Ф__120 Физика
.pdfгде I - момент инерции цилиндра относительно оси вращения. В данном случае ось вращения совпадает с осью цилиндра, поэтому
I = - m r 2 . 2
Тогда
.. 1 2 |
е. |
М7 = —шг |
|
2 |
|
Mz = ^ 0,5 ■(0,02)2 • (-1) = - Ы О'4 Н • м . |
Знак минус у Mz означает, что сила оказывает тормозящее действие.
Модуль силы F, действующей на цилиндр: |М ,|
F = — — = 0,005 Н .
0,20 Ответ: F = 0,005 Н ; М = -1 • 10~4 Н • м .
Пример 5. Тело массой mi = 1 кг ударяется о неподвижное тело массой т 2 = 4 кг. Считая удар центральным и абсолютно упругим, найти, какую часть энергии первое тело передает второму при ударе.
Решение: Поскольку удар абсолютно упругий, то для него выпол няется закон сохранения энергии
m,v2 |
, m2v2 |
mlU]2 , |
m2u2 |
--------2 |
1-------- |
—---------r |
------- t |
2 |
2 |
2 |
где Vi, v2, ui, u2 - скорости тел соответственно до и после удара. Кинетическая энергия второго тела до удара была равна нулю. По сле удара изменение энергии второго тела AWK= Wk2 , где Wk2 - кинетическая энергия второго тела после удара. По определению:
30
По закону сохранения импульса
nijV, + m 2v 2
Т.к. v7 = 0, то
irijV, _ n i j U f |
2 |
|
| m 2u 2 |
|
|
2 |
2 |
2 ’ |
а закон сохранения импульса в проекции на ось, параллель ную скорости движения первого тела, запишем так:
т,у, - m , U j -t-nijUj. |
(2) |
Решая систему уравнений (1), (2), найдем
2m,v, u2 = — J - i - .
m, + m2
Кинетическая энергия второго тела после удара
vw |
_ m 2 u 2 _ 2 т 2 Ш ! V t |
|
“2 |
2 |
( rn, +m2)2 |
Определим часть энергии, которую передаст первое тело при ударе:
Wk2 4m,m2 .
WKi
WK2 4-1-4 n , ,
Wri (1 + 4 )2
w
Ответ: —-*^-= 0,64 .
WKl
Пример 6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы дви жется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от
времени задана уравнением S = 2t2+4t + l (м). Определить работу
31
силы за 10с от начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.
Решение: Работа, совершаемая силой, равна:
A = jFdS.
Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна
F |
U d2S |
t - т а |
или F = т —г-. |
dt2
Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по
времени. В соответствии с этим |
|
|
dS |
|
(1) |
v = — = 4t + 4; |
||
dt |
|
|
d^ |
= 4 M / C . |
(2) |
a = — |
||
dt2 |
|
|
Тогда |
|
|
T7 |
d2s Л |
^ |
F = m —2* = 4m. |
(3) |
|
Из выражения (1) находим |
dt |
|
|
|
|
dS = (4t + 4)dt. |
(4) |
|
Используя (3) и (4), для работы А получаем: |
|
|
12 |
|
|
А = j"4m(4t + 4)dt.
ч
По этой формуле вычислим работу, совершаемую силой за первые 10 с движения (tj = 0, t2 = 10с):
ю |
10 |
A = J ( l 6 m t + 16m)dt = m |
1612 + 16 t* |
|
2 |
A = 1 • (8 • 100 + 16 • 10) = 960 Дж .
32
Кинетическая энергия тела
(5)
Подставляя (4) в формулу (5), получаем:
WK= Ш |
^ = m (8t2 +16t |
+ 8)= (8t2 +16t + 8)дж |
Ответ: A = 960 Дж; |
WK= (f5t2 + 16t + |
8)дж . |
Пример 7. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой Ш| = 180 кг вращается вокруг вертикальной оси с частотой п=10мин В центре платформы стоит человек массой шг = 60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола поме щения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение: Согласно условию задачи, момент внешних сил относи тельно оси вращения Z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии про екция Lz момента импульса системы платформа - человек остается постоянной.
