М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч
.1.pdfНайдем точку пересечения данных кривых. Решив
систему уравнений |
|
у = 2х\ |
1 |
y = x* + 2x2— l j
т. е.
х3- 1 =0,1 у = 2х- }
получим: х = 1, у = 2.
Итак, Л4о(1, 2) — точка пересечения данных кривых.
Найдем угловые коэффициенты касательных к кривым при х= 1. Имеем: у' — 4х, у'(\) — 4, k\ =4; у' = Ъх* + 4х,
у'( 1)= 7, *2 = 7. По формуле <Р = -тт-гт- находим
I X Я|ftj
т.е. g>«5°54'.
5.Найти производную функции у = З-t2 — Ъх -j- 1.
Решение. Применяя правила дифференцирования, с помощью таблицы производных получаем у' = 6* — 5.
6. Найти производную данной функции:
а) у _ х+ 1 ■ |
б) |
у = е*со$х; |
X- 1’ |
|
|
|
г) |
у = -^? — х-{[х. |
230
Решение, а) Применяя |
формулы {u/v)'~(u'v — |
||
— uv')/v2 и х' = 1, с' = 0, получаем |
|
||
_ / * + |
1 V _ ( j+ 1)' (дг —1) —(х+ 1)(д— 1)' _ |
||
у U - i ) |
(* - п 2 |
||
_ |
I -(х — 1) — (де -|- 1). 1 _ |
- 2 |
|
|
( x - lf |
|
(х — I )2 |
б) Применяя формулы (о у )' |
= u'v + uv\ (*")' — пх” ~ |
||
находим |
|
|
|
у' = (e*)'cos х + e*(cos х)' = e*cos х + е*(—sin х) = = e*(cos х — sin де).
в) |
Используя формулы (к/у)' = {u'v — uv')/v2, (а*)' = |
|||
= а* In о, (ху = 1, получаем |
|
|
|
|
|
/ __/ х \ ' __ (х )'■4х — х(4сУ |
m 4Д— х •4' In 4 |
__ |
|
|
- |
|
|
|
|
4^(1 — дс In 4) |
1— дс1п4 |
|
|
|
4й |
¥ |
‘ |
|
г) |
Имеем |
|
|
|
Тогда |
у = Щ ? - х \ Р ^ х 2^ ~ ^ А. |
|
||
|
|
|
|
|
|
и' — — г-'/ъ— Л х 1/4 |
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
7. |
Найти производную функции: |
|
|
|
а) |
6) у — £ = £ ± : |
•) и= |
si" ' |
|
|
е* + In х |
|
1+со$дг |
Решение. Применяя правила дифференцирования
н используя таблицу производных, находим:
а) У' = (tg х •log3 х)’ = (tg ж)' log3х + tg х •(log3х)' =
|
|
|
_ |
\Og3 X |
_tgx_ . |
|
|
|
|
|
COS2 X |
х In 3 |
|
б) |
и ' |
/ £*— |
' |
(е<— ln-t)'(g* + lnx)—(е*— In х)(^ + In х )' |
||
|
|
l<?‘- M n ;J |
|
(*4 - in *)2 |
|
|
|
_ |
(<?* — i/x)(ex+ In х) — (ес — In x)(e‘ + l/x ) _ |
|
|||
|
|
|
|
(S + In x f |
|
|
__ |
e?‘ — e'/x -b-e' \n x — In x/x — e2' + In x •g* — g'/ж + In x/x |
__ |
||||
_ |
|
|
• |
(e' + ln*)2 |
“ |
231
|
|
|
2g* In x — 2e*/x __ |
2gjr(ln x — \/x) . |
|
|||||||||
|
|
|
(e’ -f In xf |
|
|
|
(e‘ + In xf |
|
|
|||||
|
, __f |
|
sin x |
N ' __ |
(sin x)'(i + cos дг)— sin jc(I -(- cos x)' |
|||||||||
|
\ |
1-f cos x ) |
|
|
|
|
|
( I + cos x)* |
|
|
||||
__ |
cos x ■(1 + c°s ■»•) -f- sin x sin x __ |
1 |
cos x |
__ |
|
|||||||||
|
|
(l- fc o sx f |
|
|
|
(I + cosxf |
|
I-|-cos л: |
||||||
8. |
Найти производную данной функции: |
|
|
|||||||||||
а) |
у = 52*-3; |
б) |
j/ = lnsinx; |
|
|
|
|
|||||||
в) |
у = sin2*; |
г) |
у ~ arctgV*. |
|
|
|
|
|||||||
Решение, а) |
Введем обозначение 2х — 3 = ы. Тогда |
|||||||||||||
у — 5й, и, применив формулу для |
производной сложной |
|||||||||||||
функции, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
У ' = ( 5 7 = 5 “ !п 5 - и ' = |
5 2 i- 3 In 5 •(2 х — |
3 ) ' => 5 2* “ |
31п5 •2. |
|||||||||||
б) |
