4

она характеризует систематическую составляющую погрешности измерения. То есть M X Xст ; для чисто случай-

ной погрешности (когда Xст 0)M X 0.

Дисперсия характеризует степень разброса отдельных значений погрешности относительно M X и может служить характеристикой точности проведенных измерений, но имеет размерность в единицах измеряемой величины в квадрате. Поэтому в качестве числовой характеристики случайной погрешности чаще используют среднеквадрати-

ческое отклонение σ X :

X D X . (11)

Положительное значение σ X , вычисленное в соответствии с (11), называется средним квадратическим отклонением (СКО) случайной величины X, а применительно к погрешностям измерений ее следует называть средней квадратической погрешностью (СКП) результата измерений.

Графическое представление нормального закона распределения случайных погрешностей (дифференциальная функция распределения p X или плотность вероятностей) приведена на рис. 6, а аналитическое выражение этого закона имеет вид:

	1						2
							X M X
	p X					exp		.	(12)
			2πσ X				2σ2 X

В такой форме записи вид кривой распределения будет изменяться в зависимости от величины σ X (рис. 6.), но если характеризовать случайную погрешность безразмерным

X

нормированным числом t σ X (нормировка относитель-

31

но СКП), то получим кривую нормированного нормально-

го распределения

P t	1					t	2
				exp								(13)
			2π		2
с аргументом
	X M X
t									.			(14)
			σ X

Рис. 6. Кривая нормального закона распределения

Вид кривой нормированного нормального распределения чисто случайной погрешности (M X 0) приведен на рис. 7. Часто по условиям измерительной задачи требуется найти максимальную (предельную) случайную погрешность, которая может иметь место. Величина максимальной случайной погрешно-

сти ( Xсл.max ) связана с X и зависит от закона распределе-

ния. Так, например, для нормального закона максимальная случайная погрешность часто принимается равной (см. рис. 6):

32

Xсл.max	3 Xсл .	(15)
Для других законов распределения соотношение между
величинами Xсл.max и X	отличаются от (15). Так, для рав-
номерного закона распределения Xсл.max 1,73 ;		для треуголь-
ного Xсл.max [8].

Рис. 7. Кривая нормированного нормального закона распределения

Определить числовые характеристики случайной погрешности, воспользовавшись (9) и (10), можно только в том случае, если известно аналитическое описание закона распределения

P X .

На практике числовые характеристики случайной погрешности приходится находить путем соответствующей математической обработки результатов измерений. Для нахождения числовых характеристик случайной погрешности измерения должны быть многократными (статистическими), т. е. необходимо n раз провести измерение одного и того же

33

значения измеряемой ФВ и получить ряд результатов измерений в виде: X1; X2 ;X3;…;Xn.

Если все результаты полученного ряда исправлены (т. е. не содержат систематических погрешностей), то, пользуясь правилами теории вероятностей, можно найти действительное значение измеряемой ФВ и числовые характеристики случайной погрешности. При этом следует учитывать тот факт, что числовые характеристики M X и X находятся всегда на основании ограниченного ряда результатов измерений (на практике n всегда конечное число, т. е. n ). Поэтому в результате вычислений при обработке результатов измерений находим не теоретические значения M X и X , а их оценки. Для того чтобы подчеркнуть этот факт, оценки, в отличие от теоретических значений числовых характеристик, обозначаются другими символами. Для вычисления оценок в соответствии с ГОСТ 8.207–76 используются следующие формулы:

		n
σ X SX				Xi X 2
		i 1						;
M X Xдст					n 1
	X 1 Xi,
					n

n i 1

(16)

(17)

где X – среднее арифметическое значение результатов серии из n измерений (оценка математического ожидания результа-

та измерений), оценка действительного значения измеряе-

мой ФВ; SX – оценка средней квадратической погрешности единичного измерения в ряду равноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность X и ее оценка

Sx , полученная путем обработки опытных данных, является

основным показателем точности применительно к случайным погрешностям измерений.

