Термех__109_теор механика_Тарг
.pdfРис. КЗа Рис. КЗб
тоже движется по дуге окружности, см. примечание в конце рассмотренного ниже примера КЗ).
Пример КЗ. Механизм (рис. КЗа) состоит из стержней /, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами Оi и
Ог |
шарнирами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
а и о: • а = 60°, |
р = |
150°, |
у = 90°, |
ф = |
30°, |
6 = |
30°, AD = |
DB, |
||||||
h = |
0,4 м, k = |
1,2 |
м, |
k |
= |
1,4 м, |
Ш| = 2 |
с - 1 , |
8| = |
7 с - 2 |
(направления |
|||||
о)1 |
и ei — против хода |
часовой |
стрелки). |
О п р е д е л и т ь : |
ов, |
vE , |
||||||||||
ь>2, |
ав , |
£з- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с задан- |
|||||||||||||||
ными |
углами |
(рис. |
КЗб; |
на этом рисунке |
изображаем |
все |
векторы |
|||||||||
скоростей). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. |
Определяем |
vB• Точка В принадлежит стержню АВ. |
Чтобы |
най- |
|||||||||||
ти |
i>в, |
надо знать скорость какой-нибудь |
другой точки |
этого |
стержня |
|||||||||||
и направление vB• |
По |
данным задачи, учитывая направление шь |
||||||||||||||
можем |
определить |
|
численно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
vA |
= |
toi/i = 0,8 м/с; |
vA ± OiA . |
|
|
|
|
( 1 ) |
||||
|
Направление vB найдем, учтя, что точка В принадлежит одно- |
|||||||||||||||
временно ползуну, |
движущемуся |
вдоль направляющих |
поступательно. |
Теперь, зная vл и направление ив, воспользуемся теоремой о проекциях
скоростей |
двух точек тела |
(стержня АВ) на прямую, соединяющую |
эти точки |
(прямая АВ). |
Сначала по этой теореме устанавливаем, |
в какую сторону направлен вектор vB (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим
Oflcos30° = ^ cos 60° и vB = 0,46 м/с . |
( 2 ) |
3. Определяем VE- Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить Ve, надо сначала
40
найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная vA И ив, строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня ЛВ; это точка Сз, лежащая на пересечении перпендикуляров к vA и ов , восставленных -из точек Л и В (к va перпендикулярен стержень /). По направлению вектора vA определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС Сз. Вектор vp перпендикулярен отрезку C3D, соединяющему точки D и С3, и направлен в сторону поворота. Величину vD найдем из пропорции
|
|
|
|
|
|
|
|
vD |
|
VB |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3D |
|
СзВ |
' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Чтобы вычислить C3D и СзВ, заметим, |
что ДЛС3В — прямоуголь- |
||||||||||||||||
ный, так |
как |
острые |
углы |
в |
нем |
равны |
30° |
и 60°, и |
что |
СзВ = |
||||||||
= |
АВ sin 30° = |
0,5ЛВ = |
|
BD. |
Тогда |
ДBC3D |
является |
равносторонним |
||||||||||
и |
С3В = |
C3D. В результате |
равенство (3) дает |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
vD = |
vB |
= |
0,46 |
м/с; |
vo -L C3D . |
|
|
|
(4) |
||||
|
Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 02 Е, вра- |
|||||||||||||||||
щающемуся |
вокруг |
02 , то t>е -L ОчЕ. Тогда, |
восставляя |
из точек Е и D |
||||||||||||||
перпендикуляры к скоростям vE |
и vD, построим МЦС |
С2 стержня |
DE. |
|||||||||||||||
По направлению вектора vD определяем направление |
поворота |
стерж- |
||||||||||||||||
ня DE вокруг центра С2. Вектор |
vE направлен в сторону поворота |
этого |
||||||||||||||||
стержня. |
Из |
рис. |
КЗб |
видно, |
что |
Z C 2 £ D = Z C 2 D £ = |
30°, |
откуда |
||||||||||
С2Я = C2D. Составив теперь пропорцию, |
найдем, |
что |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
VE |
|
VD |
|
VE = vD = |
0,46 |
м/с . |
|
|
|
(5) |
||||
|
|
|
|
с2Е |
|
c2d |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4. Определяем to2. Так как |
МЦС. стержня 2 |
известен |
(точка |
С2) и |
|||||||||||||
