Документ Microsoft Office Word
.docx- импульсы дисков и стержня.
Метод Виллиса:
Рисунок 35
, ,
21-22
СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА И В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Формула Кориолиса:
С ее помощью можно получить закон изменения импульса в неинерциальной СО:
где вводятся переносная и кориолисова силы инерции:
Для момента импульса:
Для кинетической энергии:
Т.к. кориолисова сила в неинерциальной системе отсчета работы не совершает.
Условия относительного равновесия – условия равновесия в неинерциальной системе отсчета, при этом приравнивают к нулю левые части уравнений, записанных выше.
Задача.
- силы реакции, плоскости, содержащей вертикаль и стержень.
Рисунок 36
- полная реакция
Теперь моменты сил:
(*)
Так как не знаем, где приложена равнодействующая ,выделим элемент на стержне:
, где - расстояние от до элемента
Подставим в (*):
1.
2.
3. , возможно при
Найдем точку приложения равнодействующей переносных сил инерции:
Можно было найти по-другому:
Рисунок 37
В треугольниках центр тяжести на расстоянии двух третей от вершины на медиане.
Задача.
Рисунок 38
Гладкая трубка вращается с постоянной угловой скоростью
Шарик массы
Вид сверху:
Рисунок 39
Реально действующих сил, совершающих работу, нет.
Отсюда:
Возьмем уравнение импульсов на нормаль траектории:
С плюсом проецируются те векторы, которые направлены в сторону вогнутости:
Отсюда находим
По другому:
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Центральное поле
- сила притяжения
- сила отталкивания
В центральном поле выполняется закон сохранения момента импульса:
В полярных координатах:
- закон площадей справедлив для любого центрального поля.
Закон сохранения энергии также имеет место:
Действительно,
Последнее выражение зависит от одной переменной и всегда может быть рассмотрено как полный дифференциал. Это значит, что работа зависит только от начального и конечного положения и на замкнутом контуре равна нулю.
Формулы Бине
С учетом этого, а также , получим:
Первую формулу Бине:
Запишем закон Ньютона:
Вторая формула Бине:
Если в поле всемирного тяготения
- решение
Уравнение конического сечения чаще пишут:
- решение в другой форме, в этом случае полярная ось совпадает с направлением на перигелий (перигей).
Перигелий - точка орбиты планеты, кометы или искусственного спутника Солнца, ближайшая к Солнцу; противоположное - афелий.
Перигей - точка лунной орбиты или искусственного спутника Земли, ближайшая к центру Земли; противоположное – апогей.
Задача С.8.23.
Рисунок 40
В начальный момент .
При
для
для
Общее решение:
Однако, отсюда не определить. Из задачи Коши (т.е. из граничных условий):
(*)
(см. вывод первой формулы Бине)
С другой стороны радиальная скорость .
, подставляем в (*):
Рассмотрим формулу конического сечения подробно:
Траектория:
Рисунок 41
- эксцентриситет
- финитное движение (спутники, планеты), - инфинитное движение
1. эллипс, при окружность радиуса .
2. парабола
3. гипербола
Законы Кеплера для планет:
1. Каждая из планет солнечной системы совершает плоское движение с постоянной секторальной скоростью.
2. Траекториями всех планет служат эллипсы, в общем фокусе которых расположено Солнце.
3. Отношение квадратов времен обращения планет к кубам больших полуосей их эллиптических траекторий одинаково для всех планет:
В центральном поле с потенциальной энергией :
,
23-24
ОСНОВНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Импульс , момент импульса и кинетическая энергия .
Импульс по определению: .
Центр масс (инерции) определяется радиус-вектором:
,
где - радиусы-векторы, проведенные из одного и того же полюса.
Тогда, если продифференцировать, то:
Кинетический момент по определению:
Сделаем подсчет с рассмотрением сложного движения, при этом вводится подвижная система отсчета.
Рисунок 42
Пусть система отсчета будет поступательной, т.е. .
Т.е. для системы точек при выборе поступательной системы отсчета.
В аналогичном случае для твердого тела:
Если подставим , то:
где - матрица тензора инерции.
В случае, когда : (плоско-параллельное движение, например)
где - момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной вектору , т.е. в этом случае
Пример.
- момент инерции относительно оси .
Последнее равенство ни что иное как использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Теорему Гюйгенса-Штейнера можно применять только когда есть чистое вращение, а в последнем случае – нельзя, и надо применять общую формулу:
Кинетическая энергия по определению:
при
Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы точек (твердого тела) равна кинетической энергии движения центра масс системы с мысленно сосредоточенной в нем массой всех точек (твердого тела), плюс кинетическая энергия относительного движения относительно системы отсчета с началом в центре масс и движущейся поступательно.
Такую систему еще называют кениговой. (начало в точке , )
Если , то
В общем случае
Задача. (см. рис. 48)
, , ,
- импульсы дисков и стержня.
Метод Виллиса:
Рисунок 43
, ,