Teoria_veroyatnostey

an =

0 ; 10000 0:002

7:09

p10000

0:005

0:995

;

bn =

70 ; 10000

0:002

2:84:

p10000

0:005

0:995

tOGDA P10000(0; 70) = (2:84); (;7:09) = (2:84)+ (7:09) 0:9975. zADA^I.

1.zAWOD OTPRAWIL W MAGAZIN 5000 LAMPO^EK. wEROQTNOSTX TOGO, ^TO LAMPO^KA RAZOBXETSQ RAWNA 0,0002. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO W MA- GAZIN PRIWEZLI NE BOLEE TREH RAZBITYH LAMPO^EK.

2.wEROQTNOSTX NAJTI BELYJ GRIB SREDI PRO^IH RAWNA 1/5. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SREDI 300 GRIBOW BELYH BUDET 75.

3.w PARTII IZ 1000 ARBUZOW KAVDYJ ARBUZ OKAZYWAETSQ NESPELYM S WEROQTNOSTX@ 1/4. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SPELYH ARBUZOW BUDET BOLX[E 700.

4.tEKST SODERVIT 20000 BUKW. kAVDAQ BUKWA MOVET BYTX NEPRA-

WILXNO NAPE^ATANA S WEROQTNOSTX@ 0.0004. kAKOWA WEROQTNOSTX, ^TO W TEKSTE NE MENEE 2-H OPE^ATOK.

5.s^ET^IK REGESTRIRUET POPADA@]IE W NEGO ^ASTICY S WEROQTNOS- TX@ 0.9. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO ON ZAREGISTRIROWAL NE MENEE 95% ^ASTIC, ESLI W NEGO POPALO 2000 ^ASTIC.

6.nA PRQDILXNOJ FABRIKE RABOTNICA OBSLUVIWAET 800 WERETEN. wE- ROQTNOSTX OBRYWA PRQVI W TE^ENII WREMENI T RAWNO 0.005. nAJTI WE- ROQTNOSTX TOGO, ^TO W TE^ENII WREMENI T BUDET NE BOLEE 3-H OBRYWOW

PRQVI.

1.13 pOSLEDOWATELXNYE ZAWISIMYE ISPYTANIQ (CE-

PI mARKOWA)

w SHEME bERNULLI IZU^A@TSQ POSLEDOWATELXNYE NEZAWISIMYE ISPY- TANIQ, NO MOVNO RASSMATRIWATX ZAWISIMYE ISPYTANIQ. rASSMOTRIM SAMYJ PROSTOJ WARIANT ZAWISIMYH ISPYTANIJ.

pUSTX G ESTX NEKOTORYJ \KSPERIMENT, KOTORYJ IMEET KONE^NOE MNO- VESTWO ISHODOW fE1; E2; : : : ; Eng. pREDPOLOVIM, ^TO MY NEOGRANI^ENNO POWTORQEM \KSPERIMENT G, TO ESTX PROIZWODIM POSLEDOWATELXNOSTX IS- PYTANIJ, W KAVDOM IZ KOTORYH MOVET OSU]ESTWITXSQ TOLXKO ODNO IZ SOBYTIJ Ek; k = 1; 2; : : : n.

33

oPREDELENIE. pOSLEDOWATELXNOSTX ISPYTANIJ OBRAZUET PROSTU@ CEPX mARKOWA, ESLI USLOWNAQ WEROQTNOSTX W r-M ISPYTANII (r = 1; 2; : : :) OSU]ESTWITXSQ SOBYT@ Ek ZAWISIT TOLXKO OT TOGO, KAKIM BYLO SO- BYTIE W (r ; 1) ISPYTANII, I NE ZAWISIT OT SOBYTIJ PROIZO[ED[IH W BOLEE RANNIH ISPYTANIQH.