C2D = 12/{2 cos 30°) = 0,69 м, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ш2 = • |
VD |
= 0,67 |
с" |
|
|
|
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
c2d |
|
|
|
|
||||||||
|
5. Определяем ав (рис. КЗв, на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
котором |
изображаем |
все |
векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ускорений). Точка В принадлежит |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
стержню ЛВ. Чтобы найти ав, |
надо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
знать ускорение какой-нибудь дру- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
гой точки стержня АВ и траекторию |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
точки В. По данным задачи |
можем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
определить |
аА |
= аА-\-аА, |
где |
|
чис- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ленно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
e,h — 2,8 |
м/с2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а"А = |
ю?/, = |
1,6 |
|
м/с 2 . |
|
(7) |
|
|
|
Рис. КЗв |
|
|
|||||
4—1722 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
Вектор ЪА направлен вдоль АО\, |
а |
аА — перпендикулярно |
АО\\ |
изображаем эти векторы на чертеже |
(см. рис. КЗв). Так как точка В |
||
одновременно принадлежит ползуну, |
то |
вектор ав параллелен |
направ- |
ляющим ползуна. Изображаем вектор ав на чертеже, полагая, что он
направлен в ту же сторону, что и |
vB. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для определения ав |
воспользуемся равенством |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
й в = |
а\ + |
ЕГА + |
^ВА-\-сГВА. |
|
|
|
|
|
(8) |
|||||||||
Изображаем на |
чертеже |
векторы |
а"вл (вдоль ВА |
от В |
к Л) |
и а'вл |
||||||||||||||||
(в любую сторону перпендикулярно ВА)\ |
численно |
сГВА = |
СОЗ/З- |
Найдя |
||||||||||||||||||
соз с помощью построенного МЦС |
С3 |
стержня |
3, получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
<•>3 = |
ИЛ |
|
|
V А |
|
„ |
= |
0,66 с - ' |
|
и |
а"ВА = |
0,61 м/с 2 . |
|
(9) |
|||||||
|
- J7 - J - = , |
|
„п |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
СзA |
|
h cos 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, у величин, входящих |
в |
|
равенство |
(8), |
неизвестны |
|||||||||||||||||
только |
числовые значения |
ав |
и |
а'вл", их |
можно |
найти, |
спроектировав |
|||||||||||||||
обе части равенства |
(8) |
на |
какие-нибудь две оси. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Чтобы определить ав, |
спроектируем |
обе |
части |
равенства |
(8) |
на |
||||||||||||||||
направление |
ВА |
(ось |
х), |
|
перпендикулярное |
неизвестному |
вектору |
|||||||||||||||
а\А. Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
а в cos 30° = |
a j cos 60° — <й cos 30° + tfBA. |
|
|
|
(10) |
|||||||||||||||
Подставив в равенство |
(10) |
числовые значения всех величин из |
(7) |
|||||||||||||||||||
и (9), |
найдем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ав |
= |
0,72 |
м/с2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(И) |
||||
Так как получилось ав>0, |
|
то, следовательно, вектор ав |
направлен |
|||||||||||||||||||
как показано на рис. КЗв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. Определяем Е3. Чтобы найти ез, сначала определим аВА. |
Для |
|||||||||||||||||||||
этого |
обе |
части |
равенства |
|
(8) |
спроектируем |
на |
направление, |
||||||||||||||
перпендикулярное АВ |
(ось у). |
Тогда |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
— ав sin 30° = |
а\ |
sin 60° + cfA sin 30° + alA . |
|
|
(12) |
|||||||||||||||
Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин -из |
||||||||||||||||||||||
(11) и (7), найдем, что аВА |
= |
—3,58 м/с2. Знак |
указывает, что |
направ- |
||||||||||||||||||
