Прекционное черчение

29

Рассмотрим изображения конуса вращения на комплексном чертеже (рис. 28).

Рис. 28. Комплексный чертеж прямого кругового конуса

Чтение комплексного чертежа конуса

1. Ось вращения i перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций и на П1 изобразится в виде точки (центр окружности основания).

2.Основание конуса – круг, расположенный в горизонтальной плоскости

уровня, поэтому на П1 изобразится в виде окружности в натуральную величину, а на П2 в виде отрезка, длина которого равна диаметру окружности основания.

3.Все образующие конуса проходят через вершину и являются прямыми общего положения, кроме S1 и S3 – фронтальных прямых уровня, S2 и S4 – профильных прямых.

4.Боковая поверхность конуса не обладает проецирующими свойствами.

5.Горизонтальный очерк – окружность основания.

6.Фронтальный очерк – треугольник, образованный проекцией основания в виде отрезка и образующими S1 и S3 – фронтальными меридианами.

30

7. Видимость поверхности. На плоскости П1 видима вершина и боковая поверхность конуса. При проецировании на П2 граница видимости проходит через фронтальный меридиан 1S3, поэтому видимой на П2 является ближняя к наблюдателю боковая поверхность конуса.

Построение профильной проекции конуса

1. Построение профильной проекции оси вращения i3, совпадающей с осью z.

2.Проецирование по горизонтальным линиям связи вершины S3 на ось i3 и основания в виде отрезка, длина которого равна диаметру окружности основания (центр окружности – на оси вращения).

3.Из вершины к крайним точкам основания проходят профильные очерковые образующие (прямые).

4.Профильный очерк – треугольник, образованный проекцией основания в виде отрезка и образующими S2 и S4 – профильными меридианами.

5.Видимой на П3 является левая половина боковой поверхности конуса.

Построение точки на поверхности конуса

1. Пусть точка А задана своей фронтальной проекцией. По условию принадлежности точки конусу, проведем через вершину и точку А образующую.

Порядок построения:

1) l2 = S2A2.

2)l2 ∩ основание = N2.

3)N1 на горизонтальной проекции окружности основания.

4)S1 N1 = l1.

5)А1 # l1 (вертикальная линия связи).

6)А3: А2А3 – горизонтальная линия связи (А3Аz = AxA1 = yA). А3 видима.

2.Пусть точка В невидима на фронтальной плоскости проекций. Построим

еегоризонтальную проекцию по принадлежности окружности конической поверхности. Окружность m для точки В лежит в плоскости, перпендикулярной оси

вращения i, значит на П2 она изобразится в виде отрезка m2 & i2 (B2 # m2). Центр окружности m лежит на оси i, диаметр окружности равен длине отрезка m2 в пределах фронтальных очерковых образующих, т. е. радиус – расстояние от оси до очерковой образующей. На П1 окружность m изобразится в натуральную величину (Om1 # i1, Rm). Находим В1 # m1 по вертикальной линии связи. В1 лежит на дальней

от наблюдателя половине конуса и является видимой. В3 строим по двум известным проекциям (В1 и В2). В3 невидима, так как лежит за границей видимости на П3.

3. Точка С принадлежит образующей S2. Поэтому строим сначала профильную проекцию С3 # S323, а затем по двум известным (С2 и С3) строим С1

(СхС1 = СzС3 = yC).

31

Линия на конической поверхности

При пересечении поверхности конуса плоскостью можно получить следующие линии:

1) две образующие (рис. 29 а), S # α;

2)окружность (О, R) (рис. 29 б), β & і;

3)эллипс (рис. 29 в) (АВ – большая ось эллипса, СD – малая ось эллипса). Угол наклона плоскости γ к оси і больше, чем угол наклона образующей к оси і;

4)парабола (рис. 29 г) (А – вершина параболы). Плоскость τ параллельна одной из образующих;

5)гипербола. Плоскость σ наклонена к оси i под углом меньшим, чем угол наклона образующих конуса к его оси (рис. 29 д), т. е. параллельна двум образую-

щим конуса, в частном случае плоскость ( || i (рис. 29 е).

à

á

â

ã

Рис. 29. Линии на поверхности конуса

32

ä

å

Рис. 29. (Продолжение)

Пример построения линии на конусе

Дано: Ф – конус, боковая поверхность которого является поверхностью общего вида.