iSTORI^ESKI SLOVILOSX TAK, ^TO PRI IZLOVENII CEPEJ mARKOWA IS- POLXZU@T NESKOLXKO INU@ TERMINOLOGI@; KOTORU@ PRIWEDEM NIVE. nE- KOTORAQ FIZI^ESKAQ SISTEMA G MOVET NAHODITXSQ W ODNOM IZ SOSTOQNIJ Ek; = 1; 2; : : : ; n. oNA MENQET SWO< SOSTOQNIE TOLXKO W MOMENTY WREMENI t1; t2; : : :. pUSTX Ekr OZNA^AET, ^TO SISTEMA G PRI[LA W SOSTOQNIE Ek W MOMENT WREMENI tr, TO ESTX NA r-M ISPYTANII. tOGDA DLQ PROSTOJ CEPI mARKOWA WYPOLNENO USLOWIE:

P (Ekr=Elr1;1; Elr2;2; : : : ; El1r;1 ) = P(Ekr=Elr1;1);

GDE lj | L@BYE IZ f1; 2; : : : ; ng; j = 1; 2; : : : ; r ; 1.

dALEE OGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM TOLXKO ODNORODNYH CEPEJ mAR- KOWA.

oPREDELENIE. oDNORODNOJ CEPX@ mARKOWA NAZYWAETSQ CEPX, W KO- TOROJ USLOWNAQ WEROQTNOSTX P (Ekr=Elr;1) NE ZAWISIT OT NOMERA IS- PYTANIQ r, A ZAWISIT TOLXKO OT PREDYDU]EGO I POSLEDU@]EGO SO-

STOQNIJ, TO ESTX P(Ekr=Elr1;1) = P (Ek=El) = pkl| \TO WEROQTNOSTX PEREHODA IZ SOSTOQNIQ El W SOSTOQNIE Ek ZA ODNO ISPYTANIE, ILI,

KAK PRINQTO GOWORITX, ZA ODIN [AG.

pOLNAQ WEROQTNOSTNAQ KARTINA WOZMOVNYH IZMENENIJ, OSU]ESTWLQ- @]IHSQ PRI PEREHODE IZ ODNOGO SOSTOQNIQ K NEPOSREDSTWENNO SLEDU@- ]EMU, ZADAETSQ MATRICEJ

			p	p	: : : p	1
		0 p11		p12	: : : p1n
1	=		21	22	2n
			: : : : : : : : : : : :
		B				C
		@	pn1	pn2	: : : pnn	A

mATRICA 1 NAZYWAETSQ MATRICEJ PEREHODA ZA ODIN [AG. pRIMER 1.

pUSTX SISTEMA G MOVET NAHODITSQ W SASTOQNIQH El, E2, E3 PEREHOD IZ SOSTOQNIQ W SOSTOQNIE PROISHODIT PO SHEME ODNORODNOJ CEPI mARKOWA S MATRICEJ PEREHODA 1

34

		0	1=2	1=6	1=3	1
1	=	@	1=2	0	1=2	A
		B 1=3		1=3	1=3 C

eSLI SISTEMA NAHODILASX W SOSTOQNII El, TO POSLE IZMENENIQ SOSTOQ- NIQ ZA ODIN [AG ONA S WEROQTNOSTX@ 1/2 OSTAETSQ W \TOM VE SOSTOQNII, S WEROQTNOSTX@ 1/6 PEREJDET W SOSTOQNIE E2, S WEROQTNOSTX@ 1/3 PE- REJDET W SOSTOQNIE E3. eSLI SISTEMA NAHODILASX W SOSTOQNII E2, TO OSTATXSQ W \TOM SOSTOQNII ONA NE MOVET, A OBQZATELXNO PEREJDET LIBO W SOSTOQNIE E1, LIBO W SOSTOQNIE E3, PRI^EM \TOT PEREHOD OSU]ESTWIT- SQ S ODINAKOWOJ WEROQTNOSTX@. iZ SOSTOQNIQ E3 SISTEMA MOVET PEREJTI W L@BOE IZ WOZMOVNYH SOSTOQNIJ S ODNOJ I TOJ VE WEROQTNOSTX@ 1/3.

