Математика РАСЧЕТНОГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Расчетно-графическая работа

293

 p,q q, p , так как перестановка сомножителей в вектор-

ном произведении влечет за собой изменение знака произведе-

ния.

Далее получим:

[a,b]

7[q, p]

7

[q, p]

7

q

p

sin p,q

7 1 2 sin 5

6 14 0,5 7.

Итак, площадь параллелограмма S 7 ед2 .

Задача 5. Проверить, компланарны ли векторы a, b, c , если a 1,3,2 , b 2,3,4 , c 3,2,9 .

Решение. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

							1	3	2
		,		,			2	3	4	9 0.
	a		b		c
							3	2	9

Векторы a, b, c не компланарны.

Задача 6. Для треугольной пирамиды ABCD найти объем и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC, если A 1, 3,8 ,

B 2,2, 1 , C 4, 5,3 , D 1, 1,2 .

Решение. Вычислим объем пирамиды с помощью смешанного произведения векторов AB, AC и AD :

294		Расчетно-графическая работа
		1,5, 9 ,		3, 2, 5 ,		0,2, 6 .
	AB		AC		AD

Объем пирамиды

V1 AB, AC, AD . 6

Смешанное произведение

							1	5		9
				,			3	2		5			58,
	AB,		AC		AD
							0	2		6
и тогда объем пирамиды равен V								58		9	2	.
								6
										3

Теперь найдем высоту пирамиды. Известно, что объем пирамиды

V	1	HS	ABC	, отсюда H	3V	.
3					SABC

Площадь треугольника ABC вычислим, используя модуль вектор-

ного произведения векторов AB и AC :

														i			j			k
						AB		,	AC				1			5			9				43i			22j 17k .
													3			2			5
	1											1
																2								2		2
SABC			[AB,AC]													43							22			17					25,6.
	2											2
																											3 58
В результате высота пирамиды равна																								H			6			1,13.
																										25,6

Расчетно-графическая работа

295

Аналитическая геометрия.

Линейные геометрические объекты на плоскости

и в пространстве

Условия задач

1.Составить уравнения прямых, расположенных в плоскости Oxy,

проходящих через точку P параллельно и перпендикулярно за-

данной прямой.

2.Выяснить взаимное расположение прямых, расположенных в плоскости Oxy. Если они пересекаются, найти точку пересече-

ния и угол между прямыми.

3.Найти расстояние от точки M до плоскости , проходящей че-

рез точки A,B,C .

4.Составить уравнение плоскости :

a)содержащей точку A и перпендикулярной плоскостям и

(для нечетных вариантов);

b)содержащей точки A, B и перпендикулярной плоскости

(для четных вариантов).

5.Найти угол между плоскостями и .

6.Составить канонические уравнения прямой l – линии пересече-

ния плоскостей и .

296		Расчетно-графическая работа
7.	Найти точку пересечения прямой l и плоскости , а также угол
между прямой l		и плоскостью . Данные по прямой l и плоскости
взять из предыдущих пунктов 3 и 6.
8.	Найти точку M1, симметричную точке M относительно:

a)плоскости (для нечетных вариантов);

b)прямой l (для четных вариантов).

Условия вариантов приведены в приложении 7.

Комментарий к решению задач

Задача 1. Составить уравнения прямых, расположенных в плоскости

Oxy, проходящих через точку P 3, 4						параллельно и перпендику-
лярно заданной прямой			l:2x 3y 8 0.
Решение. В уравнениях прямой на плоскости Oxy:
		Ax By C 0 и		x m t x0				,
								t R ,
				y n t y0				,
коэффициенты A и B			являются координатами вектора нормали
		A,B прямой, а коэффициенты m				и	n	совпадают с коорди-
	N
натами направляющего вектора				s	m,n		прямой. На рис. 6.2 пря-

мая	l1 параллельна заданной прямой l:2x 3y 8 0, и поэтому ее
вектор нормали			1 совпадает с вектором нормали		2, 3 пря-
		N		N
мой	l :

Расчетно-графическая работа

297

l

N

l2

s

l1

P

Рис. 6.2

N1 N 2, 3 . Следовательно, уравнение прямой l1 имеет вид

A x x0 B y y0 0					или 2 x 3 3 y 4 0,
откуда получим y			2	x 6.
			3
Прямая l2	перпендикулярна прямой l ,					и поэтому ее направ-
ляющий вектор	s	2		совпадает	с вектором	нормали прямой l :

s2 N 2, 3 . Составим параметрическое уравнение прямой l2 :

l2 : x 2t 3,	t R .
y 3t 4,

Замечание. Если прямая l задана параметрическими уравнениями,

то известен ее направляющий вектор s m,n , который одновре-

менно является вектором нормали для прямой l2 и направляющим для прямой l1 .

