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23.2 |
f x x 1 3 5 x 1 8 ; |
|
|
|
4 1 x 1 x 1 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23.3 |
f x 7 11 x 1 10 x 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
23.4 10x 1 ln10 x |
ln2 10 |
|
|
|
|
|
ln3 10 |
|
|
|
|
10 x ln4 10 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x |
4 , 0 1; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
У |
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 x 2 x 2 2 |
x 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23.5 |
|
|
|
|
|
1 x 2 5 |
, 0 1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б3 |
|
|
|
||
23.6 tg x x |
1 2sin3 x |
|
x3 |
, 0 1 ; 23.7 3 10 9 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4 x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
5 |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
23.8 |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 / 2 |
|
, 0 1 |
; |
2) |
|
|
|
|
8 / 3 |
, 0 1 ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
16 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 1 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
23.9 |
|
1,221; |
|
|
|
23.10 |
|
|
|
0,9848; |
|
|
|
|
23.11 |
|
|
1) |
2,012; |
|
2) |
0,049; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
23.12 |
|
|
1) |
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
1/2; |
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
1/6; |
4) |
|
– |
1; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
23.13 |
|
f x 56 |
21 x 4 |
р37 x 4 2 11 x 4 3 x 4 4 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23.14 |
|
f x 1 |
1 |
|
x 1 |
|
|
1 3 |
|
x 1 |
|
|
1 3 5 |
x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3! |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 3 5 7 |
|
|
|
|
|
xи1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
, 0 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23.15 |
|
y x |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
9 x 6 |
|
x |
|
|
, 0 1 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 x2 7 / 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
п |
6 |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
23.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y 1 x 1 x 1 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Р n 1 |
|
|
|
|
|
x 1 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
, 0 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x 1 n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x x x |
|
|
x |
3 |
|
x |
n |
|
x |
n 1 |
x n 1 e |
x |
|
||
23.17 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n 1 ! |
n 1 ! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|||||
0 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.18 |
1) |
0,0175; |
|
2) |
|
1,648; |
|
3) |
2,0006; |
4) |
0,99619; |
23.191) – 1/6; 2) 1; 3) – 2; 4) 1/2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 24. |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Монотонность функций. Экстремум. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Наибольшее и наименьшее значения функций. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Выпуклость и вогнутость графиков функций |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задания |
убыванияНи точки |
||||||||||||||||
24.1 Найти |
|
|
интервалы |
|
|
возрастания, |
|||||||||||||||||||||||||||
экстремума функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) y 15 x2 2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y 2x3 6x2 18x 7 ; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
3 |
|
11 |
2 |
|
|
9 |
|
р |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) y x 1 |
x ; |
|
|
|
||||||||||
3) y 4 2x 2 x 6x |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
5) y |
|
; |
|
|
|
|
|
|
6) y x2e x |
; |
7) y |
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
8) y 3 x2 |
2x |
; |
|
|
|
|
9) y |
|
|
; |
10) |
y ln |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
24.2 Найти экстремумыи |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|||||||||||||||||||
функций, |
пользуясь |
производной 2-го |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
е |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
||||||
1) y 4xо9x 6x ; |
2) |
y e |
|
|
3x 2 ; |
3) y |
1 x2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
4 |
|
|
2 x ; |
2 |
|
|
|
|
|
|
y x2 (a x)2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) y x ln |
|
|
|
|
|
|
5) |
6) y x 1 x . |
|||||||||||||||||||||||||
24.3 Определить наибольшее и наименьшее значения функций в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
указанных интервалах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) y x |
|
2x |
|
5, [ 2;0]; |
|
|
|
|
|
2) |
y x 2 |
x , |
[0;4] ; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
y |
3 |
x |
1 |
3 |
x 1 |
, 0; 1 ; |
|
|
|
4) |
y arctg |
1 x |
, [0;1] ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
|
2; 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ e;e . |
|
||||||
5) |
y |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
6) |
y x ln x x; |
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
24.4 Найти интервалы выпуклости, |
вогнутости и точки перегиба |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
графиков функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