ление <1дл противоположно показанному на рис. КЗв. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Теперь из равенства |
аВА |
= |
е3/3 получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ез = |
\ова\ |
|
. . . |
с |
_2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
— ; — = |
2,56 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : |
vB |
= |
0,46 |
м/с; |
|
vE |
= 0,46 |
м/с; |
ш2 = 0,67 |
с - 1 ; |
ав |
— |
||||||||||
= 0,72 м/с2; |
е3 = |
2,56 с~2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Примечание. |
Если |
точка |
|
В, |
ускорение |
|
которой |
определяется, |
||||||||||||||
движется не |
прямолинейно |
(например, как |
на |
рис. КЗ.О — К3.4, |
где |
|||||||||||||||||
В движется |
по окружности |
радиуса |
02В), |
|
то |
направление |
ав |
заранее |
||||||||||||||
неизвестно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
В этом случае ав также следует представить двумя составляющими (ав = ав + ав) и исходное уравнение (8) примет вид
|
|
|
|
+ |
|
+ й |
+ |
|
+ |
|
|
|
(13) |
При этом вектор ав |
(см., например, рис. |
КЗ.О) будет |
направлен |
вдоль |
|||||||||
ВОг, |
а вектор |
а} — перпендикулярно |
В02 |
в любую сторону. Числовые |
|||||||||
значения oS, <fA и сГвл |
определяются так же, как в рассмотренном |
приме- |
|||||||||||
ре (в частности, по |
условиям задачи может быть ал = 0 |
или |
сГА — О, |
||||||||||
если точка А движется прямолинейно). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Значение |
а£ также вычисляется по формуле |
<fB = |
с | / р = |
vB/l, |
||||||||
где |
I — радиус |
окружности 02В, |
а ив |
определяется |
так |
же, как ско- |
|||||||
рость любой другой точки механизма. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
После |
этого в равенстве |
|
(13) |
остаются неизвестными только |
||||||||
значения а'в и аЪА и |
они, как |
и |
в рассмотренном примере, находятся |
||||||||||
проектированием обеих частей |
равенства |
(13) на две |
оси. |
|
|
|
|||||||
|
Найдя ав, |
можем вычислить искомое ускорение ав |
= -\Даа)2+(ад)2- |
||||||||||
Величина а\л |
служит для нахождения е/,в |
(как в рассмотренном примере). |
Задача К4
Прямоугольная |
пластина (рис. К4.0 — К4.4) или круглая |
пластина |
||||||||||||||||
радиуса R = 60 см |
(рис. К4.5 — К4.9) |
вращается |
вокруг |
неподвижной |
||||||||||||||
оси по закону <р = |
|
/"iСО» заданному в табл. К4. Положительное |
направ- |
|||||||||||||||
ление отсчета угла <р показано на |
рисунках дуговой |
стрелкой. |
На |
|||||||||||||||
рис. О, |
1, 2, |
5, 6 |
ось вращения перпендикулярна плоскости пластины |
|||||||||||||||
и проходит |
через |
точку |
О |
(пластина |
вращается |
в |
своей |
плоскости); |
||||||||||
на рис. 3, 4, 7, 8, |
|
9 |
ось |
вращения |
00\ |
лежит в |
плоскости |
пластины |
||||||||||
(пластина вращается в пространстве). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
По |
пластине |
вдоль |
прямой BD |
(рис. 0—4) |
или |
по |
окружности |
|||||||||||
радиуса |
R |
(рис. 5—9) |
движется |
точка |
М; |
закон |
ее |
относительного |
||||||||||
движения, т. е. зависимость s = AM |
= |
f2(t) (s |
выражено в |
сантиметрах, |
||||||||||||||
t — в секундах), |
задан в таблице отдельно для |
рис. |
0—4 |
и |
для |
|||||||||||||
рис. 5—9; там же даны размеры b и I. На рисунках точка М |
показана |
|||||||||||||||||
в положении, при |
котором |
s = А М > 0 |
(при |
s < 0 |
точка М |
находится |
||||||||||||
по другую сторону от точки |
А). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в |
||||||||||||||||||
момент |
времени t\ |
= |
1 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Указания. Задача |
К4 — на сложное движение точки. Для |
ее реше- |
ния воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует пб условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени 11 = 1 с, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).
