Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

						14,097 ml				14,097 1,2 103	0,2		54,71	106 Па 54,71 МПа .
		max 1				d 3				0,027 3
				19,778 ml					19,778 1,2 103		0,2		76,76		106 Па 76,76 МПа .
	max3					d 3				0,027 3

Откладывая полученные значения в масштабе на рис. 3.6, г, построим эпюру распределения касательных напряжений по длине вала (эпюру ).

5. Вычисление углов закручивания.

Вычислим относительные углы закручивания и углы закручивания участков вала по записанным выше выражениям.

Участок 1 имеет сечение кольцевое диаметром 2,7 см, поэтому

			M кр 1						0,826 ml 32														0,826 1,2 103 0,2 32
	1		G1I 1					G d14 1 c4												0,8 1011 0,027 4 1 0,54
												0,050661						180					2,90 /м ,
					1						M кр 1		2l		1			2l			2,90 2 0,2 1,16
												G1I 1
Для 2-го участка, где сечение круглое диаметром 1,9 см,
		θ			Mкр 2							0,424 ml 32									0,424 1,2 103 0,2 32
			2		G2 I 2							G 0,7d 4											0,8 1011 0,019 4
												0,101541							180				5,82 /м ,
					2							M кр 2 l			2			l 5,82 0,2 1,16 .
												G2 I	2
Определим углы поворота характерных сечений по (3.7), обозначив
сечения буквами A ,					B ,		C . Так как точка A находится в заделке, A 0 ,
			B		1 1,16 ; C 1																2 1,16 1,16 0 .

101

Угол поворота в сечении C оказался равным нулю, поскольку это сечение находится в заделке. По полученным значениям построим эпюры относительных углов закручивания и абсолютных углов поворота характерных сечений (рис. 3.6, д, е).

6. Проверка вала по условиям жѐсткости

Выберем из полученных значений наибольшие по модулю:

max 5,364 /м и max 1,16 .

Проверим вал по условию жѐсткости (3.5), в нашем случае имеем:

5,82 /м 2 /м;

1,16 0,5 .

Условие жѐсткости не выполняется. Необходимо назначить новые диаметры из условия жѐсткости, которое запишем через относительные углы закручивания:

												0,424 ml 32			.
								max			G 0,7d 4
Откуда
							0,424 1,2 103
		0,424 ml 32											0,2 32
d 4																			0,0353 м 3,53 см.
		G 0,7 4			4				11			4
							0,8 10					0,7	2
																180
Принимаем величину							d 3,6 см и окончательные диаметры участков
вала:
		d1 d 3,6 см,								d2 0,7d 0,7 3,6 2,52 см.

Задача 14. Проверочный расчѐт ступенчатого вала

Для круглого стального ступенчатого вала (рис. 3.7) известны внешние сосредоточенные и распределѐнные моменты, заданы размеры поперечного сечения и длины участков. На более широком участке вала считать сечение кольцевым с соотношением внутреннего диаметра к наружному равным с=0,3.

Требуется:

1. Построить эпюры крутящих моментов Мкр, касательных напряжений ` относительных углов закручивания θ и абсолютных углов поворота сечений вала θ. Модуль упругости принять G=0,8∙ 5МПа.

2. Указать опасное сечение и значение ηmax, проверить прочность при допускаемом напряжении η =100МПа. Если условие прочности не удовлетворяется, то указать диаметры, при которых оно будет соблюдаться.

102

3. Указать значения θmax и θmax, проверить жѐсткость при допускаемом относительном угле закручивания θ =2,50/м и допускаемом абсолютном угле поворота сечения θ =10. Если условие жѐсткости не удовлетворяется, то указать диаметры, при которых оно будет соблюдаться.

M2	M1
m 2
	m 1
	d1
d2
L 2	L 1
Рис. 3.7

Решение

В этой задаче использована унифицированная схема ступенчатого вала

(рис. 3.7), в которой на валу в начале каждого участка приложены сосредоточенные моменты Мi, и на каждом участке действует распределѐнный крутящий момент интенсивности mi.. Принимаем следующее правило знаков для внешних моментов: за положительное считаем направление внешних моментов против часовой стрелки (при взгляде на сечение).

Пусть заданы следующие величины: сосредоточенные моменты в начале участков равны М1=0,12кН∙м и М2=0; интенсивность распределѐнного момента по участкам m1=0 и m2=-2кН∙м/м=-2кН; длины участков 11=0,26м и 12=0,18м; диаметры сечений участков d1=25мм и d2=30мм.

Сначала по этим исходным данным изобразим в масштабе схему заданного вала и действующую на него нагрузку (рис. 3.8, б). Вал имеет два грузовых участка, здесь нумерацию участков удобно брать со свободного края, поэтому начало 1-го участка положим на торце вала.

1. Построение эпюр крутящих моментов, напряжений и угловых деформаций

Для оценки прочности и жѐсткости вала необходимо иметь значения крутящих моментов M кр , касательных напряжений max , относительных углов

закручивания и углов закручивания θ участков вала.