Lz = Izw - const, |
( 1 ) |
где 1гмомент инерции платформы с человеком относительно оси Z; (о - угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, вхо дящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии
а в конечном состоянии
rz = i; + r 2.
С учетом этого равенство (1) примет вид:
(2) где значения моментов инерции I] и Ь платформы и человека соот ветственно относятся к начальному состоянию системы, IJ и Г2 - к конечному.
зз
Момент инерции платформы относительно оси Z при переходе человека не изменяется:
I| = ~ m 1R2.
Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции Ь в начальном состоянии можно считать равным нулю. В конечном состоянии момент инерции человека
Г2 = m2R 2.
Подставим в формулу (2) выражения для моментов инер ции, начальной угловой скорости вращения платформы с че
ловеком ( го = 271П ) и конечной угловой скорости (&' = , где v - скорость человека относительно пола). Получаем
(д tti,R2 + 0jsrcn = ^ m,R2 + m2R2j ~ ,
откуда
2TtnRm,
v = 7---------- Ч ,
(m, + 2т2)
2 - З Д 4 - - 1 ,5-180
V = ------------------------= 1м/с. 180 + 2 ■60
Ответ: v = 1 м/с.
Пример 8. Диск массой m = 2 кг, радиусом R = 10 см враща ется вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр с частотой п = 600 мш Г1. Через At = 20 с под действием тор мозящего момента диск остановился. Считая массу диска рав номерно распределенной, найти тормозящий момент М и число оборотов N, которое сделает диск до полной остановки.
34
Решение: Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно использовать основное уравне ние динамики вращательного движения
|
|
1 AGO= М At, |
( 1) |
где I - |
момент инерции диска относительно оси, проходящей |
||
через |
его центр масс; Д о - изменение угловой скорости за |
||
промежуток времени At. |
|
||
По |
условию |
задачи Ао) = -со0,где со0-- начальная |
угловая |
скорость, т.к. |
конечная угловая скорость го = 0. |
Выразим |
начальную угловую скорость через частоту вращения диска. Тогда
©„ = 2тт и Аоо = - 2 ти1 .
О
М омент инерции диска
где ш - масса диска; R - его радиус. Тогда формула (1) при мет вид
-TtnmR2
М= -------
At
-3,14 ■10 -2г- 0,01
М = |
3,1 -! О'2 Н • м . |
знак минус у М указывает на то, что на диск действует тор мозящая сила.
Угол поворота за время вращения диска до остановки мо жет быть определен по формуле для равнозамедленного вра щения
(2 )
35
где s - угловое ускорение. По условию задачи, сз = сое - е At;
со = 0; s At = со0. Тогда из формулы (2)
со„ At со„ At
ф = ©0 A t - |
2 |
2 |
|
Так как |
|
ф = 2 JTN , |
со0 = 27И1, |
то число полных оборотов |
|
N = 1 ^ = 100.
2
Ответ: М = -3,1 ■10'2 Н • м ; N = 100.
Пример 9. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармони ческие колебания с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеб лющейся частицы Е = ОД мДж. Определить амплитуду А ко лебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.
Решение: Для определения амплитуды колебаний воспользу емся выражением для полной энергии частицы
Е = —1шо2А 2 ,
2
где © = . Отсюда искомая амплитуда равна
А = 2тгТ V^m- |
(1) |
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следова тельно, может быть выражена соотношением
36
F = - k x ,
где к - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение ко леблющейся точки. Максимальная сила будет при макси мальном смещении хтах , равном амплитуде,
|
Fmax=kA- |
(2) |
|
Коэффициент к выразим через период колебаний |
|
||
|
2 |
4я2т |
(3) |
|
к = ши |
|
|
Подставив выражения (1) и (3) в (2), получим |
|
||
|
л/2тЕ |
|
|
|
Ртах =2П- Т |
|
|
|
2 • 10~4 |
|
|
А = — -— . ------ — = 0,045 м = 45 см . |
|
||
|
2-3,14 V Ю~2 |
|
|
2-3,14 л/2-10'2 -10“4 = 4,44 • 10“3 Н = 4,44 мН. |
|
||
2 |
|
|
|
Ответ: А = 45 см ; |
= 4,44 мН. |
|
|
37
Контрольная работа № 1
101. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение
движения имеет вид: S = 2t + 0,04t3 (расстояние - в метрах, время - в секундах). Найти скорость и ускорение точки в моменты времени tj = 0 и t2= 5 с. Каковы средние значения скорости и ускорения за первые 5 с движения?