pRIMER 2. bLUVDANIQ S OTRAVENIEM. pUSTX ^ASTICA, NAHODQ]AQSQ NA PRQMOJ, BLUVDAET PO CELYM TO^KAM MEVDU 0 I a: eSLI 0 < k < a, TO IZ TO^KI k S WEROQTNOSTX@ 1/2 ^ASTICA PEREHODIT W k;1 ILI k+1. eSLI k RAWNO 0 ILI a, TO ^ASTICA OTRAVAETSQ, TO ESTX PEREHODIT W TO^KU 1

ILI W TO^KU a ; 1 SOOTWETSTWENNO S WEROQTNOSTX@ 1.
zAPI[EM MATRICU PEREHODA 1 DLQ DANNOJ SISTEMY G.
0	0	1	0	0	: : :	0	1
	1=2 0		1=2 0		: : : 0
1 =	0	1=2 0		1=2	: : : 0
B	: : :	: : :	: : : : : :		: : : : : :		C
	0	0	0	: : :	1	0
@							A

mATRICA 1 BUDET RAZMERNOSTI (a + 1) ? (a + 1).

pRIMER 3. bLUVDANIQ S POGLA]ENIEM. eSLI W PRIMERE (2) IZME- NITX NEMNOGO USLOWIQ: POPADAQ W TO^KU 0 ILI a ^ASTICA OSTAETSQ W NIH S WEROQTNOSTX@ 1.

zAPI[EM MATRICU PEREHODA 1 DLQ DANNOJ SISTEMY G.

0	1	0	0	0	: : :	0	1
	1=2 0		1=2 0		: : : 0
1 =	0	1=2 0		1=2	: : : 0
B	: : :	: : : : : :		: : :	: : : : : :		C
	0	0	0	0	: : :	1
@							A
mATRICA 1 BUDET RAZMERNOSTI (a + 1) ? (a + 1).

rASSMOTRIM KAKIM USLOWIQM UDOWLETWORQET MATRICA PEREHODA 1.

35

1.wSE \LEMENTY MATRICY pkl ESTX NEOTRICATELXNYE ^ISLA 0 pkl 1 DLQ WSEH k; l.

2.tAK KAK IZ SOSTOQNIQ Ek SISTEMA OBQZATELXNO PEREHODIT W L@-

BOE DRUGOE WOZMOVNOE SOSTOQNIE, TO SUMMA \LEMENTOW KAVDOJ STROKI

n

MATRICY 1 RAWNA EDINICE: P pkl = 1, k = 1; 2; :::; n.

l=1

pUSTX SISTEMA G IZ SOSTOQNIQ Ek W SOSTOQNIE El PERE[LA ZA 2 [AGA,

NAJDEM WEROQTNOSTX pkl(2) TAKOGO PEREHODA. dLQ \TOGO WOSPOLXZUEMSQ

n

FORMULOJ POLNOJ WEROQTNOSTI: pkl(2) = P pkrprl, T.E. SISTEMA IZ SO-

r=1

STOQNIQ Ek PERE[LA SNA^ALA ZA ODIN [AG W L@BOE DRUGOE WOZMOVNOE

SOSTOQNIE Er, A ZATEM UVE IZ \TOGO Er SOSTOQNIQ SLEDU@]IM [AGOM PERE[LA W SOSTOQNIE El. kAVDOE pkl(2) ESTX \LEMENT NOWOJ MATRICY PEREHODA 2 ZA 2 [AGA, I KAK WIDIM, TOGDA NOWAQ MATRICA 2 ESTX PRO-

IZWEDENIE 2-H MATRIC: 2 = 1 ? 1.

