РГР2_син_токТОЭ

							jwL 2 ) (r3		j		1
					(r2								)
											wc 3
				1
ZВХ	r1	j (wL1			)
				wc1							1
						r	r	j (wL
									2
						2	3				wc 3

ZВХ 23,027 j7,349 (Ом)

Зная входное сопротивление

и напряжение источника ЭДС определим ток ,

протекающий через источник:

e(t)

40 sin(314 t)

E 40 (В)

E

I

Zвх

I 1.577 j0.503(А)

Зная ток неразветвленного участка цепи, можно определить токи

параллельных ветвей:

1

I (r3 j

)

wc3

I 2

r

r j (wL

1

)

2

2

3

wc3

I3 I I2

I2 0.023 j0.727(А)

I3 1,554 j0,224(А)

Напряжения на элементах определим по закону Ома:

Ur1

r1

I 17.342 j5.535 (В)

9.479 j29.702(В)

UL1

jwL1 I

1

Uc1

I

( j

) 5.341 j16.736

(В)

wc1

Ur2 r2 I2 0.25 j8.001(В)

Ur3 r3		I 3	17.092 j2.466(В)
			1
Uc3	I3	( j		wc3	) 1.428	j9.897	(В)

UL2 jwL2 I2 18.271 j0.57 (В)

31

2 Проведем баланс мощности .

В цепи синусоидального тока баланс мощности может быть проведен по постоянной составляющей, реактивной составляющей и по полной мощности.

Так как задание не уточнено, проведем баланс по постоянной и по реактивной составляющей.

~
Sист	E I

~

Pнагр jQнагр

Sнагр

P

I 2 r I 2 r I

2

r

нагр

1

2

2

3

3

Q

I 2 (wL

1

) I2 wL

I 2

1

нагр

1

2

wc1

2

3

wc3

~

63.08 j20.12 (ВА)

Sист 40 (1.577 j0.503)

Pнагр 63.061

(Вт)

(Вар)

Qнагр 20.126

Равенство мощностей источника и нагрузки подтвердилось, поэтому можно утверждать, что баланс сошелся.

3 Топографическую векторную диаграмму в данной схеме удобно строить относительно параллельных ветвей:

U12	Ur2	UL2
U12	Ur3	Uc3
U12	E Ur1		UL1	Uc1

32

Топографическая векторная диаграмма напряжений.

Векторная диаграмма токов для узла 1.

4 Показания приборов заданной системы показывают действующее значение функций.

33

Амперметр реагирует на действующее значение тока, протекающего по второй ветви.

I A I2

I A 0,728(А)

Вольтметр реагирует на действующее напряжение на реактивных элементах первой ветви.

UV UL1 Uc1

UV 13,61(В)

Ваттметр показывает активную составляющую мощности, в данном случае на участке 12. Поэтому показания на ваттметре будут соответствовать мощности на резисторе r3.

P	I 2	r
W	3	3
PW
	Re U12		I	3

PW 27,112(Вт)

5 Рассмотрим все возможные резонансные контуры заданной схемы.

Первым рассмотрим последовательный контур на участке 13.

Резонанс напряжений в рассматриваемом последовательном контуре возможен при выполнении условия:

34

	W1			1
			L1	C1

(рад/с)

W1 235,702

Далее рассмотрим параллельный участок 12 , на котором возможен резонанс токов . Условие резонанса:

						L2		2
			1				C3	r2
W2
						L2
			L2 C3					r2
							C3	3
W2	158,114								(рад/с)

Так как схема сложная , то возможен еще один резонанс напряжений на

последовательном участке цепи 32. Условием его существования будет равенство реактивной составляющей сопротивления схемы нулю.

Im Zвх 0

Запишем это уравнение подробнее.

		(r			jwL				) (r			1		)
								2
	2									3	wc3												1
Im																	jwL1				j					0
		(r2		r3 ) j (wL 2								1			)								wc1
												wc	3
			Проведем некоторые преобразования уравнения:
							(r			r ) (r wL							2		r2			) (r r							L2		) (wL		2		1	)
					1			2		3		3							wc3				2	3					c3						wc3
wL1																																					0
				wc1									(r2				r3 )			2	(wL 2						1			)		2
																												wc3
			Достаточным условием для решения уравнения будет равенство числителя
выражения								нулю,			если						привести выше														записанное						уравнение к общему
знаменателю.

35

2

4

2

4

L22

4

2 1

2

2 1

2

L2

2

2

6

4r

L

w

3r

L

2

w

w

4r

w

3r

w

w

L L

2

w

1

c3

c1

c3

c32

1

2L2L1

w4

L1

w2

L22

w4

2L2

w2

1

0

c2

c c2

c3

c1

c1c3

3

1

3

Уравнение имеет шестую степень, так как цепь содержит несколько реактивных элементов (конденсаторы и катушки индуктивности).

Решить данное уравнение, можно, если принять w6 s3 .Теперь уравнение примет вид:

s3 L L2

s2

2

2L1L2

2

3r

2

4r

2

L2 L1

2L2

1

4r

2L

3r2L

2

L2

L2

s

0

1

2

1

c3

c3

c1

c3

c1

c2

c1c3

c c2

3

1 3

Кубическое уравнение может быть решено двумя способами.

Первый способ: разложение левой части уравнения на линейные множители вида-

ax3 bx2 cx d a(x ) (x ) (x ) ,

где a, b, c, d- действительные члены кубического уравнения,

- множество решений кубического уравнения.

Второй способ: применение формулы Кардано, которая имеет вид-

x3 ba x2 ac x da 0

y3 p y q 0 y1 u v

y2 1u 2v

y3 2u 1v

b

3

2

q

a

bc

d

27

3a2

a

b 2

p

c

a

,

a

3

где

36

u 3	q
			D
	2
v 3	q
			D
	2

p		3	q		2
D
	3			2

1,2 1 i3

2

Если при решении используется пакет MathCAD , то решение кубического уравнения не составит трудности.

В результате решения будут получены шесть корней, которые могут быть либо действительными, либо комплексными.

Резонансной частоте соответствуют только положительные действительные корни, если таковых нет, то резонанс напряжений в сложном контуре невозможен.

Итак, приступим к решению:

a3.84 10 4

b40.533

c6.593 105

d1.333 1010

p1.997 109

q6.143 1013 D 6.484 1026

1.2 0.5 j0.866

Определяем корни приведенного уравнения:

y1 5.568 104

y2 2.784 104 j 1.812 104 y3 2.784 104 j 1.812 104

Как уже было сказано, только действительные корни являются решением задачи. Для определения корня кубического уравнения- s , используем соотношение

37

s y1 ( 3ba ) s 9.086 104

Переходя к кубическому уравнению, была использована замена:

s w2 s3 w6 s2 w4

Поэтому единственным решением уравнения шестой степени, приемлемым к условию задачи, является

W3	s
W3	301.438 (рад/с)

6 Амплитудно-частотную характеристику входного тока построим, используя пакет

MathCAD 7.

x1 y1

b

x1 9.086 104

3 a

x1 301.438

ww 0 20000

f( ww)

E

(r2

j ww l2)

r3

1 j

r1 j

ww l1

1

ww c3

ww c1

1

r2

r3 j ww l2 j

ww c3

1.5

1

f( ww)

0.5

38

Приложение А

Таблица исходных данных для расчета.

39

40