Вычисление значений крутящих моментов выполняем методом сечений по уравнению суммы моментов относительно оси вала (3.1) ì î ì z 0 . При

этом положительный внутренний крутящий момент в сечении направляем по часовой стрелке (напомним: такое правило существует для внутреннего момента). Для вычисления max , и θ используем формулы:

103

M

M

l

M

η

êð

, θ

êð

, Δθ

êð

d z ,

max

W

GI

GI

ρ

0

где

Wρ

–

полярный

момент

сопротивления

круглого сечения,

W d 3

1 c4

, где c 0,3 – соотношение внутреннего и внешнего диамет-

32

ров; G – модуль упругости второго рода или модуль сдвига;

I

– полярный

момент инерции круглого сечения, I

d 4

1 c4

; l – длина участка вала.

32

1-й участок, 0 z1 11=0,26м. В текущем сечении (рис. 3.8,а), удалѐнном

от начала 1-го участка на расстоянии z1, крутящий момент M êð1

, касательные

напряжения ηmax 1 , относительный угол закручивания θ1

и угол закручивания

участка θ1

принимают значения: Mкр1

M 0,12кН м ;

η

Mкр 1

0,12 103 16

39,1МПа;

θ

M кр 1

0,12 32 103

180

2,240 /м;

max 1

Wρ 1

0,0253

1

G Iρ 1

0,8 1011

0,025 4

l

M

M

θ

кр 1

d z

кр 1

l

l

2,24 0,26 0,5820.

1

G I

1

G I

1

1

1

ρ 1

ρ 1

0

2-й участок, 0 z2 12=0,18м. В текущем сечении 2-го участка (рис. 3.8,

б), удалѐнном от его начала

на расстоянии z2,

крутящий момент

Mкр 2 ,

касательные напряжения ηmax 2 ,

относительный угол закручивания θ2

и угол

закручивания участка θ2 принимают значения:

Mкр 2 M m2 z2

0,12 - 2 z2

z2 0

0,12кН м;

z

2

0,18м

0, 24кН м;

η

M

кр 2

0,12 - 2 z

2

16

z2 0

η2max

22,8

max 2

Wρ 2

0,033 (1 0,34 )

z2

0,18м

η2max

45,7;

M 2

0,12 - 2 z

32 103

0 1,090

2

180

z

2

/м;

θ

кр

2

G I 2

0,8 1011 0,034

(1 0,34 )

z2 0,18м

2,180 /м;

104

а

б

в

г

д

е

Рис. 3.8

105

	l2	M 2			l2	0,18			0,12 - 2 z				2		32 103							180
θ 2			кр	d z2																			d z2
		2							11						4			4
	0	G I				0	0,8 10			0,03 (1							0,3			)
				0,12 z2 - 2 z2				2 / 2				0,18 32 103						180
												0
					0,8 1011 0,034 (1 0,34 )
					( 0,0108) 32 103									180			0,0980.
					1011 0,034			(1 0,34 )
		0,8

Как и следовало ожидать, на участке с распределѐнным моментом крутящий момент, напряжение и относительный угол закручивания изменяются по линейному закону.

Определим углы поворота характерных сечений, обозначив сечения бу-

квами A , B , C . Так как точка A находится в заделке, то θ A 0 ;

θ B θ 2

0,098 ; θ C θ 2 θ1 0,098 0,582 0,484 .

Видим, что на 2-м участке значения крутящих моментов проходят через

нуль, и эпюра Mкр 2

в таком случае пересечѐт нулевую линию, обозначим это

сечение точкой

K и координату этого сечения как

z0 . Необходимо помнить,

что это характерное сечение имеет важную особенность: для него

угол закручивания вала К

принимаем экстремальное значение для этого

участка, а на криволинейной эпюре θ будет перегиб.

Определим координату

z0 , используя равенство крутящего момента

Mкр 2 в сечении К нулю. Составим уравнение

Mкр 2 0,12 2 z0 0,

из которого

получаем

значение

z0 0,06 м . Теперь

вычислим угол

закручивания участка CK, подставляя в угол закручивания 2-го участка

границы интегрирования от 0 до z0 0,06 м :

θ

z0

Mкр 2

d z

z0 0,06

0,12 - 2 z2 32 103

180

d z

CK

2

2

G I

0,8 1011 0,034

(1 0,34 )

ρ 2

0

0

0,12 z

2

- 2 z2

/ 2

0,06

32 103

180

0,0330

11

4

4

2

0

0,8 10 0,03 (1 0,3 )

106

Далее, согласно с (3.7) и зная θ CK , найдѐм угол поворота сечения K как

θ	K	θ	B	θ	CK	0,098 0,033	0,131 .

По полученным значениям построим эпюры изменения по длине вала крутящих моментов M êð , касательных напряжений ηmax, относительных углов закручивания θ и абсолютных углов поворота θ сечений (рис. 3.8, в, г, д, е).

2 и 3. Проверка прочности и жѐсткости вала

Укажем наибольшие по абсолютной величине значения напряжений и углов закручивания:

ηmax=45,7МПа, θmax=2,180/м, θмах=0,4840.