eSLI RASSMATRIWATX WEROQTNOSTX pkl(m) - WEROQTNOSTI PEREHODA IZ

SOSTOQNIQ Ek W SOSTOQNIE El ZA m

[AGOW,

TO ANALOGI^NO PO FORMULE

n

POLNOJ WEROQTNOSTI MOVNO POLU^ITX, ^TO pkl(m) = rP=1 pkrprl(m ; 1).

pO\TOMU, PRIMENQQ METOD MATEMATI^ESKOJ INDUKCII, LEGKO MOVNO

POKAZATX, ^TO MATRICA PEREHODA m ZA m [AGOW ESTX m-TAQ STEPENX

MATRICY 1, T.E. m = 1m.

pRIMER 4.

1. nAJTI

mATRICA PEREHODA ZA ODIN [AG IMEET WID: 1 = 0

1=2

1=2

MATRICU PEREHODA ZA TRI [AGA.

@

1=3

2=3

A

rE[ENIE.

3 = 13. nAJDEM SNA^ALA 2

2 = 0

1=2 1=2

1

0

1=2 1=2

1 = 0

5=12 7=12

1 :

@

1=3 2=3

A

@

1=3 2=3

A

@

7=18 11=18 A

tEPERX NAJDEM 3

3 = 0

5=12 7=12

1 0

1=2 1=2

1 =

@

7=18 11=18

A

@

1=3 2=3

A

= 0

29=72

43=72

1 :

@

43=108

65=108

A

sOSTOQNIQ, KOTORYE IME@TSQ W CEPI mARKOWA, MOGUT BYTX MEVDU SOBOJ, DOWOLXNO RAZLI^NY PO HARAKTERU. pO\TOMU WWODITSQ KLASSIFI- KACIQ SOSTOQNIJ, KOTORU@ O^ENX KOROTKO OPI[EM NIVE.

36

oPREDELENIE. sOSTOQNIE Ei NAZYWAETSQ NESU]ESTWENNYM, ESLI SU]ESTWUET TAKOE SOSTOQNIE Aj I TAKOE ^ISLO [AGOW m, ^TO pij(m) > 0, NO pji(k) = 0 DLQ WSEH k. wSE OSTALXNYE SOSTOQNIQ NAZYWA@TSQ SU- ]ESTWENNYMI.

nESU]ESTWENNOE SOSTOQNIE OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO IZ NEGO MOV- NO S POLOVITELXNOJ WEROQTNOSTX@ POPASTX W NEKOTOROE DRUGOE SOSTOQ- NIE, NO IZ DRUGOGO SOSTOQNIQ WERNUTXSQ W NESU]ESTWENNOE UVE NELXZQ. tAK W PRIMERE 3 WSE SOSTOQNIQ, KROME KRAJNIH E0 I Ea; NESU]ESTWEN- NYE, A SOSTOQNIQ E0 I Ea BUDUT SU]ESTWENNYMI.

w ZAWER[ENII \TOGO PARAGRAFA PRIWEDEM PREDELXNU@ TEOREMU BEZ DOKAZATELXSTWA.

tEOREMA (mARKOWA).eSLI PRI NEKOTOROM k > 0 WSE \LEMENTY MATRICY PEREHODA k POLOVITELXNY, TO SU]ESTWU@T TAKIE POSTO- QNNYE ^ISLA pj(j = 1; 2; :::; n), ^TO NEZAWISIMO OT INDEKSA i IME@T MESTO RAWENSTWA

lim Pij(m) = pj

m!1

(dRUGIMI SLOWAMI, NEWAVNO IZ KAKOGO SOSTOQNIQ WY[LA SISTEMA, A WAVNO KUDA ONA IDET, TO ESTX WAVNO NAPRAWLENIE EE DWIVENIQ ).

zADA^I.

1. wEROQTNOSTI PEREHODA DA@TSQ MATRICEJ

	0 1=2	1=3	1=6	1
1 =	1=2	1=3	1=6	A
	@
	B 1=2	1=3	1=6 C

~EMU RAWNO ^ISLO SOSTOQNIJ? nAJTI WEROQTNOSTI PEREHODA ZA DWA [AGA.

