Динамика

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика

● Задача 2. Через неподвижный блок

/ / / / / / / / /

/

(рис. 7) перекинута лѐгкая верѐвка, к кон-

y

цу которой прикреплѐн

груз массой

m 9 кг. Для поднятия груза с поверхно-

сти земли на высоту H1 4 м за время

. F

t 6 с надо потянуть верѐвку с постоян-

T

ной силой F . На какую величину потре-

a

буется увеличить силу F ,

чтобы поднять

m

.

груз с поверхности земли за то же время

O

.

/ / / / / / / / / /

на высоту H2 6 м? Массой блока и тре-

/ / / / / / / /

mg

нием в его оси пренебречь.

Рис. 7

(МФТИ, 1989 г.)

Решение. В процессе подъѐма на груз действуют сила T натяжения верѐвки и сила тяжести mg (рис. 7). В проекциях на ось Oy по 2-му

закону Ньютона имеем ma T mg , где a – ускорение груза.

Поскольку массой верѐвки можно пренебречь, то модуль силы T равен модулю силы F , с которой тянут за свободный конец верѐвки:

T F. Под действием этой силы груз получает ускорение a

F mg

и

m

поднимается на высоту H

at2

(вспомните кинематику). Исключая

1

2

величину a из двух последних уравнений, найдѐм:

F mg

2mH1

.

(*)

t2

Аналогично, чтобы поднять груз за то же время на высоту H2 , надо

приложить силу

F F mg

2mH2

,

(**)

t2

где F – искомое увеличение модуля силы F . Из уравнений (*) и (**)

находим F

2m H2 H1

1H . ●

t2

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

21

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика
● Задача 3. Чему равны силы натяжения нитей					abcdef		и gh в
устройстве с подвижным блоком, изображѐнном на рисунке 8? Массы
тел соответственно равны m1			3кг и m2 2 кг . Нити лѐгкие и нерас-
тяжимые, массами блоков пренебречь.
		f	x
b	c
				T1		T1	a2
				a1 T1
d g		e			T2
a						T2
m1	h
				m1g
	m2					m2g
Рис. 8				Рис. 9
Решение. Изобразим силы на рис. 9. Нить				abcdef	будет действо-
вать на тело массой m		и на левую и правую стороны подвижного бло-
	1
ка с одинаковой силой T1 (нить лѐгкая, блоки лѐгкие). Нить							gh будет
действовать на подвижный блок и тело массой m2 с силами T2 (нить
лѐгкая). Силы, действующие на нити и на неподвижный блок, не влия-
ют на ход решения задачи, и мы их изображать не будем.
Выберем произвольно направления ускорений тел и направим ко-
ординатную ось x	вертикально вверх (см. рис. 9). Запишем уравнение
(1), выражающее второй закон Ньютона, для обоих тел и для подвиж-
ного блока сразу в проекциях на координатную ось x:
m1a1 T1 m1g,			m2a2 T2 m2 g,	0 2T1 T2 .
Последнее уравнение написано для подвижного блока с учѐтом того,
что его масса равна нулю.
Записанные три уравнения содержат четыре неизвестных: T1, T2 , a1
и a2 . Необходимо добавить кинематическое условие, связывающее
ускорения тел. Можно показать, что при наличии подвижного блока
модуль ускорения тела массой m1 в два раза больше модуля ускорения
тела массой m2 , то есть a1 2a2 (доказательство не приводим).
Мы получили четвѐртое, недостающее, уравнение, с учѐтом которо-

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

22

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика

го написанные выше уравнения дают:

2m1a2= T1 m1 g, m2a2= 2T1 m2 g.

Отсюда находим a =

m2

2m1

g = 2, 8 ì / c2 ,

2

m2

+ 4m1

T1

3m1m2 g

12, 6 H.

m2 + 4m1

Учитывая, что T2 2T1 ,

получим T2

6m1m2g

25, 2 H . Знак ми-

m2

4m1

нус у проекции ускорения второго тела показывает, что на самом деле

ускорение a2 направлено в другую сторону, т. е. вверх вдоль оси Ox . Проекция ускорения первого тела a1 2a2 5, 6 м/c2 . Вновь знак

минус показывает, что на самом деле ускорение a1 направлено в другую сторону, т. е. вниз (противоположно оси Ox ). ●

● Задача 4. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем возвращается к месту броска.