298 Расчетно-графическая работа

Задача 2. Выяснить взаимное расположение прямых l1 : x 2t 3,

y t 1,

и l2 :x 3y 4 0, расположенных в плоскости Oxy. Если они пе-

ресекаются, найти точку пересечения и угол между прямыми.

Решение. Направляющий вектор прямой l1 имеет вид: s1 2, 1 ,

для прямой l2 известен вектор нормали N2 1, 3 . Предполагае-

мое расположение прямых представлено на рис. 6.3.

l1

S1

S2

l2

М

N1

Рис. 6.3

Поскольку скалярное произведение s1,N2 2 3 5 0, векторы

s	1 и N2 не ортогональны, поэтому прямые l1		и l2 не параллельны и
пересекаются в какой-то точке		M . Найдем координаты точки M .
Для этого подставим x и y		в параметрической форме записи в
уравнение прямой l2 :
	2t 3 3 t 1 4 0, 5t 4 0,		t 4 5.

Расчетно-графическая работа	299
Следовательно, точке M соответствует	значение параметра

t 45. Подставляя это значение параметра в уравнение прямой

l1 , получим координаты точки пересечения:

xM 2 4 5 3 7 5,

yM 4 5 1 9 5.

Витоге M 75,95 .

Вкачестве направляющего вектора прямой l2 можно взять любой вектор, ортогональный вектору N2 .

Если вектор	s	2	имеет координаты					s	2 m2,n2 , то равенство
нулю скалярного			произведения		2 ,			2 0 приводит к записи
				s		N
m2 3n2 0. Полагая здесь, например,							n2 1, получим m2 3, сле-

довательно, один из направляющих векторов прямой l2

имеет коор-

динаты

s

2 3,1 .

Найдем косинус угла между прямыми l1 и l2 :

|

(

s1,

s

|2 3 1 1 |

.

cos

2)

|

2

s1

s

2

22 1 2

32 12

2

Прямые пересекаются под углом 4.

Ответ: M 7 5,9 5 , 4.

Задача 3. Найти расстояние от точки M 1, 1,2

до плоскости ,

проходящей через точки A 1, 3,8 , B 2,2, 1 , C 4, 5,3 ,.

300	Расчетно-графическая работа

Решение. Составим уравнение плоскости, содержащей точки A, B

и C . Для этого найдем координаты векторов AB, AC :

AB 1,5, 9 , AC 3, 2, 5 .

Вектор [AB, AC] ортогонален плоскости , поэтому его можно вы-

брать в качестве вектора нормали N к плоскости :

N [AB, AC] 43i 22j 17k .

Составим уравнение плоскости , содержащей точки A, B и C :

:

43 x 1 22 y 3 17 z 8 0

или 43x 22y 17z 113 0.

Расстояние от точки M 1, 1,2

до плоскости равно:

Ax1 By1

Cz1 D

| 43 22 17 2 113|

1,13.

A2 B2 C2

43 2 222 17 2

Задача 4а. Составить уравнение плоскости , содержащей точку

A 1, 1,3 и перпендикулярной плоскостям : x 3y z 1 0 и

: 2x y z 3 0 (для нечетных вариантов).

Решение. По условию плоскость перпендикулярна плоскостям и (рис. 6.4), поэтому вектор векторного произведения векторов нормали N1 и N2 к плоскостям и будет ортогонален плоско-

сти (рис 6.4).

Расчетно-графическая работа

301

N1

N2

N

A

Рис. 6.4

						2	i				j		k
	N		N	1,	N		1			3			1			2i		3j 7k .
							2			1			1
Составим уравнение плоскости												:				2 x 1 3 y 1 7 z 3 0
или 2x 3y 7z 20 0.

Задача 4б. Составить уравнение плоскости , содержащей точки

A 1, 1,3 и

B 2,1,5 и перпендикулярной плоскости

:x 3y z 1 0 (для четных вариантов).

Решение.

N1

N B

A

Рис. 6.5

302

Расчетно-графическая работа

Вектор нормали к плоскости

находят как векторное произведение

[

1,

], где

1

– вектор нормали к плоскости (рис. 6.5). В итоге

AB

N

N

i

j

k

1,

1

3

1

AB

N

N

9i

5j 7k ,

3

2

2

иуравнение плоскости имеет вид:

: 9 x 1 5 y 1 7 z 3 0

или : 9x 5y 7z 7 0.

Задача 5. Найти угол между

плоскостями :x 3y z 1 0

и

:2x y z 3 0.

Решение.

cos

|

(

2

arccos

2

N

1,N2)|

| 2|

,

760

N1

N2

66

66

66

Задача 6. Написать канонические уравнения прямой l

— линии пе-

ресечения плоскостей :x 3y z 5 0 и :2x 3y 4z 1 0.

Решение. Поскольку векторы нормали каждой из плоскостей

и

N1

2 ортогональны любой прямой,

расположенной в соответствую-

N

щей плоскости, оба вектора нормали будут ортогональны прямой l

(рис.6.6).