8x |
2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
x 1 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||
1) y ln 1 x ; 2) y e |
|
|
|
|
|
|
; 3) y x |
|
|
|
|
Н |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
; 4) y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
||||
5) y x4 2x2 3 ; |
6) y |
|
3x4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
y |
2x2 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
7) |
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
крышкой |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8) |
y x2 e x ; |
|
|
9) y x 1 x2 ; |
|
Б10) y 3 |
x2 2x . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
24.5 Требуется изготовить ящ к с |
|
|
|
|
|
|
|
, объем которого был |
|||||||||||||||||||||||||||
бы равен 72 см3, |
|
|
|
стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
основания относились бы как |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
: 2. |
Каковы должны быть |
|
азме ы всех сторон, чтобы полная |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
поверхность ящика была наименьшейи? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
24.6 Найти |
|
соотношение |
|
между |
|
|
адиусом |
|
R |
и |
высотой |
H |
|||||||||||||||||||||||
цилиндра, |
имеющего |
при данн м объеме наименьшую полную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
поверхность. |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
24.7 Найти |
|
высо у |
ц линдра наибольшего |
|
объема, |
который |
|||||||||||||||||||||||||||||
можно вписать в шар рад усом R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
п |
|
|
|
|
Домашние задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
24.8 Найти |
|
интервалы |
|
|
возрастания, |
|
убывания |
|
и |
|
точки |
||||||||||||||||||||||||
экстр мума функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
y ln x arctg x ; |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) y x 1 ex ; |
|
|
|
|
|
4) y x3 6x2 16 . |
|
|
|
|
|
|
75
|
|
a |
2 |
|
24.9 Найти экстремум функции |
y x |
, a |
||
|
||||
|
|
x |
вторую производную.
24.10 Найти точки перегиба графиков функций:
0
, используя
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 |
|
|
У |
||||
1) |
y |
|
|
|
|
; |
2) |
|
y |
x arctg x ; 3) |
y |
|
; 4) y e x |
/ 2 |
||||||||
|
|
|
|
(x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x3 |
|
Т |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(кривая Гаусса). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
24.11 Найти наибольшее и наименьшее значения функций в |
|||||||||||||||||||||
интервалах (или во всей области определения): |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
1 x x2 |
0; 1 ; |
|
|
|
|
x |
2 |
|
Н |
|
|
|||||||||
1) |
y |
|
, |
|
2) |
y xe |
|
2 ; |
|
|
|
|||||||||||
1 x x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y ln 4 x2 , 1;1 ; |
|
|
|
й |
|
|
|
|
|||||||||||||
3) |
4) |
y x |
2 x , 0;4 . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|||
|
24.12 Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб |
|||||||||||||||||||||
для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
||
днищу желоба площадь попе ечного сечен я будет наибольшей? |
|
|||||||||||||||||||||
Ответы: 24.1 |
1) |
; 1 |
– |
в з астает; |
1; |
– |
убывает; |
|||||||||||||||
ymax y 1 |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16 ; |
|
|
о– возрастает; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2) |
|
; 1 3; |
1;3 |
– |
убывает; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
ymin |
y 3 47; ymax |
y 1 13 |
; |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
1;2 3; и– возрастает; |
|
;1 2;3 |
– |
убывает; |
|||||||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
ymax y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ymin |
y 1 y 3 0 ; |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
е |
|
|
|
1/ |
|
2 ;1 – убывает; |
|
1/ |
2 ;1/ 2 – возрастает; |
|||||||||||||
4) |
1; 1/ 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
ymin y 1/ |
|
2 |
1/ 2 ; ymax |
y 1/ |
2 1/ 2 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
5) |
; 1 0,1 |
|
– |
возрастает; |
|
1;0 1; |
– |
убывает; |
||||||||||||||
Рy |
y 1 y 1 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
0;2 |
|
– |
возрастает; |
;0 2; |
|
– |
убывает; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ymin |
y 0 0; ymax |
|
y 2 |
4 / e |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7) |
e; |
– возрастает; |
0;1 1;e |
– убывает; |
ymin y e e ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
1; – возрастает; ;1 |
– убывает; |
ymin y 1 1; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
|
|
0; |
|
– |
|
|
|
возрастает; |
|
|
; 1 1;0 |
|
– убывает; |
||||||||||||||||||||||
ymin |
y 0 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2; 1 |
|
|
|
У |
|||||||||
10) ; 2 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||||||||||
– возрастает; |
– убывает; экстрему- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
мов нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
y 1 1; 2) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 3 ; |
|||||||||||||||||
24.2 |
|
1) |
|
y |
max |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
; y |
min |
|
y |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) |