Наклонная плоскость составляет с горизон-									y
том угол . Коэффициент трения скольже-
	N									o
						a			x
ния между шайбой и плоскостью равен .
Чему равно ускорение шайбы при движении
	Fтр
а) вверх по наклонной плоскости, б) вниз по
наклонной плоскости?
Решение. а) При движении вверх дей-
ствующие на шайбу силы изображены на						mg
рис. 10: mg – сила тяжести, Fтр.ск. – сила			Рис. 10

трения скольжения, N – сила нормальной реакции опоры. Выберем инерциальную систему отсчѐта и направим оси координат так, как показано на рис. 10. Ускорение шайбы направим вдоль наклонной плоскости вниз.

Запишем уравнение (1) второго закона Ньютона сразу в проекциях на оси координат:

Ox : ma mg sin N,

Oy : 0 N mg cos .

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

23

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика

В первом уравнении мы учли, что сила трения скольжения равна

Fтр.ск. N . Записанные уравнения дают:

y

N

a sin cos g.

x

o

Fтр

б) При движении шайбы вниз по наклон-

a

ной плоскости на неѐ действуют те же силы

(рис. 11), только направление силы трения

скольжения поменялось на противополож-

ное, и теперь эта сила направлена вдоль

mg

наклонной плоскости вверх. Выберем инер-

циальную систему отсчѐта так же, как в

Рис. 11

предыдущем случае (рис. 11). Ускорение шайбы направим вдоль наклонной плоскости вниз.

Уравнение (1) в проекциях на оси координат даѐт:

Ox : ma mg sin N,

Oy : 0 N mg cos .

(И вновь в первом уравнении мы учли, что сила трения скольжения Fтр.ск. N .) Совместное решение написанных уравнений позволяет

найти ускорение шайбы: a sin α μ cos α g .

Если при подстановке конкретных числовых значений и вы-

ражение в скобках окажется отрицательным, то это будет означать, что на самом деле направление ускорения шайбы будет противоположно выбранному. ●

*● Задача 5. На две частицы – одну массы m, летящую со скоро-

стью v , другую массы 2m , летящую со скоростью 2v перпендикулярно к первой (рис. 12), в течение некоторого одинакового промежутка времени действуют одинаковые по модулю и направлению силы. К моменту прекращения действия сил первая частица начинает двигаться в обратном направлении со скоростью 2v . С какой скоростью будет двигаться при этом вторая частица?

Решение. Векторная разность конечного и начального импульсов первой частицы равна импульсу I действовавшей на неѐ силы (рис. 13).

Его модуль равен I 3mv . Такой же импульс силы I действовал на

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

24

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика

вторую частицу. Еѐ конечный импульс 2mv2 равен векторной сумме еѐ

начального импульса 2m2v и импульса силы

I (рис. 13). Используя

теорему Пифагора, находим скорость v2 , а именно:

2mv2

2m2v 2

I 2 5mv.

5

Откуда

v2

v . Направление вектора v2 определим углом к на-

2

правлению

начального

импульса

частицы. Очевидно, что

tg =

I

=

3mv

=

3

.*

I

=3mv

4mv

4mv

2m

4

2m

2mv

m mv

2v

m

2m v2

2m2v

m

v

2v

I =3mv

Рис. 12

Рис. 13

Контрольные вопросы

1*. При выстреле из винтовки скорость пули в момент вылета из ствола равна 500м/с , а скорость винтовки при отдаче 1,25м/с . Во

сколько раз масса винтовки больше массы пули?

2*. На первоначально покоившееся тело массой m начинает дей-

ствовать сила,			модуль которой изменяется со временем по закону
F t k t ,	где			t время в секундах, а k коэффициент пропорцио-
нальности в	H				. Направление силы остаѐтся неизменным. Чему рав-
	c

ны ускорение и скорость тела через время после начала движения?

3.Тело массой 500 кг движется прямолинейно так, что его коорди-

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

25

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика

ната x изменяется со временем по закону: x t 20 10t t2 . Чему

равна проекция Fx на ось Ox равнодействующей силы F , действующей на тело.

4.Тело массой 400г , двигаясь прямолинейно с некоторой начальной скоростью, за 5 секунд под действием силы 0,6 H приобрело скорость 10м/с . Чему равна начальная скорость тела?

5.Чему равно ускорение свободного падения на поверхности Юпитера, если его масса приблизительно в 317 раз больше массы Земли, а

радиус в 11 раз больше земного?

6. На рисунке 14 приведены графики зависимости модуля силы упругости Fy от

величины деформации x для двух пружин. Какую из пружин надо растянуть сильнее,

чтобы значения сил упругостей пружин были одинаковыми?