————————

l (l2) – ?

Анализ условия (рис. 30)

Линия l лежит в плоскости γ, наклоненной к оси і и пересекающей все образующие конуса. l – эллипс.

l2 – известна (γ – проецирующая на П2).

—————————

l1 и l3 – ?

Рис. 30. Построение линии на конусе

33

Порядок решения:

1. Опорные точки: АВ – большая ось эллипса, СD – малая ось эллипса. А и В принадлежат образующим конуса. С и D строятся, исходя из условия принадлежности окружности поверхности конуса.

Точки видимости на П3: точки 1 и 2 (на профильном меридиане).

2.Промежуточные точки строятся, исходя из условия принадлежности параллелям (окружностям) на поверхности конуса (см. «Построение точки на поверхности конуса», стр. 30).

Соединяем полученные точки плавной кривой по лекалам тонкой линией, следя за тем, чтобы проекции эллипса были симметричны относительно большой

ималой осей эллипса.

3.Видимость эллипса. На П1 все точки на конической поверхности видимы, поэтому обводим эллипс как видимый. На П3 видима часть эллипса ближе границы видимости до точек видимости 13 и 23. К точке В3 уходит невидимая часть эллипса.

Пример построения выреза в конусе

Анализ условия (чтение исходного чертежа) (рис. 31)

Дано: 1. Конус, боковая поверхность которого – поверхность общего вида.

2. Сквозное призматическое отверстие, образованное тремя плоскостями, занимающими проецирующее положение по отношению к П2 (собирательное свойство фронтальной проекции отверстия).

Вывод: фронтальные проекции линий пересечения известны, необходимо построить их горизонтальные и профильные проекции.

Рис. 31. Задание для построения выреза в конусе

Порядок решения:

1. Строим изображения конуса (рис. 32) без учета отверстия, пользуясь введенными внутренними координатными осями (ось z совпадает с осью вращения конуса i) и линиями проекционной связи.

34

Рис. 32. Построение выреза в конусе

2. Строим проекции линий пересечения каждой плоскости, ограничивающей отверстие, с конической поверхностью на плоскостях проекций П1 и П3. Рассмотрим, как пересекается коническая поверхность каждой плоскостью отверстия.

а) Нижняя плоскость отверстия лежит в плоскости α, которая является горизонтальной плоскостью уровня. Плоскость α перпендикулярна i и пересекает коническую поверхность по окружности, горизонтальная проекция которой – окружность радиуса R, а профильная проекция – отрезок. Но в вырез попадает не вся окружность, а две дуги между точками 1, 2 и точками 1′, 2′. Находим горизонтальные проекции точек 1, 2, 1′, 2′ на построенной горизонтальной проекции окружности, а затем их профильные проекции.

б) Плоскость выреза β пересекает коническую поверхность по эллипсу. Построение эллипса на конусе рассмотрено на стр. 32.

Эллипс строится полностью, а затем выделяются участки, попадающие в вырез, с учетом видимости.

Опорные точки: АВ – большая ось эллипса; СD – малая ось эллипса;

5 и 5′ – точки видимости на П3.

Промежуточные точки строятся из условия принадлежности конической поверхности (вспомогательные окружности в плоскостях, перпендикулярных оси вращения).

35

Соединяем полученные горизонтальные и профильные проекции точек плавными кривыми с учетом видимости, следя за симметричностью их относительно большой и малой осей эллипса.

в) Плоскость выреза γ пересекает коническую поверхность по гиперболе. Строим гиперболу полностью, а затем выделяем участки, попадающие в вырез. Плоскость γ – профильная плоскость уровня, поэтому она перпендикулярна П1, а значит, горизонтальная проекция гиперболы – прямая (собирательное свойство γ1). Следовательно, необходимо построить профильную проекцию гиперболы по двум известным.

Опорные точки: М – вершина гиперболы;

N и N′ – точки на основании конуса. Промежуточные точки строятся, исходя из условия принадлежности

точки конической поверхности (вспомогательные окружности в плоскостях, перпендикулярных оси вращения).

Соединяем полученные проекции точек плавной кривой. Гипербола на П3 невидима, так как лежит за границей видимости.