34

Точность оценок, полученных по формулам (16) и (17), растет с увеличением n, и в пределе (при n ) они стремятся к теоретическим значениям числовых характеристик.

Поскольку при вычислении по формуле (16) получаем

оценку математического ожидания X и эту оценку прини-

маем за результат измерения, необходимо знать степень разброса величины X относительно M X . Характеристикой меры разброса служит оценка средней квадратической по-

грешности среднего арифметического SX , вычисляемая по формуле

Xi

2

SX

S

X

.

(18)

n n 1

X

n

Как следует из (18), средняя квадратическая погреш-

ность среднего арифметического SX в n раз меньше сред-

ней квадратической погрешности единичного измерения SX . Полученные в соответствии с (17) и (18) оценки СКП

имеют размерность измеряемой ФВ, т. е. выражены в абсо-

лютной форме. Для выражения этих оценок в относительной форме следует поступать по общему правилу (см. (3)), т. е.:

S

SX

; S

S

.

Xотн

X

Xi

Xотн

SXотн и S

X

отн могут

быть

выражены как безразмерным

X

числом, так и в процентах, что чаще всего и бывает. Полученные по формулам (16 – 18) числовые характе-

ристики выражаются определенным числом и называются

точечными оценками.

С использованием точечных оценок результат измерения с учетом случайной погрешности может быть представлен в виде:

35

дст.н

Xдcт X S		.	(19)
	X

Такая запись говорит о том, что действительное значение измеряемой физической величины может находиться в интервале

значений от Xдст.н X SX до Xдст.в X SX . Вероятность этого события пока не определена. Более того, результат измерения может находиться и вне интервала, ограниченного значениями X и Xдст.в.Вероятность этого события также пока не опре-

делена. Более полную информацию о действительном значении измеряемой величины дает представление результата измерения в виде доверительного интервала при заданной доверительной вероятности Pдов.

Для результата измерения доверительным называется интервал, который с заданной вероятностью, называемой доверительной вероятностью (Pдов ), включает действительное значе-

ние измеряемой ФВ, т. е. это интервал значений (X Х, X X), для которого

P				Xдcm				Pдов.	(20)
	X		Х		X		Х

Для случайной погрешности доверительным интервалом называется интервал значений случайной погрешности, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое значение погрешности X , т. е.

P Хсл		Хсл Pдов.	(21)
	X

При определении доверительных интервалов доверительной вероятностью задаются (если она не задана условиями из-

мерительной задачи). В	зависимости от условий измерений
и конкретных требований	Pдов принимают, например, равной

от 0,9 до 0,999. Чем больше принятое значение Pдов , тем более надежно будет оценен интервал, но тем шире будут его границы, т. е. надежность оценок ( X,SX ) будет выше.

36

X p tpSX ,

Для технических измерений при нормальном законе распределения в большинстве случаев достаточной считается вели-

чина Pдов 0,95.

Следует заметить, что точечная оценка SX , полученная

на основании экспериментальных данных при ограниченном числе измерений, остается случайной величиной (так, например, если обработать другую выборку результатов измерения той же ФВ с другим числом измерений n*, то получим новую оценку

S*X , немного отличающуюся от SX ).

Следовательно, может быть рассмотрена задача об опреде-

лении доверительного интервала для оценки средней квадратической погрешности среднего арифметического SX при некоторой доверительной вероятности. Методику определения доверительного интервала для SX при необходимости можно

найти в [5, 6].

При определении характеристик случайной погрешности приходится решать как задачу определения доверительных границ СКП при заданной доверительной вероятности, так и обратную задачу определения доверительной вероятности Pдов ,

с которой СКП не выйдет (или выйдет) за границы заданного (симметричного или несимметричного) интервала при заданном законе распределения случайной погрешности.

Границы симметричного доверительного интервала

Х p , за пределы которого с заданной доверительной вероят-

ностью не выходит случайная погрешность результата статистических измерений, определяют в соответствии с выражением

(22)

где tp – безразмерный коэффициент, определяемый задаваемой доверительной вероятностью Pдов и видом закона распреде-

ления случайных погрешностей.