2.pUSTX IMEETSQ MAQTNIK, U KOTOROGO FIKSIRU@TSQ TOLXKO 2 POLOVE- NIQ: KRAJNEE LEWOE E1 I KRAJNEE PRAWOE E2. zAPISATX MATRICU PEREHODA DLQ \TOJ CEPI mARKOWA. eSTX LI ZDESX NESU]ESTWENNYE SOSTOQNIQ?

3.|LEKTRON MOVET NAHODITXSQ NA ODNOJ IZ 3-H ORBIT. pEREHOD S

						ci
i;OJ ORBITY NA j;U@ PEREHODIT S WEROQTNOSTX@ ji;jj							. nAJTI MATRICY
PEREHODA ZA 1 I ZA 2 [AGA, POSTOQNNYE ci.
4. wEROQTNOSTI PEREHODA DA@TSQ MATRICEJ
1 =	0	0	1=2	1=2	1
	@	1=2	0	1=2	A
	B 1=2		1=2	0	C

eSTX LI ZDESX NESU]ESTWENNYE SOSTOQNIQ? pRIMENIMA LI PREDELXNAQ TEOREMA?

37

gLAWA 2

sLU^AJNYE WELI^INY

2.1sLU^AJNYE WELI^INY

w PRAKTI^ESKOJ VIZNI ^ASTO PRIHODITSQ STALKIWATXSQ S RAZLI^- NYMI WELI^INAMI. zNA^ENIQ ODNIH IZ WSTRE^A@]IHSQ WELI^IN MOGUT BYTX IZWESTNY (KOLI^ESTWO MINUT W ^ASE, ^ISLO ^LENOW PARLAMENTA I T.D.), ZNA^ENIQ VE DRUGIH WELI^IN MOVNO NAJTI IZ OPYTA, PUTEM IZME- RENIQ, PERES^ETA (RASSTOQNIQ MEVDU DWUMQ TO^KAMI, ^ISLO WYPAW[IH GERBOW PRI BROSANII MONETY 3 RAZA I T.D.). wELI^INY, KOTORYE MOGUT PRINQTX W REZULXTATE OPYTA L@BOE IZ WOZMOVNYH ZNA^ENIJ, NAZYWA@T SLU^AJNYMI.

mOVNO PRIWESTI MNOGO PRIMEROW TAKIH WELI^IN: 1) ^ISLO KOSMI^ES- KIH ^ASTIC, POPADA@]IH NA OPREDELENNYJ U^ASTOK ZEMNOJ POWERHNOSTI ZA SUTKI; 2) ^ISLO WYZOWOW, POSTUPA@]IH NA TELEFONNU@ STANCI@; 3) RAZMER UKLONENIQ TO^KI PADENIQ SNARQDA OT CENTRA CELI PRI STRELX- BE; 4) SKOROSTX MOLEKULY GAZA. nESMOTRQ NA RAZNORODNOSTX KONKRETNOGO SODERVANIQ PRIWEDENNYH PRIMEROW, WSE ONI S TO^KI ZRENIQ MATEMATI- KI OBLADA@T OB]IM SWOJSTWOM: KAVDAQ IZ \TIH WELI^IN POD WLIQNIEM SLU^AJNYH OBSTOQTELXSTW SPOSOBNA PRINIMATX RAZLI^NYE ZNA^ENIQ.

oPREDELENIE.sLU^AJNOJ WELI^INOJ NAZYWAETSQ FUNKCIQ, OTO- BRAVA@]AQ PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW W MNOVESTWO DEJ- STWITELXNYH ^ISEL R; : ! R; = (!); ! 2 .

pRIMER 1.