3.Строим проекции линий пересечения плоскостей призматического отверстия: прямая 11′ – пересечение плоскостей α и β, прямая 22′ – пересечение плоскостей α и γ, прямая 33′ – пересечение плоскостей β и γ.

4.Удаляем участки конуса, вырезанные отверстием. Это части образующих

45 и 4′5′, а также части конуса, заключенные между плоскостями выреза. Части гиперболы от точек 23 и 2$3 до эллипса ничем не закрыты, а, значит, видимы на П3.

5.Обводим проекции конуса и полученные линии выреза.

2.2.3. Сфера и шар

Сферическая поверхность образуется вращением окружности вокруг своего диаметра, который является осью вращения (рис. 33 а). Сферическая поверхность нелинейчатая.

à

á

Рис. 33. Образование сферической поверхности и шара

36

Шар – геометрическое тело, ограниченное сферической поверхностью. Экватор и все меридианы сферы (шара) имеют одинаковые диаметры

(рис. 33 б). Параллели имеют разные диаметры: чем ближе к экватору, тем больше диаметр параллели.

Условие принадлежности точки сфере

Если точка принадлежит сфере, то она принадлежит окружности на сфере

(рис. 34).

Для построения точки на сфере необходимо выбирать окружности в плоскостях, параллельных плоскостям проекций.

Рис. 34. Принадлежность точки сфере

Рассмотрим изображение сферы на комплексном чертеже (рис. 35).

Рис. 35. Комплексный чертеж сферы

37

Чтение комплексного чертежа сферы

1. Центр сферы – точка О – на плоскостях проекций изобразится в виде проекций О1, О2, О3. Ось вращения сферы – любой из ее диаметров; удобнее брать ось, совпадающую с осью z.

2.Горизонтальный очерк сферы – экватор.

3.Фронтальный очерк – фронтальный меридиан.

4.Профильный очерк – профильный меридиан.

5.Видимость сферы. При проецировании на П1 граница видимости проходит через экватор, поэтому видимой на П1 является верхняя половина сферы. При проецировании на П2 граница видимости проходит через фронтальный меридиан, поэтому видима на П2 ближняя к наблюдателю половина сферы.

Построение точек на поверхности сферы

1. Пусть точка А задана фронтальной проекцией. Она лежит на экваторе сферы, поэтому горизонтальную проекцию находим без дополнительных построений по вертикальной линии связи. А3 строим по двум известным проекциям А1 и А2: АzA3 = AxA1 = yA. A3 видима.

2.Точка В принадлежит профильному меридиану сферы. Поэтому находим

сначала профильную проекцию В3, а затем по двум известным проекциям В2 и В3 строим В1. Горизонтальная проекция точки В невидима, так как лежит ниже границы видимости на П1.

3.Для построения проекций точки С, заданной фронтальной невидимой

проекцией, проводим окружность в плоскости, параллельной П1. Диаметр окружности равен длине отрезка m2. Окружность изобразится на П1 в виде окружности, центр которой совпадает с центром сферы, радиус окружности равен

половине m2. С1 # m1 и лежит за границей видимости на П2, проходящей через фронтальный меридиан. Горизонтальная проекция точки С видима, так как лежит выше границы видимости на П1, проходящей через экватор сферы. С3 строим стандартным образом по двум известным С1 и С2. С3 невидима, так как лежит за границей видимости на П3, проходящей через профильный меридиан.

Линия на сфере

При пересечении сферы с плоскостью на сферической поверхности можно получить только о к руж н о с т ь .

В зависимости от положения секущей плоскости α относительно плоскостей проекций (рис. 36 а – г) окружность может изобразиться:

а) окружностью, если плоскость α параллельна плоскости проекций; б) отрезком, если плоскость α перпендикулярна плоскости проекций;

в) эллипсом, если плоскость α расположена под углом к плоскости проекций.

38

) || Ï1	) || Ï2
m1 – окружность	m1 è m3 – отрезки
m2 è m3 – отрезки	m2 – окружность
à	á

) || Ï3	) & Ï2 , ) ! Ï1 , ) ! Ï3
m1 è m2 – отрезки	m2 – отрезок
m3 – окружность	m1 è m3 – эллипсы
â	ã

Рис. 36. Проекции окружности на сфере