102. Материальная точка движется по окружности радиуса 80 см согласно уравнению S = 10t —0slt3 (расстояние - в метрах, вре мя - в секундах). Найти скорость, тангенциальное, нормальное и
полное |
ускорения точки в момент времени tt = 2 с. |
||
103. |
Точка движется |
по |
прямой согласно уравнению |
|
t3 |
среднюю скорость движения точки в |
|
х = 6 t-----(м). Определите |
|||
|
8 |
|
|
интервале времени от tL= 2 с до |
1г=6 с, скорость и ускорение |
точки в момент времени t2 = 6 с.
104. Движения двух материальных точек выражается уравне ниями: х, = 20 + 2 t - 4 t 2(м) и х 2 =2 + 2t + 0,5t2 (м). В какой мо мент времени скорости этих материальных точек будут одинако выми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?
105. Зависимость пройденного телом пути |
S от времени t |
дается уравнением S = A t - B t 2+ С!3(м), |
где А = 2 м/с, |
В = 3 м/с , С = 4 м/с3. Найти: 1) зависимость скорости v и ус корения а от времени t; 2) расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения,
106. Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением S = A - B t + Ct2(м), где А = 6 м, В = 3 м/с, С = 2 м/с2. Найти среднюю скорость и среднее ускорение тела в интервале времени от 1 до 4 с, скорость и ускорение в момент времени tj = 4 с.
38
107. Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением S = А + Bt + Ct2 (м), где А = 3 м, В = 2 м/с и С = 1 м/с2. Найти среднюю скорость и среднее ускорение тела за первую, вто рую и третью секунды его движения.
108. Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается
уравнением S = A + Bt + Ct2 + Dt3(M), где С = 0,14 м/с2 и D = = 0,01 м/с3. 1) Через сколько времени после начала движения уско рение тела будет равно 1 м/с2? 2) Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени?
109. Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы 15 Н. Зависимость координаты от времени имеет вид
х =>Ш ~ 5t + 2t2 (м). Найти массу тела.
(j 10)» Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно, причем зави симость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением
S = A - B t + Ct2 - D t 3(м), где С = 5м/с2 и D = 1 м/с3. Найти силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.
111. Сплошной диск массой 0,2 кг вращается вокруг оси, прохо дящей через его центр масс, под действием момента сил
0,8-10~2Н-м. Закон вращения имеет вид ср = 5 - 1 + 2t2(pafl). Опре
делить радиус диска. |
|
|
|
|
112. |
Определить полное ускорение в момент времени |
ti —3 с |
||
точки, находящейся на ободе колеса радиусом R = 0,5 |
м, вращаю |
|||
щегося |
согласно уравнению |
ф = At + Bt3, где |
А |
2 рад/с; |
В = 0,2 рад/с3. |
|
|
|
|
113. |
Диск радиусом R = 0,2m |
вращается согласно |
уравнению |
Ф = А + Bt + Ct3 (рад), где А = 3 рад; В = -1 рад/с; С = 0,1 рад/с3.
Определить тангенциальное ат, нормальное а„ и полное а ускорение точек на окружности диска для момента времени tj = 10 с.
114. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость
угла поворота колеса |
от времени дается уравнением |
Ф = А + Bt + Ct3 (рад), где |
В = 2 рад/с; С = 1 рад/с3. Для точек, ле |
39