ymax y 1 1; ymin |
y 1 1 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4) |
y |
|
y e 2 4 / e2; y |
min |
y 1 0 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 y a 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5) |
y |
max |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; y |
min |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
й |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6) |
y |
max |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
24.3 |
|
1) |
|
yнаиб. y |
2 |
13; yнаим. |
y 1 4 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2) |
yнаиб. |
y 4 8; yна м. |
y 0 0 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
y |
|
|
y 0 2; y |
|
|
|
y 1 3 2 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
наиб. |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
yнаиб. |
|
|
; yнаим. y 1 0 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
y |
|
|
|
y 2 |
3 |
; y |
|
|
|
|
y 0 1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Р |
наибп. |
|
|
|
|
5 |
|
|
наим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6) |
yнаиб. |
y e 0; yнаим. |
y 1 1 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
24.4 |
|
1) |
|
; 1 1; |
– функция выпукла; 1;1 – функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||
вогнута; |
1;ln 2 , 1;ln 2 – точки перегиба; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
|
0; |
|
|
– функция выпукла; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– функция во- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
;0 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гнута; 0;1 , |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
– точки перегиба; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||
3) ;0 0; |
– функция вогнута; точек перегиба нет; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
; 2 – функция выпукла; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
2;1 1; – функция вогну- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
та; |
|
2; |
|
|
|
– точка перегиба; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
– функция вогнута; |
|
|
|
; |
|
|
– |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
Н |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
22 |
|
3 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция выпукла; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
, |
|
|
; |
|
|
– точки перегиба; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
;0 |
|
– функция выпукла; |
0; – функция вогнута; точек |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перегиба нет; |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
|
|
|
|
|
; |
|
и |
|
|
; |
|
|
|
– |
|
функция |
|
вогнута; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
;0 |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
выпукла; |
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
– точки перегиба; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8) ;2 |
|
|
2 2 |
|
2 ; – функция вогнута; |
2 |
2 ;2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выпукла; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 ; 2 |
|
|
|
2 |
e |
2 2 |
|
|
|
|
2 ; 2 |
2 |
2 |
e |
2 2 |
– |
точки |
||||||||||||||||||||||||
Р2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
, 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перегиба;
78
9) 1;0 – функция вогнута; |
0;1 |
– функция выпукла; 0;0 – точ- |
|
ка перегиба; |
|
|
|
10) ;0 2; – функция выпукла; |
0;2 – функция вогнута; |
||
0;0 ; 2;0 – точки перегиба. |
|
|
|
24.5 3,6 и 4 см; 24.6 H=2R; 24.7 H |
2R 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24.8 1) возрастает на всей области определения; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
1; |
|
|
|
|
– |
убывает; |
|
|
; |
|
– возрастает; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
min |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) ;0 – убывает; 0; |
– возрастает; |
ymin y 0 1; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) ;0 4; |
|
|
и |
0;4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
– |
возрастает; |
|
– |
|
убывает; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ymax y 0 16, ymin y 4 16 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
24.9 |
ymax y a 2a; ymin y a 2a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
8 |
|
очек перегиба нет; |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24.10 |
1) |
|
|
|
|
|
|
и |
3) |
0;0 , |
|
; |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
; 2) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|||||||
4) 1;e 1/ 2 |
|
з |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, |
1;e 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
1/ |
e |
и 1/ |
|
e ; 3) ln 4 |
|
ln 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
24.11 1) 1 и 3/5; 2) |
|
и |
4) 8 и 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
24.12 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
е |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Асимптоты. Построение графиков функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Р25.1 Найти асимптоты графиков функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1) y |
x2 4x 5 |
; 2) |
y |
ex |
|
; 3) |
|
y |
|
x4 |
; 4) |
|
y |
ln x |
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|