37

Доверительный интервал случайной погрешности может быть определен не только для результата многократных

измерений, но и для любого результата, полученного путем однократных измерений, если известна величина СКП,

с которой этот результат получен. Границы доверительного интервала случайной погрешности в этом случае определяются по формуле, аналогичной (22):

X p tp SX

(23)

При несимметричном задании границ доверительного

интервала говорят о нижней Xн и верхней Xв границах интервала для случайной погрешности результата измерений. Выражение (21) в этом случае следует записать в виде:

P		н				в Pдов ,	(24)
	X		X		X

а вероятность того, что случайная погрешность окажется внутри указанного интервала, определяется в общем случае в соответствии с выражением

	X
Pдов	вp X d X .	(25)

Xн

Для случайной погрешности, распределенной по нормальному закону, выражение (25), с использованием нормированной функции нормального распределения, можно записать в виде:

1

tв

t2

e

Pдов

2 dt,

(26)

2 tн

н

, – значение

где t

н

X

безразмерного коэффициента для

S

X

н

– значе-

нижней границы доверительного интервала; t

X

в

S

X

ние того же коэффициента для верхней границы доверитель-

38

ного интервала. Для симметричного интервала ( ti ) (25)

можно переписать в виде:

2

ti

t2

P

e

2 dt.

(27)

дов

2 0

Интеграл вида

ti t2

P ti

1

(28)

e

2 dt.

2π

0

называется нормированной функцией Лапласа, или интегралом вероятностей. Значения этого интеграла или интеграла вида (26) для различных значений аргумента приводятся в справочных таблицах (см. табл. П.2.1), с использованием которых можно решить прямую и обратную задачи определения характеристик случайной погрешности, распределенной по нормальному закону. При этом не следует забывать, что, пользуясь табличными значениями интеграла вида (26), находим полную вероятность попадания в симметричный интервал с границами ti , а пользуясь табличными значениями

интеграла вида (27), только половину полной вероятности для одной части симметричного доверительного интервала. При решении этих задач можно использовать также таблицы значений нормированной интегральной функции нормального распределения вида:

	Ф t		1		t		t2
					e
							2 dt.		(29)
			2

С использованием табличных значений функции Ф t (см. табл. П.2.2) выражение (21) для доверительной вероятности нахождения случайной погрешности внутри несимметричного интервала с границами от tн до tв записывается следующим образом:

39

1

tв

t2

tн

t2

Ф tв Ф tн

2

2

Pдов

e

dt e

dt .

(30)

2π

Табличными значениями нормированной функции Лапласа удобно пользоваться для решения задач при симметричном задании доверительного интервала, а табличными значениями нормированной интегральной функции – при несимметричном.

При определении числовых характеристик случайной погрешности по результатам эксперимента табличные значения интегралов вида (26) и (29) следует использовать в том случае, когда количество наблюдений в выборке достаточно велико (n > 20). При малом n точечные оценки случайной погрешности сами становятся случайными величинами. Учитывая это, выражение (14) для нормированного отклонения результата измерений от действительного значения при n < 20 следует записать в виде:

				M X			.
tn			X					(31)
				S
					X

Использование символа tn в (30) подчеркивает тот факт,

что нормированное отклонение определено с использованием

оценок ( X и SX ), полученных при обработке выборки малого объема.

Величина tn , таким образом, является некоторой функцией

числа наблюдений в выборке n. Следовательно, границы доверительного интервала, определяемые в соответствии с (22), будут зависеть не только от доверительной вероятности, но и от числа наблюдений n. Закон распределения случайной величины tn отличается от нормального и называется распределением

Стьюдента. Это различие существенно при малом числе наблюдений n, а при n распределение Стьюдента полностью совпадает с нормальным. Таким образом, при обработке ре-

зультатов статистических измерений при малом количестве наблюдений (n < 20) доверительный интервал следует опре-

40