Пусть и = sin х , |
тогда у = 1п и. Имеем: |
|
|||||||||||
у' = (In4 |
и)' = —I t и' = ~С 1п—Г (sinV |
ху = |
С I |
Y |
= ctg® л:. |
|||||||||
|
|
|
|
a |
|
sin дг |
|
' |
sin х |
|
|
|||
в) |
Если и = sin х, то у = и*2 и |
|
|
|
|
|
|
|||||||
уf = (и2)' = 2ии' = 2 sin * -{sin х)' = 2 sin xcos * = sin 2x. |
||||||||||||||
г) |
Если « = -\fx, то у = arctg w и |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
у' = (arctg ы)' = — |
|
■ и' «ш |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ иг |
|
|
|
|
||
|
|
|
■ b P)'— |
A r r - ^ = - |
|
|
|
|||||||
|
1+Ы*)2 |
|
1+* |
2л[х |
|
|
2ijx(l + х) |
|||||||
9. |
Найти производную данной функции: |
|
|
|||||||||||
а) |
у = In tg Sjf4+ 1; |
|
|
б) |
у = log2(log3(iog5*)); |
|||||||||
в) |
у — |
|
|
|
|
|
Г) |
|
|
]Ql—sin1Зде. |
|
|
||
д) у = arcsin2(ln(a3+ *3)). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение, а) |
Пусть |
и = tg 2 4х 1, тогда у — \пи и |
||||||||||||
___L.., |
— |
|
1 |
|
|
2* + |
I V |
, |
|
1 |
|
i |
||
у |
« и |
|
2дс + 1 V S |
4/ ~ |
2*+ I |
|
, 2* + 1' |
|||||||
|
|
|
tg—т-- 4 |
|
|
|
|
|
•' |
tg --- cos2 |
||||
X I |
|
|
. 2х + 1 |
2х + 1 2 |
|
. 2* + |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
W- sin- ---cos —-— |
|
sin — |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
232
б) |
Запишем данную функцию в виде y — \og2u, где |
|||||
и= log3(log5*). Тогда |
|
|
|
|||
|
O' = - Л Г У ■ |
“ log,(log!,).In 2 <loe»<loe>* » ' = |
||||
|
|
log3(log51дг) •In 2 logs х1•In 3 (logs*)'- |
||||
|
|
|
I |
I |
|
|
|
|
log3(log5x) •In 2 |
logs x •In 3 |
x in 5 * |
||
в) |
Записав данную функцию в |
виде |
у = е“, где |
|||
и = -д/1п(шс2+ Ьх + с), имеем |
|
|
|
|||
|
у ' = еии ' » . |
|
+ Ьх + |
с ))' = |
||
_ |
ет/щ<и'+*дг+с)— |
|
|
|
1(\п(ах2-+-Ьх |
|
|
|
2-\/|п{адс2 + Ьх + с) |
|
|
||
---- 1 |
|
.(а** + Ьх + с)' = |
||||
|
2^j\n(ax? + bx + <г) <*х* + |
Ьх + с |
|
|
||
|
|
еУ\п{ах?+Ьх-±с) |
| |
|
|
|
|
|
|
|
-{2ах + Ь) = |
||
|
2-0п(а** + ** + с) №г + Ьх+ с) |
|
|
|||
|
|
__ |
^йГ(«ч»*+г) (2ах + Ь) |
|
|
|
|
|
2 |
Vln(<w2-f- Ьх + с)(ая2+ Ьх 4- <?) |
|||
г) |
Пусть и = 1— sm43jc, тогда у = 10“ и |
|
||||
у '= 10“ In 10*ы' = 101- ,,n';iMn 10-(1 — sin43jc)' = |
||||||
|
= |
10,- "n,**ln 10 •( —4 sin33*)(sin 3x)' = |
||||
|
_ |
ю'-яп’з* |n io . ( —4 sin33x)cos 3x •3 = |
||||
|
|
= — 12 In 10- 10'-5,n,3*sin33Jr:cos3Jt. |
||||
д) |
Если и = arcsin ln(6 + г 3), то у = w2 и |
|
||||
у' j» 2иы' = 2 arcsin ln(6 + дс3) •(arcsin ln(6 + jk3))' = |
||||||
= 2arcsin(ln(jc3+ 6)) • |
■ 1 |
(ln(6 + JC3))' = |
||||
|
|
|
V i - |
ln2<6 + X*) |
|
|
= 2arcsin(ln(jc3+ 6))* — |
1 --- |
. 1 |
(6 + -r3)' = |
|||
|
|
|
Vi — ln2(6 + ^) |
6 + x^ |
|
|
|
=2a,csi„(ln(x» +e». i/i-rTsljR 7 f T & - |
|||||
|
|
~ |
6jc5aresin(In (x3 + 6)) |
|
|
|
|
|
(6+^)^! -ln2(6 + AJ )' |
|
233
Задачи для самостоятельного решения
3.1. Пользуясь определением (см. формулу (3.1)),
найти производную данной функции: 1) у = х ; 2) у =
=1/х; 3) y = tgx. (Ответ: 1) 4х3; 2) — I/лс2; 3) 1/cos х.)
3.2.Найти /'(0), ГО), Г (2), если f(x) = x(x — \f(x~2y.
(Ответ. ПО) = - 8, /'(1) = 0, Г<2) = 0.)
3.3.Найти угловой коэффициент касательной к кривой
у= sinх в точке (л, 0). (Ответ: — 1.)
3.4.Чему равны угловые коэффициенты касательных
ккривым i/ = \/х и у = х2 в точке их пересечения? Найти угол между этими касательными. (Ответ: — 1; 2; tg® = 3,
Ф«71°3 4'.)
В задачах 3.5—3.12 найти производную указанной
функции.
3.6.У = ( х - 2)/(х + 2). ( Ответ: у ' = 4/(х + 2)2.)
3.7.у = (x*— Зх-|-5}/х. (Ответ: у' = (дг— 5)/х .)
3.8. t/ = x ln x — х, |
(Ответ: у' = \пх.) |
|||
3.9. f/ = (l + x2)arctgx. (Ответ: |
у' = I + 2xarctgx.) |
|||
3.10. |
(Ответ: у '^ |
|
\ |
|
|
у х ' |
|
2хл]х cos2 х |
|
_ |
arccos х |
/ ~ |
, |
2х arccos х — л/l — \ |
З.П. S - - T 3 J - . (О гм г: ( , ------ JJ— ^ ----- .) |
||||
3.12. I / = |
3 * arcsin х. ( О т в е т : |
у ' = |
— 3 .. -{-ЗМпЗУ |
|
X arcsin jc.) |
|
v |
|
У ' - * 2 |
|
|
|
|
В задачах 3.13—3.38 найти производную сложной
функции.
3.13. у =д/Зх3— х2— 5. (Ответ: у '= — *<9* ~ 2> Л
'2ф х * — хг-\-Ь *
3.14.у = (2х + Зх2)“ 3/4. ( Ответ: у' =
'2У(2х + Зх2)7 '
3.15.у = -\fx-\fx. ( Ответ: у '=
3.16. у = Ц 2з^ ~ 4^)*. ( Ответ: у' = |6х(| |
Л |
' |
-2х) ' |
234
3.17. iv = — — |
1 ---- . ( Ответ: y' = — |
|
Л |
|||||
v(* + |
—•) |
|
|
|
2V<JC + 2f(-ca — I)3-7 |
|||
3.18 |
i f |
( 0TeeT- » ' — |
|
~ 5(7 |
" |
) |
||
-18- « = 4 |
|
|||||||
5 + * |
V |
|
|
(5 + x)2V 5 - r |
/ |
|||
3.19. у |
|
( Отвег. y'= |
|
*г(3 + 2^ |
Л |
|
||
3 V i+ ^ |
V |
|
3(i + дгг) V i+ J^2 7 |
|
||||
^ y * T A |
|
V V< f •» ; у 1 |
a |
|
|
3.20.у = cos>4лJC. (Oreer: y'= —4cos3*sin.д:c..)
3.21.у = 4C0SJt. (Ответ: у' = —4C0SJ;In 4 •sin *.)
3.22. y = arcsin—. ( Ответ: у' — ---- 1■ |
Л |
' |
||||
|
x |
' |
|
x^jx-— 1 |
||
3.23. у = д/е\ ^ Ответ: у' = |
|
|
|
|||
3.24. г/ = In sin jcН— |
cos2лт. / Ответ: у' = |
-- |
- А |
|||
|
|
2 |
\ |
г |
sm лт ) |
|
3.25. y = \ n ^ L z L . ( Ответ: |
у' = 2(6 |
) |
|
|||
* |
х' |
\\ |
* |
|
||
3.26.. у = In д/jc2+ У * 4— 5. |
^ 07в£г: у' |
|
|
|||
д-(лД' — 5 + л2) |
\ |
|
|
|
|
|
С |
) У * - - 5 |
' |
|
|
|
|
(ж2 4 У * ‘ - 5 |
|
|
|
|
3.27. у — tg дс/^1+ tg2дт. {Огвгг: у '= cos л:.)
3.28. 9 = a r c t g - ^ | . (О пит, - ^ = )
3.29. y = -j-\/a2—x^+^arcsm—^.(Ответ: у'= л]а*—х*)
3.30. и = 1 п ^ х+ '~ 2^ . |
( Ответ: у' - |
~ 2sec?jr -Л |
V^tg Jt+ I + 2V (g* |
- |
V*g^(4tgH-lr |
3.31.y=lncosarctg-^-^— . ^ Ответ: у' = e_ -~ ^
3.32.у = ^arc)«Vi -ьin(2a + 31
Ответ: у = |
„»гс!гV1+in(2»+3> |
— \ |
|
(2ж + 3)(2 + |
ln(2x + 3 ))V l + In ( 2 x 4 3)/ |
3.33. у = In sin-^arctg e^.
235
(Ответ: у' = ctg(Varctg(e*;))- е*г \
(1+ e6jt)Д/arctgf2е3* /
3.34. у
X(sm х + х
3.35.у = 1п(х + д/а2-j-дг2). ( Ответ: у' = 1/д/а2+ дс2.)
3.36. y = |
y i ^ p |
(Ответ: у' = |
3.37. у= In |
2In2sin ж + 3 |
(Ответ: у' =* |
|
2 In2sin дг — 3 |
|
3.38. у = 1- ^ “ ,а*со5*Зх.
(Ответ: у '= Зе5'"*3* sin 6*sin23.t)
В задачах 3.39—3.47 найти производную данной функции.
3.40. у = arccos 1— 2х ^2х —Ах1. (Ответ: у ' —
=У2/лг — 4.)
3.41.у = arctg ^ + |пу - ^ ± 1 . (Ответ: у'
3.42.у = arctg ~ ~ * . (Ответ: у '= ---
3.43. у = х arcctg — у !п(х2+ а2). (Ответ; arcctg-i- ^
3.44. у = In(sin х + -y/l -f sin2л)..
(Ответ; у' = cos л/д/l -(- sin2 х.)
3.45. у = д/4-у — х2+ 4 arcsin(У*/2). (Ответ: у' — = — У 4/* — 1.)
236
3.46. у = In — |
х + 2arctg-^sin jr. |
( Ответ: у' = |
|
I — \js\nx |
|
|
|
COS к |
|
|
|
3.47. у =~ х In £±-j- + i . In |
+ у |
arctg x. (Oreer; |
3.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ, Н ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Дифференцирование многих функций значительно упрощается после их предварительного логарифмирования. Если требуется найти производную у’ функции у = f(ж) с помощью логарифмического диффе ренцирования. то необходимо выполнить следующие действия:
1) прологарифмировать обе части уравнения {по основанию е):
In y = in fix)=<p(x):
2) продифференцировать обе части полученного равенства, где In у есть сложная функция от ж:
— y' = v'{x); if
3) заменить у его выражением через х и определить у':
y '~ y y 'tx ) = f(x)<t'(x).
Логарифмическое дифференцирование полезно применять, когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умноже ние, деление, возведение в степень, извлечение корня) и, в частности,
для нахождения производной от |
показательно-степейной |
функции |
|||
У= и‘\ где ы, v — функции от х. |
|
у = и", где u = f{x); |
v = ф(я). |
||
Найдем производную |
функции |
|
|||
Прологарифмировав данную функцию по основанию е, имеем |
|||||
|
|
In у = v In и. |
|
||
Продифференцируем обе. части полученного равенства: |
|
||||
|
У ' |
|
I |
* - |
|
|
— = v in и 4- v — и . |
|
|||
Отсюда |
У |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
у' = y (v ‘ In и |
у |
и"/ V In и + ~ “ Л * |
|
237
= u“ In и •u' + vu*
Tmmu образом, получена формула для нахождения производной or сгтешю-показательной функции:
(и°у = и" In и •v' + vu”~1и'. |
(3.2) |
Пусть функция' у(дг) задана лараметрическими уравнениями |
х — |
= <f(t), y — y(l), t g (а; р). Предположим, что функции х = ф(/), |
у = |
= +(<) имеют производные, причем ср'(0 ф 0 для 16 (а; р]. В этом случае для функции х = у (1) существует обратная функция t — Ф(л-), которая является однозначной. Согласно теореме о производной обратной функ
ции, функция |
Ф(х) имеет производную Ф'(дг)= ]/<р'{/), |
а по теореме |
|
о производной |
сложной функции функция у = $(Ф(;с)) |
также имеет |
|
производную у'(х) = у(Щ х ))Ф ’(х). Тогда |
|
||
или |
У’(х) = <Р(О |
(3.3) |
|
fy ’x = y i/f! = y’t/x!, |
(34) |
||
|
|||
|
(л = Ф(0- |
|
Рассмотрим дифференцирование неявных функций. Пусть значе ния двух переменных х и у связаны между собой уравнением F(x, у) = 0. Е с л и функция y = f(х), определенная на интервале (а; Ь), такова, что для всех х £ (а; 6) Р(х, /(*)) = 0, то у = Цх) — неявная функция, опре деленная уравнением F(x, у) = 0. Но не всякую неявно заданную функ цию F (х, у) = 0 можно представить в виде y = f(x)
Чтобы найти производную неявной функции, надо обе части урав нения F (х, (/)= 0 продифференцировать по х, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно у'; в результате найдем выражение производной от неявной функции в виде у' = <р(х, у).
Рассмотрим производные высших порядков. Производная функции
у' называется второй производной функции у и обозначается у". '1аким
образом, |
у" = (у'у. Аналогично у"' = (у")', |
У 1= (i/n~1V. |
Для |
того чтобы получить производную высшего порядка от данной |
функции, необходимо последовательно найти все ее производные н и з ш и х порядков.
В случае произведения двух функций производную п-го порядка можно найти, пользуясь формулой Лейбница:
(uvf“^= |
+ /ш(л_ ’V |
П'" —— u^'^zr" -f- ... + |
+ я(ч- L)-(n-(fc- L)) |
%(k)+ +nu,vi*-»+uvw |
|
Пусть функция |
задана параметрическими уравнениями дг = ф(<), |
у — ^(f) н существуют вторые производные функций <р(/) и ф(Л в не которой точке I. Тогда можно вычислить вторую производную от функ ции, заданной параметрически. Заметим, что функция у'{х), в свою очередь, задана параметрическими уравнениями < /;=4>'(W (o=im o.
лг = ч>(0- Тогда по формуле у’х = -^тттг! |
имеем |
|
<р(/) |
|
|
У"(х) = ^ = (у'(х)У.= Щ ^ - \ |
|/=ф(») |
|
|
<р(г) |
238
Аналогично получаем:
_ (УА)г |
I |
_ (j/,'1- Л |
/ I |
х! |
|<-Ф<*»’ |
дг/ |
|
Пусть уравнение F{x, у) = 0 определяет у |
как неявную функцию |
от х и найдена первая производная этой функции у' = <?(*, у). Вторую производную у" функции, заданной неявно, получаем, дифференцируя функцию ч>(дг, у) по переменной х н считая при этом у функцией от х:
•Г = (ф . У))' = F, (х, у, у').
Заменяя здесь у' на (p(.v, у), получаем выражение второй производной через х к у у" = Ft (х, у, <р(х, у)) = FA X , у).
Точно так же и все производные высших порядков от неявной функции можно выразить только через х к у. каждый раз. когда при дифференцировании появляется производная у', ее следует заменять на <р(лг, у)-
Примеры
1.Найти у', если y = (sinjc^OSJ1.
Реш ение . I способ. С помощью логарифмического
дифференцирования имеем:
In у = COS Х‘ In sin X,
— у' = — sin х* In sin jc + cosjc* — cos*.
у |
sin X |
откуда |
|
у' = (sin JtJ:osx( — sinjc* In sin x + cos2 x/svn * ). |
|
II способ. Применив формулу (3.2), получим |
|
t/' = cos jc * (sin |
1(sin дс)' +(sin л:):0S''ln(smJc)•(cosл:), = |
=cos2x(sin jcjf08*-1 — (sin x f 6sr+l In sin x =
=(sin x]fos*(cos2Jc/sin x — sin x • In (sin jc)).
2.Найти у', если у = \jx(x? -f- I )/(дг— I)2
Реш ение . Логарифмируя данную функцию, получаем
1п у = у Inx + y 1п(х2+ 1) — - | l n (*2 — 1).
Продифференцировав обе части последнего равенства, имеем