Сделаем выводы о прочности и жѐсткости вала:

ηmax=45,7МПа < [η]=100MПa, θmax=2,180/м < [θ ] =2,50/м, θмах=0,4840 < [θ]=10

значит, прочность и жѐсткость вала обеспечены;

Задача 15. Проверочный расчѐт ступенчатого статически неопределимого вала

Стальной ступенчатый вал (схема изображена на рис. 3.9) имеет жѐсткие заделки по торцам. Известны внешний сосредоточенный и распределѐнные моменты, заданы диаметры поперечного сечения и длины участков.

На более широком участке вала считать сечение кольцевым с соотношением внутреннего диаметра к наружному равным с=0,3.

Требуется:

1.Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных моментов, возникающих в жѐстких заделках.

2.Построить эпюры крутящих моментов Мкр, касательных напряжений η, относительных углов закручивания θ и абсолютных углов поворота θ.

Модуль упругости G =0,8∙ 5МПа.

3. Указать опасное сечение и значение ηmax, проверить прочность при допускаемом напряжении η =100МПа. Если условие прочности не

выполняется, указать диаметры, при которых оно будет удовлетворено.

107

4. Указать значения θmax и θmax, проверить жѐсткость при допускаемом относительном угле закручивания θ =20/м и допускаемом абсолютном угле поворота сечения θ =0,50. Если условие жѐсткости не выполняется, указать диаметры, при которых оно выполняется.

m 2	M
	m1
	d1
d 2
L 2	L1

Рис. 3.9

Решение:

В этой задаче использована так же унифицированная схема ступенчатого вала (рис. 3.9): в начале участка приложен сосредоточенные момент М, и на каждом участке действует распределѐнный крутящий момент интенсивности m. Пусть заданы следующие величины: сосредоточенный момент М=-0,42кН∙м; интенсивность распределѐнного момента m1=0 и m2=1,3кН∙м/м=1,3кН; длины участков 11=0,16м и 12=0,18м; диаметры сечений участков d1=25мм и d2=40мм.

Сначала изобразим по этим данным в масштабе заданный вал и действующую на него нагрузку (рис. 3.10, б). Вал разделим на два грузовых участка; нумерацию участков возьмѐм справа, начало 1-го участка положим на торце вала в сечении С.

1. Определение реактивных моментов

Обозначим реактивные моменты, возникающие в жѐстких заделках, как MА и MС. Вал является статически неопределимым. Составим два следующих уравнения.

Первое − уравнение равновесия вала по (3.1).

мом z 0: M A 0,42 1,3 0,18 MC 0;

Второе уравнение − это уравнение перемещений. Для вала с двумя заделками угол поворота заделок относительно друг друга равен нулю, можно записать уравнение перемещений в виде ÀC CA 0.

Расписать это уравнение через нагрузку можно двумя приѐмами. Первый из них заключается в записи двух углов закручивания 1 и 2 через крутящий момент по формуле угла закручивания как

108

а

б

m 2	M
	m1
	d1
d 2
L 2	L1

в

г

д

е

Рис. 3.10

109

l1

M 1

l2

M 2

θ

кр

d z , и θ

кр

d z

,

1

2

2

G I1

1

G I 2

0

ρ

0

и дальнейшей записи их суммы, равной нулю:

1 + 2 =0. По второму

приѐму

учитываем

влияние

каждого

слагаемого M кр

на

деформацию:

сосредоточенный момент закручивает на угол θ

M l

, а распределѐнный -

GIρ

l

m z

m z

2

/ 2

на угол

θ

d z

.

0

G I

ρ

G I

ρ

Запишем

угол

CA

как сумму

углов от

момента

MC , момента

0,42 кН·м и распределѐнного момента m=1,3кН. Начинаем с левого торца бруса и получаем следующее уравнение перемещений

M

С

0,16 32

MC 0,18 0, 42 0,18+1,3 0,182 / 2 32

0.

4

4

4

G 0,025

G 0,04

1 0,3

Такое же уравнение получим и после подстановки углов закручивания

участков

вала в

сумму

1 + 2 =0.

Из

последнего

уравнения

M C

0,045кН∙м, а из уравнения равновесия M A =0,141кН∙м.

2. Построение эпюр крутящих моментов, напряжений и деформаций

Для оценки прочности и жѐсткости вала запишем значения крутящих

моментов M êð , касательных напряжений

ηmax, относительных углов

закручивания θ и углов закручивания θ участков вала.

M

M

l

M

η

кр

, θ

кр

, Δθ

кр

d z

max

GI

GI

0

где Wρ –

полярный момент сопротивления сечения, для кольцевого сечения

W

d 3

1 c4 , где c 0,3 – соотношение внутреннего и внешнего диамет-

32

ров; G – модуль упругости второго рода или модуль сдвига; I

– полярный

момент инерции круглого сечения, I

d 4

1 c4 ; l – длина участка вала.

32

1-й

участок,

0 z1 11=0,16м. Для

1-го

участка в текущем сечении

(рис.3.10, б), удалѐнном от торца С на расстоянии z1, крутящий момент M 1кр ,

110