mONETU BROSA@T 2 RAZA. nAS INTERISUET ^ISLO WYPADENIJ GERBA. zDESX ^ISLO WYPADENIJ GERBA - SLU^AJNAQ WELI^INA. iSHODNOE PRO- STRANSTWO \LEMENTARNYH SOBYTIJ IMEET WID: = f RR, RG, GR, GG g. tOGDA OPREDELIM SLU^AJNU@ WELI^INU W WIDE SHEMY:

38

;! R

!1 = RR ;! 0 (!1) = 0

!2 = RG ;! 1 (!2) = 1

!3 = GR ;! 1 (!3) = 1

!4 = GG ;! 2 (!4) = 2

zDESX PRINIMAET WSEGO TRI ZNA^ENIQ: 0,1,2.

pRIMER 2.pUSTX IMEETSQ KRUG RADIUSA L. w KRUG NAUGAD BROSAET- SQ TO^KA. rASSTOQNIE OT CENTRA KRUGA DO WYBRANNOJ SLU^AJNOJ TO^KI - SLU^AJNAQ WELI^INA . zDESX ISHODNOE PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH SOBYTIJ - WSE MNOVESTWO TO^EK KRUGA. tOGDA OPREDELIM SLUAJNU@ WELI^INU W WIDE SHEMY:

tO ESTX

(!0;CENTR KRUGA) = 0

(!l;TO^KA OKRUVNOSTI RADIUSA l) = l; 0 < l < L(!L;TO^KA GRANICY KRUGA ) = L

w DANNOM PRIMERE PRINIMAET ZNA^ENIQ IZ OTREZKA [0; L] 2 R.

oPREDELENIE.dLQ L@BOGO ISHODA ! 2 ZNA^ENIE = (!) NAZYWA- ETSQ REALIZACIEJ SLU^AJNOJ WELI^INY PRI DANNOM ISHODE.

w ZAWISIMOSTI OT TOGO, W MNOVESTWO KAKOGO TIPA - DISKRETNOE ILI NEPRERYWNOE, OSU]ESTWLQETSQ OTOBRAVENIE PROSTRANSTWA , SLU^AJ- NYE WELI^INY MOVNO RAZDELITX NA 2 KLASSA:

1.DISKRETNYE SLU^AJNYE WELI^INY;

2.NEPRERYWNYE SLU^AJNYE WELI^INY.

w PRIWEDENNYH WY[E PRIMERAH ZADANA DISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI- ^INA (PRIMER 1), NEPRERYWNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA (PRIMER 2).

39

2.2dISKRETNYE SLU^AJNYE WELI^INY

rASSMOTRIM SNA^ALA DISKRETNYE SLU^AJNYE WELI^INY. dISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA MOVET PRINIMATX NE BOLEE ^EM S^ETNOE ^ISLO ZNA-

^ENIJ x1; x2; :::; xn; :::.

zNA^ENIE SLU^AJNOJ WELI^INY NASTUPAET S NEKOTOROJ WEROQTNOS- TX@, OBOZNA^IM EE pi = P ( = xi).

sOOTWETSTWIE, KOTOROE KAVDOMU ZNA^ENI@ xi DISKRETNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY SOPOSTAWLQET EGO WEROQTNOSTX pi, NAZYWAETSQ ZAKONOM RAS- PREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY . zAKON RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WE- LI^INY UDOBNO ZAPISYWATX W WIDE TABLICY, KOTORU@ NAZYWA@T RQDOM RASPREDELENIQ.

		x1	x2		xn
	p( = xi)	p1	p2		pn

eSLI PERE^ISLENNY WSE WOZMOVNYE ZNA^ENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY ,

TO i1=1 pi = i1=1 P( = xi) = 1.

