an_geom

71

12.19	cos(') =					4
					21
12.20
		x¡2	=	y+3			=		z+5
12.21	6		¡3		¡5
	2x ¡ 3y + 4z ¡ 1 = 0
12.22	x + 2y + 3z = 0
12.23	a = ¡3,				b = 4; 5
13.1	4

13.21) 2, 2) 3; 5, 3) 6; 5

13.38

13.5	(0; 0; ¡2), è (0; 0; ¡6	4	)
		13
13.6	23x ¡ y ¡ 4z ¡ 24 = 0
13.7	x ¡ y ¡ z ¡ 1 = 0
13.8	x + y + 2z = 0
13.9	3x ¡ 2y + 6z + 21 = 0, 189x + 28y + 48z ¡ 591 = 0
13.10	2x ¡ 3y ¡ 6z + 19 = 0, 6x ¡ 2y ¡ 3z + 18 = 0
13.11	4x ¡ 3y + 6z ¡ 12 = 0, 12x ¡ 49y + 38z + 84 = 0
13.12	(3; ¡2; 4)
13.13	(2; ¡3; 2)
13.14	(4; 1; ¡3)

13.15a) (1; 4; ¡7)

13.16a) (¡5; 1; 0)

13.17(¡2; ¡2; 5)

13.181) 21, 2) 6, 3) 15

13.1925

13.20x ¡ 8y ¡ 13z + 9 = 0

13.211) 13, 2) 3, 3) 7

15.42x2 + 2y2 ¡ z2 = 0

15.518y2 + 50z2 + 75xz + 225x ¡ 450 = 0

15.63x2 + 123y2 + 23z2 ¡ 18xy ¡ 22xz + 50yz + 18x ¡ 54y ¡ 66z + 27 = 0

15.7(y ¡ 5x)2 ¡ 10(x2 + y2 + z2) = 0

15.8

xy + xz + yz = 0

15.9

x

2

¡2

y2

¡ 9

z2

0

15.10

40( ¡ 2)

9

= 2

= 25

(

x

¡ 2

; 5z)

+ (y

¡

1; 5z)

15.11

2

2+ 3z

2

(x ¡ y)

¡ 8(x ¡ y) ¡ 82z ¡ 26 = 0

15.12

(2x + z)

2¡ 10(2x +2z) + 25y = 0

2

15.13

3[(x

z)

+ (y

¡

z)

¡

1]

¡

(x + y

¡

2z) = 0

16.1

x

2

¡2

+ 2y

¡ 4x = 0

16.2

1) (2; ¡3; 0) è (0; 0; 2);

2) (4; 2; 9)

72

16.5

288x2+ 225y ¡2

400z ¡ 1201 = 0

16.6

(x¡5)

(y¡1)

2

16.7

9

+ 2

4

¡ (z ¡ 2) = 0

2

¡ 7 = 0

2(x ¡ z)

+ 2(x ¡ z)(y ¡ z) + 4(y ¡ z)

16.8

4x ¡ 12y + 9z ¡ 6 = 0

16.9

2x + 2y ¡ 3z § 12 = 0

16.10 x = 6+3t,

y = 2, z = 8+4t;

è x = 6+9t, y = 2+8t, z = 8+20t

16.13

x¡2 = y¡1

= z

x¡4

= y+2

= z

2

¡

1

1 è

2

1

2

17.1

x

2

y

2

x

y = 0

xy

32

+ 2

+ 2

+ 3 ¡ 4

2

2

¡ 72x ¡ 24y + 135 = 0

17.2

x2

¡ 8x ¡ y +215 = 0

è

9x

+ 6xy + y

17.3

x2

¡ 4xy + 3y

¡ 4y = 0

17.4

x

¡ 8y = 0

17.5

1) (7; 5),

2) центра нет,

3) линия центров: x + y + 1 = 0

17.6

7x2 + 4xy + 4y2 ¡ 83 = 0

17.8

(5; 0),

(2; 0),

(0; 5),

(0; 1)

17.9

l = 2

17.10

¸ = §5

¡2; 5),

17.11

1) (1; 0)

è

(0; 5;

2) нет т. пересечения, 3) (1; 0) прямая

касается кривой

3x ¡ 4y + 18 = 0

18.1

7x + 4y + 10 = 0

è

18.2

2x + 5y = 0 è

2x + y = 0

18.3

7x ¡ 2y ¡ 13 = 0

è

x ¡ 3 = 0

18.4

y + 4 = 0

è 3x

¡

4 = 0

18.6

6x

2

+ 3xy ¡ y

2

+ 2x ¡ y = 0

18.7

x + 2y + 3 = 0 è

7x ¡ 5y + 2 = 0

18.8

x + 1 = 0

18.9

2x ¡ y ¡ 8 = 0

18.10 17x ¡ 4y ¡ 4 = 0

18.11 49x ¡ 49y + 44 = 0

2y ¡ 5 = 0 è 3x ¡ 3y ¡ 2 = 0

18.12

6x ¡ 12y + 11 = 0 è 3x ¡ y ¡ 7 = 0;

73

Оглавление

Занятие 1. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Занятие 2. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Занятие 3. Аффинная система координат. Деление отрезка в данном отношении. Формулы преобразования координат. Полярная система координат 10 Занятие 4. Прямая на плоскости (аффинная теория) . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Занятие 5. Прямая на плоскости (метрическая теория) . . . . . . . . . . . . . .19 Занятие 6. Эллипс, гипербола, парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Занятие 7. Касательная к эллипсу, гиперболе, парабола. Полярные уравнения эллипса, гиперболы, параболы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Занятие 8. Векторное и смешанное произведение. Двойное векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Заеятие 9. Плоскости и прямые в пространстве (аффинная теория) .31 Занятие 10. Плоскости и прямые в пространстве (аффинная теория, продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Занятие 11. Плоскости и прямые в пространстве (метрическая теория) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Занятие 12. Плоскости и прямые в пространстве (метрическая теория, продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Занятие 13. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности 48 Занятие 14. Поверхности второго порядка, заданные каноническими

уравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Занятие 15. Общая теория кривых второго порядка. Тип кривой. Асимптотические направления. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Центр кривой второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Занятие 16. Общая теория кривых второго порядка. Касательная к кривой второго порядка. Диаметр кривой второго порядка . . . . . . . . . . 57 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59