В случаях, относящихся к рис. 5—9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положе-
4** |
43 |
к
2 |
S- з
х >,
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а К4 |
|||
Для |
всех |
Для рис. 0—4 |
|
Для |
рис. 5—9 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
рисунков |
й, см |
s = AM = f2{t) |
I |
s = |
= / 2 (0 |
|||
Ч>= |
W) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
4 ( / 2 - / ) |
12 |
50(3^ — t2) — 64 |
R |
-J.tf(4/2 -2/3 ) |
||||
3t2-&t |
16 |
40(3/2 - /4) - 32 |
> fR(2t2-t3) |
|
||||
б/3 - |
12/2 |
10 |
80(/2 — 0 + |
40 |
|
y / ? ( 2 / 2 - l ) |
||
t2-2t3 |
16 |
60(/4 - 3/2) + |
56 |
R |
|
|
||
10/2 — 5/3 |
8 |
SQ(2t2 — t3) — 48 |
R |
f-R(t3-2t) |
||||
2 ( / » - 0 |
20 |
60(t3 — 2t2) |
R |
—/?(/3 — 20 |
||||
5 / - 4 * 2 |
12 |
40(/2 —30 + |
32 |
|
|
|
||
1 5 / - 3 / 3 |
8 |
6 0 ( / - / 3 ) + 24 |
R |
|
|
|||
2/3 — Ш |
10 |
50(/3 - 0 - 30 |
R |
|
|
|||
6t2-3t3 |
20 |
40(t — 2/3) — 40 |
|
fR{t-2t2) |
|
Рис. К4.0 |
Рис. К4.1 |
Рис. К.4.2 |
ние точки М в момент времени ti = 1 с |
и угол между |
радиусами |
СМ и СА в этот момент. |
|
|
Рассмотрим два примера решения этой задачи. |
|
|
Пример К4а. Пластина OEAB\D (ОЕ = |
OD, рис. К4а) |
вращается |
вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону q> = fi(t) (положительное направление отсчета угла ф показано на рис. К4а дуговой стрелкой). По дуге окружности
радиуса R движется точка В по закону s = АВ = |
f2(t) (положительное |
||||||
направление |
отсчета |
s — от А |
к |
В). |
|
|
|
Д а н о : |
/?=0,5 |
м, ф=/2 —0,5/ |
3 , s=n/?cos(n//3) (ф — в |
радианах, |
|||
s — в метрах, |
t — в секундах). |
О п р е д е л и т ь : |
иабс и аабс |
в момент |
|||
времени /| = |
2 |
с. |
|
|
|
|
|
Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее |
|||||||
движение по дуге окружности |
относительным, а вращение пластины — |
45
|
|
|
|
переносным движением. Тогда абсолют- |
||||||||
|
|
|
|
ная скорость иабс и абсолютное уско- |
||||||||
|
|
|
|
рение аабс точки найдутся по формулам: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Уабс — &отн ""Ь ^пер » |
|
|||||
|
|
|
|
|
аабс = |
аотн~|~апер~Ь Якор » |
(1) |
|||||
|
|
|
|
где, в свою |
очередь, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Аотн = |
Оотн |
|
Оотн, |
^Г1Ср~Ь С^пср • |
||||
Определим |
все, входящие |
в равенства |
(1) |
|
величины. |
|
|
|||||
1. О т н о с и т е л ь н о е |
д в и ж е н и е . |
Это движение |
происходит |
|||||||||
по закону |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
= |
AB |
= nR COS(JI//3) . |
|
|
|
|
( 2 ) |
|||
Сначала установим, где будет находиться точка |
В на дуге |
окружности |
||||||||||
в момент времени t\. Полагая |
в уравнении (2) |
t\ |
= |
2 с, получим |
|
|||||||
|
S, - |
nR |
СОБ(Я 2 / 3 ) = |
— |
0 , 5 Я £ . |
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z.ACB |
К |
— 0,5я . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак минус |
свидетельствует о том, |
что точка |
В |
в момент ti = |
2 с |
находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К4а в этом
положении |
(точка |
Вi). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь находим числовые значения |
Уотн» Оотн» &0Тц" |
|
|
|
||||||||
|
|
|
Vor« = |
s |
|
я 2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g—sin(я^/3) , |
|
|
|
|
||||
|
= |
Уот„ |
ЯЗТ? |
|
|
o"OI„ = — |
|
= |
иоти |
|
|
|
|
q |
cos (л//3), |
|
—p— . |
|
|||||||
|
|
|
У |
|
|
|
Рота |
|
|
|
|
|
где pa™ — радиус кривизны |
относительной траектории, |
равный |
радиусу |
|||||||||
окружности R. |
Для момента |
t\ |
= 2 |
с, учитывая, |
|
что |
= |
0,5 м, |
||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уст» = |
|
^ - s i n ( 2 n / 3 ) |
= |
= |
- 1 , 4 2 м/с , |
|
||||||
<4„ = |
— - с о з ( 2 я / 3 ) = |
~ |
= 0,86 |
м/с 2 , о"01Н = |
|
= |
4,06 м/с2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
46
|
Знаки показывают, что вектор атОТн направлен в сторону положи- |
|||||||||||||||||||||
тельного отсчета расстояния s, а вектор |
v„T„ — в |
противоположную |
||||||||||||||||||||
сторону; вектор tf„„ направлен к центру |
