ТОМД

21

Докажем теперь, что напряженное состояние в точке определено, если известны напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, прохо-

дящих через данную точку.

Проведем через рассматриваемую точку произвольно наклоненную к осям координат площадку dF.

dF1, dF2, dF3 – бесконечно малые площадки, перпендикулярные осям коорди-

нат (координатные площадки), напряжения в которых предполагаются из-

вестными.

Напряжения (компоненты напряжения) обозначается двумя индексами:

1 индекс обозначает направление напряжения (по осям); 2 индекс – адрес

(это направление нормали к площадке, в которой это напряжение действует).

Общее правило: знак напряжения определяется произведением знаков его индексов.

Дубликат предыдущего рисунка

22

dF1= dFl1, dF2= dFl2,… – эти соотношения следуют из теоремы о трех пер-

пендикулярах и правила: два угла со взаимно перпендикулярными сторонами

равны друг другу:

23

dF=h*AD* ;

dF1= AD h1;

dF1=dF*l1.

Второй дубликат рисунка

Проецируем все силы, действующие на грани образовавшегося тетра-

эдра, на оси координат: из условия равновесия тетраэдра их сумма равна ну-

лю.

24

;

;

;

.

Если применить для сокращенной записи правило суммирования для произведений, в которые входят величины с повторяющимися латинскими

индексами, то последние три строчки можно записать так:

=σιjlj.

Полное напряжение находим по теореме Пифагора:

√ .

Нормальное напряжение на наклонной площадке находим, проецируя

компоненты полного напряжения на нормаль ν и складывая их:

;

касательное напряжение – по теореме Пифагора: τ=√ .

Таким образом доказано, что если известны напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, можно найти напряжения в любой наклонной площадке, т.е. напряженное состояние в точке определено.

При преобразовании координат, когда вместо старой системы xι выби-

рается новая система , причем оси новые повернуты по отношению к ста-

рым и имеют направляющие косинусы lιj , справедлива формула

σkmlιkljm , (i, j, k, m = 1, 2, 3).

Пример: i= 2, j = 1.

σ11l21l11 + σ21l22l11 + σ31l23l11+ σ12l21l32+…

Тензором называется величина, компоненты, которой изменяются вполне определенным образом, при преобразовании координат.

Напряженное состояние определяется тензором II ранга. Тензор II ран-

га эквивалентен 9-ти скалярным величинам.

Tσ – тензор напряжений:

25

Tσ = σιj = (

) = (

).

Для напряженного состояния выполняется условие парности касатель-

ных напряжений: σ12=σ21. Такой тензор называется симметричным.

Средним нормальным напряжением называется величина

.

Тензор Т0 (

) называется шаровым.

Разность между тензором напряжения и шаровым тензором называется девиатором напряжения:

= Tσ - Т0.

Главные нормальные напряжения и главные оси При преобразовании координат компоненты тензора напряжений изме-

няются. Найдем такие положения координатных осей, при которых нормаль-

ные напряжения принимают экстремальные значения . Для этого значения нормального напряжения дифференцируем по направляющим косинусам и приравниваем производные нулю. Получаем три уравнения; кроме того,

направляющие косинусы связаны между собой теоремой Пифагора (такая за-

дача называется задачей об условном экстремуме).

=0;

=0;

=0;

(по теореме Пифагора).

;

;

;

(

)

;

		26
(	)	и т.д.
Имеем систему однородных алгебраических уравнений с неизвестными
величинами	. Система имеет решение, если ее дискриминант равен
нулю.
	|	|=0.

Раскрывая определитель, получаем кубическое уравнение

	σ3 – σ2I1 + σI2 – I3 = 0 .
	I1, I2, I3 – физические величины, не зависят от выбора координатных
осей. Они называются инвариантами.
I1 – линейный; I1=σ11+σ22+σ33 .
I2	– квадратичный;	.
I3	– кубический;	.
σ1> σ2> σ3 – главные нормальные напряжения.

1, 2, 3 – главные оси.

Напряжения, которые по этим осям действуют, называются главными нормальными напряжениями. Касательные напряжения на площадках, нор-

мальных к главным осям, равны нулю.

27

Любые комбинации из главных напряжений также являются инвариан-

тами, но независимых всего три. Удобно пользоваться следующими инвари-

антами.

1. Среднее нормальное напряжение

Среднее нормальное напряжение, взятое с обратным знаком, называет-

ся гидростатическим давлением p.

2. σι =√ √(

) (

) (

)

(

)

= √ √(

)

σι – отражает переход от упругой деформации к пластической. 3. Коэффициент Лодэ-Надаи

Для растяжения Для скручивания .

Для сжатия

Максимальные касательные напряжения Если исследовать на максимум касательные напряжения, то можно

установить, что они действуют в плоскости, параллельной оси 2 и наклонен-

ной к осям 1 и 3 под углом 450 и их можно найти по формуле

.

Дифференциальные уравнения равновесия Сумма проекций всех сил равна нулю – из статики на координатной оси.

Сумма моментов всех сил относительно каждой координатной оси равна ну-

лю.

Если каждый бесконечно малый элемент в теле выполняет уравнение равно-

весия, то и для всего тела выполняется уравнение.

28

Уравнение равновесия должно выполняться для каждого бесконечно малого элемента.

Взяли бесконечно малый элемент, у него бесконечно малые ребра.

Выберем оси координат, чтобы они были перпендикулярны к элементу.

( )

( )

………….

………….

(3 уравнения равновесия).

(3 уравнения для условия парности касательных напряжений).

Деформированное состояние в точке Для того, чтобы охарактеризовать деформированное состояние в точке

А, необходимо рассмотреть окрестности этой точки (например, перемещение точки В в положение ).

29

Линейной деформацией называется изменение длины отрезка АВ.

Угловая деформация – изменение угла между первоначальными пер-

пендикулярными отрезками (		). Деформирование с увеличени-

ем угла отрицательное, с уменьшением – положительное.

Таким образом, деформированное состояние в точке характеризуется 9

скалярными величинами: тремя линейными компонентами и шестью угло-

выми: ειj, где ι – направление перемещения точки; j – адрес, где точка распо-

ложена.

}

;

}

.

Можно показать, что компоненты ειj изменяются при преобразовании координат по формулам, аналогичным зависимостям, по которым изменяют-

ся компоненты тензора напряжений. Следовательно, деформированное со-

стояние в точке описывается тензорной величиной. Условие парности угло-

вых деформаций выполняется по определению.

Тε – тензор деформации.

30

Тε=ειj=(

) (

).

Условие постоянства объема Пластические деформации при обработке металлов давлением обычно

существенно превышают упругие деформации; поэтому изменением объема тела при деформации можно пренебречь.

Выделим в теле бесконечно малый элемент в виде параллелепипеда.

Полагаем, что его объем при деформации не изменился.

.

,

,

ε11+ε22+ε33=0.

Таким образом, сумма трех линейных деформаций равна нулю

Виды деформации

1. Растяжение – две сжимающие, а одна растягивающая: