doc2
.pdf80 X. Динамика материальной системы
Подставим значения постоянных интегрирования в формулу (6)
и запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = -—cosA:/ + |
|
||||
|
|
|
2к |
|
|
2k1 |
|
или, зная, что (й=к, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
• |
, |
h . |
|
|
|
X = |
2 сот SinСО/ |
2со/COSCO/. |
|
||
Ответ: |
1) при |
Ф со |
х = - |
со |
|
sin£/ + |
sin со/, |
|
|
|
|
к |
к2-(0' |
к2-(й2 |
|
|
где к = J-*-, h = |
Мх+М2 |
aw2; |
|
|||
|
IА |
|
|
|
|
||
|
2) при J j |
= со |
х = |
h |
|
Ь 4 |
|
|
|
sinco/ -— /cosco/. |
|||||
|
|
|
2ml |
|
2со |
|
Задача 35.13
Электрический мотор массы М{ установлен на балке, жесткость которой равна с. На вал мотора насажен груз массы М2 на расстоянии / от оси вала. Угловая скорость мотора со = const. Определить амплитуду вынужденных колебаний мотора и критическое число его оборотов в минуту, пренебрегая массой балки и сопротивлением движению.
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
Запишем теорему о движении центра масс |
|
|
||
механической системы в проекции на ось х (см. |
|
|
|||
рисунок): |
|
|
х ч Л \ |
У |
|
|
Mxc=(Mi+M2)g~Fyup, |
(1) |
<Р |
|
|
где М = Мх+М2, |
Fynp = c(x + /CT); |
|
М?В |
|
|
Мхс - Мххх + М2х2. |
|
|
|||
|
% XF уцр |
W |
|||
то |
Поскольку Хх = х+Ь ф = const), Х2 = I COS СО/ + X, |
||||
|
|
= X, |
|
|
|
|
х2 |
= -/со2 COSCO/ + jf. |
|
|
|
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
81 |
Тогда
Мхс - М\ х+М2 х - M2l(s? cos to/.
Это выражение подставим в уравнение (I):
(Mi + М2)х - М21ы2 cosco? ~-сх
и получим неоднородное дифференциальное уравнение относительно х:
|
|
Х + |
с |
М2/оо2 |
cosco? |
|
|
My +М2 |
X - — - |
||
|
|
|
М{+ М2 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + k2x = hcosoit, |
(2) |
|
где к2 = |
с |
, _ М2/со2 |
|
|
|
М] +М2 |
М,+М 2 |
|
|
Дифференциальное уравнение (2) — это уравнение вынужденных колебаний без сопротивления. Его решение х - х + х*. При к Ф со х* = A cosco/.
Найдем амплитуду вынужденных колебаний. Возьмем вторую производную:
х* = -Лео2 cosco/.
Подставим выражения х* и х* в уравнение (2):
-Лео2 cosco/ + к2(А cosco/) = h cosco/
и найдем |
|
|
|
|
|
а = А |
h |
|
М21 со2 |
_ |
М2/со2 |
к2-(О2 |
,,, . |
с |
|
с-(My +М2 )соX |
|
|
|
(М,+М 2 )| — ^ —-- со 2 |
|
|
|
|
|
|
\М] + м 2 |
|
|
Критическое число оборотов мотора икр в минуту определим из условия резонанса, когда к - со:
Юкр |
__ |
_ к _ |
|
30 |
У My+М: |
82 |
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
_ 3 0 |
I с |
|
|
|
"кр~ |
л\М,+М2' |
|
||
Ответ: а = |
М М 2 |
|
30 I |
с |
. |
- |
г-; пк„ = — |
|
|||
|
с - (Л/, + М2)(й |
р |
к У М , + М 2 |
|
|
|
|
Задача 35.14 |
|
||
На рисунке изображена крановая |
|
|
|||
тележка А массы М\, которая затормо- |
|
|
|||
жена посередине балки BD. В центре |
ч„ |
|
|||
масс С| тележки подвешен трос дли- |
Д - |
|
ны / с привязанным к нему грузом С2 массы М2. Трос с грузом совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости. Определить:
1) суммарную вертикальную реакцию балки BD, считая ее жесткой;
2) закон движения точки С| в вертикальном направлении, считая балку упругой с коэффициентом упругости, равным с.
В начальный момент балка, будучи недеформированной, находилась в покое в горизонтальном положении. Считая колебания троса малыми, принять: sin <р — ф, cos(p = l. Начало отсчета оси у взять в положении статического равновесия точки Cj. Массой троса и размерами тележки по сравнению с длиной балки пренебречь.
Ре ш е н и е
1)Определим суммарную вертикальную реакцию балки BD, считая
еежесткой.
На механическую систему, состоящую из тележки А и груза С2, действуют сила тяжести M\g тележки, сила тяжести M2g груза, суммарная вертикальная реакция Ry (рис. 1).
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
83 |
Запишем теорему о движении центра масс: |
|
Мас - M\g + M2g + Ry- |
(1) |
В проекции на ось у выражение (1) примет вид |
|
Myc=(Ml+M2)g-Ry. |
(2) |
Отсюда |
|
Ry={M,+M2)g-Myc. |
(3) |
Найдем проекцию ускорения центра масс системы на ось у. Координата центра масс
я= МУ) + М2у2
М\+М2
где ух =0; у2 =/coscp, / — длина троса С,С2.
Тогда
(4)
М
где М — суммарная масса системы, Л/ = М1 + М2.
Найдем вторую производную по времени от ус, считая, что ф = /((), тогда
dyc М21 . at М
. d2yc |
М21 . |
. М21 |
.2 |
Ус= — ГГ = — п~я п Ф'Ф—- ^-соБф ф . |
|||
dt |
М |
М |
|
С учетом формулы (5) выражение (3) примет вид
Ry -{Мх + M2)g + M2l(sтф-ф+совф-ф2).
Вертикальная реакция наибольшая при ф = 0. Поэтому
Ry = (Mx+M2)g + M2l<v2.
(5)
(6)
(7)
Примечание. Ответ Ry = (Л/, + M2)g неверен, так как масса М2 (груз С2) совершает гармоническое колебание в вертикальной плоскости и поэтому будет возникать дополнительное давление, обусловленное наличием центробежной силы инерции, равной Л/2/ф2, что и получено в предлагаемом реше-
84 |
X. Динамика материальной системы |
нии. Для определения величины этой силы в условии задачи должны быть дополнительно указаны начальные условия движения груза С2, т.е. при t =0 должны быть заданы ф0 и ф0.
Пусть заданы такие начальные условия: / = 0, ф0=0, ф = ф0 *0.
Составим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника. Запишем второй закон динамики в проекции на ось т (рис. 2):
М2ат = -M2gsinq>,
где ат — касательное ускорение,
dt dt
Тогда
<pi = -£8Шф.
M2g
Рис. 2
Считая колебания малыми, примем зтф = ф. Тогда дифференциальное уравнение колебаний маятника
ф + | Ф = 0
или
ф + Л 2 Ф = 0,
где к = — циклическая частота колебаний.
Решение этого уравнения:
Ф= С, coskt+С2 sin kt,
ф= -С, к sin kt+С2к coskt.
При указанных начальных условиях движения Cj = ф0 = 0, С2 =
Тогда уравнение движения маятника
Тк
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
85 |
Найдем
ф = ^ • к coskt = фо coskt.
к
Слагаемое М21 ф2 в выражении (7) будет иметь максимальное значение при ф = фтах, т.е. при t — 0. Отсюда следует, что ф = фтах = ф0. Тогда
Ry=(Ml+M2)g |
+ M2l ф§. |
|
2) Определение закона движения |
|
|
точки С] в вертикальном направлении, |
|
|
считая балку упругой, с коэффициен- |
|
|
том упругости, равным с. |
|
|
Так как балка упругая, то под дей- |
|
|
ствием силы тяжести тележки и груза |
|
|
она прогнется и точка С, (рис. 3) сме- |
|
|
стится вниз на некоторую величину <рст |
|
|
(статическая деформация). |
|
|
В этом случае на механическую си- |
|
|
стему действуют силы тяжести тележ- |
|
|
ки А и груза С2, т.е. M\g и M2g, а также сила упругости балки |
|
|
^упр = - с ( л + / с т ) - |
(8) |
Запишем теорему о движении центра масс в проекции на ось у:
Мус = (A/t + M2)g - Fynp. |
(9) |
Поскольку начало координат выбрано в положении статического равновесия (в точке О), то у, = уи у2 = у +/coscp. Тогда уравнение движения центра масс системы по оси у
_ |
+М2у2 |
_ Му\ +М21сощ |
|
|
Му+М2 |
м |
|
где М - Л/, + М2. |
|
|
|
Дважды продифференцировав это уравнение и получим |
|
||
Ус = У\~~-^шф-ф+соэфф2). |
(11) |
||
|
М |
|
|
86 |
X. Динамика материальной системы |
|
|
С учетом формул (8) и (11) выражение (9) примет вид: |
|
|
Мух - М2 /(sin ф• ф+ cosф• ф2) = (А/| + M2)g - c{fCT + yt). |
(12) |
Учитывая, что в положении статического равновесия сила упругости равна силе тяжести, т.е. (М, +M2)g = cfcr, уравнение (12) примет вид
с |
М21 . . ^ |
. -к |
.... |
Л + T i Т Г У * - „ жж ( ^ П ф ф + С О Б ф ф 2 ) . |
( 1 3 ) |
||
М\ +М2 |
М{+ М2 |
|
|
Уравнение (13) — дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, т.е. центр масс Сх будет совершать вынужденные, а не свободные, колебания, как указано в ответе в сборнике.
Чтобы решить уравнение (13), нужно задать начальные условия колебаний груза С2. Если принять начальные условия, приведенные при определении Ry, уравнение колебаний маятника будет таким:
Фп . . m = — sin А:/,
к
тогда
ф = ф о coskt,
ф= - ^к sin kt.
После преобразований уравнение (13) примет вид
- , |
с |
М2/Фо л/. |
(14) |
|
+ |
Мх +М2 |
у, = — ^ i - c o s 2 |
kt. |
|
|
М\+ м2 |
|
|
Введем обозначения:
==И, 2к = р.
Мх +М2 |
М\+ м2 |
|
Тогда дифференциальное уравнение движения точки С, |
|
|
|
У\ + к\ У\ = h cospt. |
(15) |
Решение неоднородного уравнения (15) представим в виде
У1 =У\ +У\,
где ух - /lcos£1/+2?sin&1? — решение однородного дифференциального уравнения.
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
87 |
|
Решение неоднородного уравнения ищем в виде |
|
|
у* = А\ sin /7/ + Д cospt. |
|
|
Найдем вторую производную |
|
|
у* = -A\p2s\npt-B\p2 |
cos pt |
|
и подставим в уравнение (15): |
|
|
-Аур2 Sinpt-Bxp2 cospt + к2Л\ sin |
+ к2В\ cospt-h |
cos pt. |
Коэффициенты при sinpt и cospt должны быть одинаковыми, следовательно, получим два уравнения. Первое уравнение
|
4(к?-р2) |
= 0 |
|
|
(приравняли коэффициенты при sin/tf). |
|
|
||
Так как р2 =4к2 =4—, а к? = |
и числовые значения не за- |
|||
I |
Мх+М2 |
|
|
|
даны, то будем считать, что рфкх . Тогда при sinpt*0 |
А\ =0. |
|||
Из второго уравнения |
|
|
|
|
Bl(k?~P2) |
= h |
|
|
|
(приравняли коэффициенты при cospt) найдем |
|
|||
|
и |
|
|
|
|
к(~Рт |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
* |
Л |
2 cosPf> |
|
|
У\ =71 |
|
|
||
|
к\ - р |
|
|
|
У1 = A cosk\t + 5sin kxt + —h_ |
^ cospt. |
(16) |
||
|
|
к ? - р 2 |
|
|
Возьмем производную от ух по времени |
|
|
||
У\ = -Ак\ sinkxt+Bkx cosk\t — |
^ , sin pt. |
|
||
|
|
kf-pl |
|
88 X. Динамика материальной системы
С учетом начальных условий движения при t = 0 из уравнения
Уко) = -/сТ определим А: |
|
|
|
|
|
/ст - Л +—2 |
2' |
||
|
|
к\+Р |
|
|
A- ~h |
f - - |
h |
( (M]+M2)g |
|
Itf-P2 |
с |
|||
|
|
из уравнения j>1(0) =0 определим В:
0 = Вкх ^> В = 0.
Подставим значения постоянных интегрирования А и В в формулу (16) и запишем уравнение движения точки Сх:
Л = - |
h |
(Mx+M2)g |
coskit + - |
-cospt. |
|
~\—р2 |
С |
. |
к{ - р- |
|
|
С учетом введенных обозначений: |
|
||||
|
|
к\ = |
Мх +М2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
h = |
М2/фр |
|
|
|
|
Mi +М 2 ' |
|
||
|
|
Р = 2к = 2 |
№ |
|
|
это уравнение будет иметь вид |
|
|
|
||
(Мх + M2)g |
|
° |
—-(cos/)?-cos/:,/). |
||
|
с |
|
|||
|
^ М , + М 2 |
k ? - p 2 |
|
Ответ: 1) Ry = (М, + M2)g + М21ф20;
2) точка С, совершает вынужденные колебания по закону
(М] + |
M2)g |
с |
t + — |
h T(cospi - coskxt). |
ух = - - — |
— cos |
|||
|
|
Mx+M2 |
kx |
- рг |
35. Теорема о движении центра масс материальной системы |
89 |
Примечание. Приведенный в сборнике ответ неверный, так как точка С| совершает вынужденные, а не свободные, колебания, т.е. в ответе от-
сутствует слагаемое —^ ^(cosp/ -cosfc,/). tf-p1
Задача 35.15
Сохранив данные предыдущей задачи и считая балку BD жесткой, определить: 1) суммарную горизонтальную реакцию рельсов; 2) в предположении, что тележка не заторможена, закон движения центра масс Cj тележки А вдоль оси х.
В начальный момент точка Сj находилась в покое в начале отсчета оси х. Трос совершает колебания по закону <р = ф0 cosco/.
Ре ш е н и е
1.Определение суммарной горизонтальной реакции рельсов.
На механическую систему действуют (см. рисунок) сила тяжести М{ g тележки, сила тяжести M2g груза С2, суммарная горизонтальная Д. реакция и суммарная вертикальная реакция Ry.
Запишем теорему о движении центра масс в векторной форме и в проекции на ось х:
Мас = Mlg + M2g + Ry + Rx
Мхс = Rx.
Координата центра масс
Х\М\ +М2х2
Хс =
Мх +М2
где X] =0, х2 =/sin9-
Тогда
M2l sin® |
М21 • |
Хс = —^ |
= ——sin ю. |
М,+М2 |
м |
M2g
(1)
(2)
( 3 )