|
С окружности. Изображаем |
||||||||||||||||||||
все эти векторы на рис. К4а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2. |
П е р е н о с н о е |
|
д в и ж е н и е . |
Это |
движение |
(вращение) |
|||||||||||||||
происходит |
по закону ф = |
|
t2— 0,5t3. Найдем сначала |
угловую |
скорость |
|||||||||||||||||
со и угловое ускорение |
е переносного вращения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ш = |
ф = |
2t— |
|
l,5t2, |
г = |
<о = |
2 — 3/ |
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
при |
ti = |
2 с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш = |
|
- 2 |
с - 1 , |
в = - |
|
4 с " 2 . |
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
|
Знаки |
указывают, |
что |
в момент |
ti = |
2 с |
направления |
со и в проти- |
||||||||||||||
воположны направлению положительного отсчета угла ф; отметим |
это |
|||||||||||||||||||||
на |
рис. К4а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для определения упер и апер находим сначала расстояние hi = |
ОВ\ |
||||||||||||||||||||
точки |
В1 от оси |
вращения О. Из |
рисунка видно, |
что |
к\ = |
Шл[2 |
= |
|||||||||||||||
= |
1,41 м. Тогда |
в |
момент |
времени |
11 = |
2 |
с, |
учитывая |
равенства |
(4), |
||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Упер |
= M-ftl = 2,82 |
м/с , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Опер = |
|е| • fti = |
|
5,64 |
м/с 2 , |
а"„ер = |
w2/t, = 5,64 |
м/с2 . |
|
|
|
(5) |
||||||||
|
Изображаем на рис. К4а векторы у„ер |
и а^ер с учетом |
направлений |
|||||||||||||||||||
ю и е и вектор а£ер (направлен |
|
к оси вращения). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3. |
К о р и о л и с о в о |
|
у с к о р е н и е . |
Модуль |
кориолисова |
уско- |
|||||||||||||||
рения |
определяем |
по |
формуле |
|
акор = |
2|уот„| • |со| • sin а, |
где |
а — |
||||||||||||||
угол между вектором vor„ и осью вращения |
(вектором |
а). |
В |
нашем |
||||||||||||||||||
случае этот угол равен 90°, так как ось |
вращения перпендикулярна |
|||||||||||||||||||||
плоскости |
пластины, |
в |
которой |
расположен вектор |
уотн. |
Численно |
||||||||||||||||
в момент времени t\ = 2 |
|
с, так |
как |
в этот момент |
|уотн| = |
1,42 |
м/с |
и |
||||||||||||||
|ш| = |
2 с - 1 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а К о р = |
5 , 6 8 м / с 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
( 6 ) |
|||||
|
Направление |
акс,р |
найдем |
по |
правилу |
Н. Е. Жуковского: |
так |
как |
вектор уотй лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то
повернем его на 90° в направлении |
щ, т. е. |
по |
ходу |
часовой стрелки. |
|||||
Изображаем аКоР на рис. К4а. |
[Иначе |
направление |
акор |
можно |
|||||
найти, учтя, |
что а к о р = 2(саХ Уо™)-] |
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств |
|||||||||
(1) векторов найдены и для определения уабс |
и а„бС остается |
только |
|||||||
сложить эти векторы. Произведем это сложение |
аналитически. |
В\ху |
|||||||
4. |
О п р е д е л е н и е |
уабс. Проведем |
координатные |
оси |
|||||
(см. |
рис. |
К4а) и спроектируем |
почленно |
обе |
части |
равенства |
47
Уабс —~ for» + Упер на эти оси. Получим для момента времени Л = 2 с: Уабс* = уотнх-f- Уперх = 0 — |у„ер| cos45° = —1,99 м/с ;
Va6cy= Vatxy + Unepj, = |У0тн1 + l^nepl COS 45° = 3,41 м/с . После этого находим
Уабс = V "абс+Иабсу= 3,95 м/с .
Учитывая, что в данном случае угол между t»0T„ и упер равен 45°, значение va6c можно еще определить по формуле
Уабс = V Уотн + |
t&p + |
2|v„J • I fnepl • cos 45° = 3,95 м/с . |
|
5. О п р е д е л е н и е |
аа6с. По теореме о сложении |
ускорений |
|
Дабе = |
Оотн |
Оот Опер Опер Опор • |
(7) |
Для определения аабс спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси В\ху. Получим
Оаб«= oJr„ + аКОр + o"epcos45° — |aJeP|cos45°, Oaocs = oJep cos 45° + |o5ep! cos 45° — |a5T„| .
Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени U = 2 с, найдем, что в этот момент
Оабсл = 9,74 м/с 2 ; a„t,cy = 7,15 м/с 2 .
Тогда
Оабс = V °абсх + Оабсу = 12,08 м/с2 .