P P

pRIMER 1. pUSTX SLU^AJNAQ WELI^INA -^ISLO WYPAW[IH O^KOW PRI ODNOKRATNOM BROSANII IGRALXNOJ KOSTI. tOGDA RQD RASPREDELENIQ

IMEET WID:

	1	2	3	4	5	6
p	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

tAK KAK SLU^AJNAQ WELI^INA MOVET PRINQTX ODNO IZ SLEDU@]IH ZNA^ENIJ: 1,2,3,4,5,6; PRI^EM WEROQTNOSTX KAVDOJ REALIZACII RAWNA

1/6.

pRIMER 2. pUSTX WEROQTNOSTX POQWLENIQ SOBYTIQ A PRI KAVDOM IZ BESKONE^NOJ POSLEDOWATELXNOSTI ISPYTANIJ RAWNA p. rASSMOTRIM SLU- ^AJNU@ WELI^INU - NOMER ISPYTANIQ, PRI KOTOROM PROIZO[LO PERWYJ RAZ SOBYTIQ A. nAJTI RQD RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY .

rE[ENIE. sLU^AJNAQ WELI^INA MOVET PRINIMATX L@BOE CELOE POLOVITELXNOE ZNA^ENIE 1,2,3,... .

P ( = 1) = p1 - \TO WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SOBYTIE A PROIZOJDET PRI PERWOM ISPYTANII, GDE p1 = p.

P ( = 2) = p2 - \TO WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SOBYTIE A NE PROIZOJDET PRI PERWOM ISPYTANII, A PROIZOJDET PRI WTOROM, TOGDA p2 = (1 ; p)p.

40

i T.D.

P ( = k) = pk - \TO WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SOBYTIE A PRI PERWYH

(k ; 1) ISPYTANIQH NE PROIZOJDET, A PROIZOJDET TOLXKO PRI k;OM IS- PYTANII, TOGDA p2 = (1 ; p)(k;1)p. i T.D. .

pO\TOMU RQD RASPREDELENIQ IMEET WID:

	1	2				k
p	p	(1 ; p)p				(1 ; p)k;1p

zADA^I.

1.uSTROJSTWO SOSTOIT IZ 3-H NEZAWISIMO RABOTA@]IH \LEMENTOW. wEROQTNOSTX OTKAZA KAVDOGO \LEMENTA W ODNOM OPYTE RAWNA 0,1. sOSTA- WITX ZAKON RASPREDELENIQ ^ISLA OTKAZAW[IH \LEMENTOW W ODNOM OPYTE.

2.w URNE 5 BELYH I 10 ^ERNYH [AROW. wYNULI 2 [ARA. pOSTROITX RQD RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY - ^ISLO WYNUTYH BELYH [AROW.

3.pROIZWODQTSQ POSLEDOWATELXNYE ISPYTANIQ 5 PRIBOROW NA NADEV- NOSTX. kAVDYJ SLEDU@]IJ PRIBOR ISPYTYWAETSQ TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI PREDYDU]IJ OKAZALSQ NAD<VNYM. pOSTROITX RQD RASPREDELENIQ ^ISLA ISPYTANNYH PRIBOROW, ESLI WEROQTNOSTX WYDERVATX ISPYTANIQ DLQ KAVDOGO IZ NIH RAWNA 0,5.

4.wEROQTNOSTX POPADANIQ PRI KAVDOM WYSTRELE 0,8. iMEETSQ 4 SNA-

RQDA. sTRELXBA WEDETSQ DO PERWOGO POPADANIQ. pOSTROITX RQD RASPRE- DELENIQ IZRASHODOWANNYH SNARQDOW.

5.w PARTII IZ 6 DETALEJ IMEETSQ 4 STANDARTNYH. nAUDA^U OTOBRANY 3 DETALI. sOSTAWITX ZAKON RASPREDELENIQ ^ISLA STANDARTNYH DETALEJ SREDI OTOBRANNYH.

6.dISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET ZAKON RASPREDELENIQ:

	0	/6	/2	5 /6
p	1/10	3/10	1/10	2/10	3/10

pOSTROITX RQD RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY = sin( ).

7. dWA BAKETBOLISTA POO^EREDNO ZABRASYWA@T MQ^ W KORZINU DO TEH POR, POKA ODIN IZ NIH NE POPADAET. pOSTROITX RQD RASPREDELENIQ SLU- ^AJNOGO ^ISLA BROSKOW, PROIZWODIMYH KAVDYM IZ BASKETBOLISTOW, ESLI WEROQTNOSTX POPADANIQ DLQ PERWOGO RAWNA 0,4, A DLQ WTOROGO 0,6.

41

tOGDA A = B + C,

SOBYTIE); TO P ( <

2.3fUNKCIQ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY

dLQ HARAKTERISTIKI POWEDENIQ DISKRETNOJ cLU^AJNOJ WELI^INY WY- [E RASSMATRIWALASX WEROQTNOSTX TOGO, ^TO PRINIMAET KONKRETNYE ZNA^ENIQ. nO TAKOJ SPOSOB STANOWITSQ NEPRIEMLIMYM, ESLI RASSMAT- RIWATX NEPRERYWNU@ SLU^AJNU@ WELI^INU, TAK KAK MNOVESTWO E< ZNA- ^ENIJ BESKONE^NO I SPLO[X ZAPOLNQET NEKOTORYJ OTREZOK ILI INTERWAL NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. pO\TOMU MOVNO RASSMATRIWATX WEROQTOSTI DRUGIH SOBYTIJ: TAKIH, KOGDA < x, GDE x { NEKOTOROE DEJSTWITELXNOE ^ISLO. pRI^EM \TI SOBYTIQ MOVNO OPREDELQTX DLQ OBOIH KLASSOW SLU^AEW; KAK DISKRETNYH, TAK I NEPRERYWNYH.

oPREDELENIE. fUNKCIEJ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY NA-

ZYWAETSQ FUNKCIQ F(x) = P( < x), x 2 R:

fUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x) OBLADAET RQDOM SWOJSTW.

sWOJSTWO 1. F (x) { NEUBYWA@]AQ FUNKCIQ.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX 1 < 2; TOGDA SOBYTIE < x1 WLE^ET ZA SOBOJ

SOBYTIE < x2, TOGDA PO SWOJSTWU WEROQTNOSTI: P( < x1) P ( < x2), T.E. F (x1) F(x2), ZNA^IT, FUNKCIQ F (x){NEUBYWA@]AQ.

sWOJSTWO 2. F (;1) = 0, F (+1) = 1.

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK SOBYTIE ( < ;1) = 0 (NEWOZMOVNOE

;1) = F(;1) = 0. tAK KAK SOBYTIE ( < ;1) =(DOSTOWERNOE SOBYTIE), TO P( < 1) = F(1) = 1.

sWOJSTWO 3. fUNKCIQ F (x) NEPRERYWNA SLEWA.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX xn { PROIZWOLXNAQ MONOTONNO WOZRASTA@-

]AQ POSLEDOWATELXNOSTX, SHODQ]AQSQ K TO^KE x, T.E. lim xn = x. oBO-
ZNA^IM ^EREZ An SOBYTIE xn						x!1
			< x. tOGDA PRI i > j Ai Aj. pO\TOMU
P(An) = P (xn		< x) = F (x)	;	F (xn), lim		P (An) = lim (F(x)		;	F (xn)) =
				n!1		n!1	.
F(x) ; nlim!1 F (xn) = F(x) ; F (x ; 0) = 0.					lEMMA DOKAZANA

sWOJSTWO 4. dLQ L@BYH a < b WYPOLNENO RAWENSTWO

P(a < < b) = F (b) ; F(a):

dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM SOBYTIE: A = < b, B = < a, C =

a < b. PRI^EM B I C NESOWMESTNY, PO TEOREME SLOVENIQ WEROQTNOSTEJ IMEEM, ^TO P ( < b) = P( < a) + P (a < b), ZNA^IT, P(a < b) = F(b) ; F (a). lEMMA DOKAZANA.

42