7. Длина недеформированной пружины

Fу , Н	II
20
15		I
10
5
1	2	x, см

l0 40см , коэффициент жѐсткости	k 15	H		Рис. 14
			.
		м

С помощью закона Гука определите, какой станет длина пружины, если еѐ растянуть с силой F 0,6H ?

8. На вытянутой ладони покоится тело массой 300 г . Чему равны

сила тяжести и вес этого тела? К чему приложена каждая из этих сил? Чему будут равны вес тела и сила тяжести, действующая на тело, если ладонь быстро убрать (выдернуть) из-под тела?

9. К вертикальной стене прижали деревянный брусок массой 1,5кг .

Коэффициент трения бруска о стену составляет 0,3. С какой наименьшей силой необходимо прижать брусок, чтобы он не скользил вниз?

Задачи

1. За снегоходом на нерастяжимом тросе тянут груз массой 500 кг . Найдите наибольшую силу натяжения троса, если максимальное ускорение снегохода 2м/с2 . Коэффициент трения скольжения груза о снег 0,1. Трос натянут горизонтально, его масса пренебрежимо мала. Выберите правильный ответ и объясните свой выбор.

1) 500H; 2) 750H; 3) 1000 H; 4) 1250H; 5) 1500H;

(РГТУ-МАТИ, 2006г.).

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

26

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика

F

g

Рис. 15		Рис. 16
2. Брусок массой M 2кг		движется вдоль горизонтальной плоско-
сти под действием силы	F	20H , направленной вверх под углом

30 к горизонту (рис. 15). Коэффициент трения скольжения бруска

оплоскость 0,1 . Найдите ускорение бруска. (Институт криптогра-

фии, связи и информатики Академии ФСБ РФ, 2006г.).

3. Массы тел на рис. 16 равны m1 3 кг, m2 2кг, m3 1кг ; нити невесомые и нерастяжимые. К первому телу приложена горизонтальная сила F 12H . Найдите силу натяжения нити, которая связывает тела массами m1 и m2 . Трения нет. Выберите правильный ответ и объясните

свой выбор.

1) 6H; 2) 8H; 3) 10H; 4) 11H; 5) 12H; (РГТУ – МАТИ, 2006 г.).

4*. Тело массой m 1 кг брошено под углом к горизонту. За всѐ

	время полѐта его импульс изменился на p 20	кг м	. Пренебрегая со-
		с

противлением воздуха, определите наибольшую высоту подъѐма тела. (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 г.).

5. Груз массой 3 кг подвешен к потолку лифта с помощью двух

одинаковых нитей, каждая из которых образует с вертикалью угол 60 . Какими будут силы натяжения каждой нити, если лифт будет опускать-

ся с ускорением, направленным вниз и равным 2м/с2 ? (РГУ нефти и

газа им. И.М. Губкина, 2006 г.).

6. Двумя нитями, одна из которых горизонтальна, а другая составля-

	ет с горизонтом угол 60 , груз закреплѐн
	на тележке (рис. 17). С каким ускорением
	движется тележка по горизонтальной поверх-
	ности, если силы натяжения нитей одинаковы
	по величине? Груз покоится относительно те-
	лежки. Нити лѐгкие и нерастяжимые. (МГИЭТ,	Рис. 17
	2006 г.).
	2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

27

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Физика. Динамика
7*. Призма находится	на горизонтальном	шероховатом	столе
(рис. 18). На поверхность призмы, составляющую угол с горизонтом,
положили брусок массой m	и отпустили. Он	m
начал соскальзывать, а призма осталась в по-
кое. Коэффициент трения скольжения между
бруском и призмой . Найдите силу трения
Fтр между призмой и столом.
(Институт криптографии, связи и информа-		Рис. 18
тики Академии ФСБ РФ).
8*. На дне коробки стоит брусок массой
M , на котором находится кубик массой m
(рис. 19). Кубик привязан к правой стенке ко-		m	g
робки нитью, параллельной дну. Коэффициент		M
трения между бруском и дном равен , тре-
ния между бруском и кубиком нет. При каком
угле наклона коробки брусок начнѐт вы-		Рис. 19
скальзывать из-под кубика? (Новосибирский
гос. университет, 2006 г.).
9. Груз массой m 20кг	можно поднимать с
помощью системы из подвижного и неподвиж-
ного блоков (рис. 20). С какой постоянной силой
F надо тянуть верѐвку, чтобы за время подъѐма
t 0,5с груз из состояния покоя достиг скоро-
сти v 2м/с ? Массами верѐвки, блоков и тре-
нием в осях пренебречь. (МФТИ, 1989 г.).

Рис. 20

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

28