г
Рис. К4б
О т в е т : |
оа6с = |
3,95 м/с, а а б с = |
|
= 12,08 м/с2. |
|
|
|
Пример К4б. Треугольная плас- |
|||
тина ADE |
вращается вокруг оси z |
||
по закону |
ф = |
fi(t) |
(положительное |
направление отсчета угла ф показа-
но |
на рис. К4б дуговой стрелкой). |
||||||||
По гипотенузе AD движется точка В |
|||||||||
по |
закону s = |
АВ = |
/г(<); положи- |
||||||
тельное |
направление |
отсчета |
s — |
||||||
от |
А |
к D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д а н о : |
|
ф = 0,И3 — 2,2f, |
s = |
|||||
= |
АВ = |
2 + |
15/ — З/2; |
(ф — в |
ради- |
||||
анах, |
s — в |
сантиметрах, |
t — в |
се- |
|||||
кундах) . |
О п р е д е л и т ь : |
уабс и |
|||||||
аа6с в момент времени Л = |
2 с. |
|
|
||||||
|
Решение. Рассмотрим движение |
||||||||
точки |
В |
как |
сложное, |
считая |
ее |
48
движение по прямой AD относительным, а вращение пластины •— переносным. Тогда абсолютная скорость уа6с и абсолютное ускорение аабс найдутся по формулам:
|
Уабс — |
Уотн |
Упер, Оабс = |
@отн |
Опер |
Окор , |
( 1 ) |
|||||
где, в свою очередь, |
a„ep = |
aJeP + |
a"ep • |
|
|
|
|
|
||||
Определим все входящие |
в равенство (1) величины. |
|
||||||||||
1. |
О т н о с и т е л ь н о е |
д в и ж е н и е . |
Это |
движение |
прямоли- |
|||||||
нейное-и происходит по закону |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
s — АВ = |
2 + 15/ — З/2 . |
|
|
(2) |
|||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уотн = |
s = |
15 — 6/, |
аотн = |
У э т н = |
— 6 . |
|
|
||||
В момент времени t\ |
= |
2 с имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Si = АВ\ = |
20 см, |
уотв = |
3 см/с, |
а,™ = |
—6 |
см/с2 . |
(3) |
||||
Знаки показывают, что вектор уотн направлен в сторону |
положительного |
|||||||||||
отсчета |
расстояния |
s, |
а |
вектор |
аотн — в |
противоположную |
сторону. |
|||||
Изображаем эти векторы на рис. К4б. |
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
П е р е н о с н о е |
д в и ж е н и е . |
Это движение |
(вращение) про- |
||||||||
исходит по закону ф = |
0, И3 —2,2/. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем угловую скорость to и угловое ускорение е переносного |
||||||||||||
вращения: чо = ф = |
0,3/2 — 2,2; е = |
<о = 0,6/ и при t\ = 2 с, |
|
|||||||||
|
|
<о= |
- 1 |
с"1 |
, |
е = |
1,2 |
с " 2 . |
|
|
(4) |
|
Знаки указывают, |
что в |
момент t\ |
= 2 с направление 8 совпадает |
с направлением положительного отсчета угла ф, а направление ш ему противоположно; Отметим это на рис. К4, б соответствующими дуговыми стрелками.
|
Из рисунка находим |
расстояние h\ |
точки В\ |
от |
оси |
вращения z: |
||||||||
hi — >4Bisin30o = |
10 см. Тогда в момент |
/| = |
2 с, учитывая |
равенства |
||||||||||
(4), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упер = |
1 СО J - Л I |
= |
1 0 |
С М / С , |
|
|
|
|
||
|
|
aJep = |
|е|-Й1 = |
12 |
см/с2 , |
о£ер = |
<о2Л, = |
10 |
см/с2 . |
(5) |
||||
|
Изобразим иа рис. К4б векторы у„ер |
и ajeР |
(с учетом знаков <о и е) |
|||||||||||
и а"ер; направлены векторы |
упер и aLP |
перпендикулярно |
плоскости |
|||||||||||
ADE, |
а вектор йеР — по линии ДС к оси |
вращения. |
|
|
|
|||||||||
|
3. К о р и о л и с о в о |
у с к о р е н и е . |
Так как угол между векто- |
|||||||||||
ром |
уотн |
и осью |
вращения |
(вектором |
|
со) |
равен |
30°, |
то |
численно |
||||
в момент |
времени |
t\ = |
2 с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
акоР = |
2-|у01Н|.|ш|- sin 30° = 3 |
см/с2 . |
|
|
(6) |
49