Лекции по ЧМ и ТВ

5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

91

Дифференциальное уравнение или система вместе с условиями называется краевой задачей. Иногда в краевых условиях можно выделить части: граничные условия это те, которые заданы на границе пространственной области, и начальные определяющие искомую функцию в определенный момент времени. Задачу с начальными и граничными условиями называют смешанной. Задачи математиче- ской физики стараются ставить так, чтобы их можно было довести до алгоритма численного решения, реализуемого на современных вычислительных машинах.

5.1Основные уравнения математической физики

Приведем классические канонические виды уравнений с постоянными коэффициентами в пространствах размерностей 1, 2 è 3 в обыкно-

венно принятой форме. Оператор 4 (читается: лапласиан или дель-

òà):

4u = uxx; 4u = uxx + uyy èëè 4u = uxx + uyy + uzz

называется оператором Лапласа. Индексами для краткости обозна- чены производные.

4u + 2 u = f	Уравнение Гельмгольца	(IV.16)
u=utt a24u=f	Уравнение Даламбера	(IV.17)
ut a2 4u = f	Уравнение теплопроводности	(IV.18)

Уравнение Гельмгольца при = 0 становится уравнением Пуассона, à ïðè = 0; f = 0 уравнением Лапласа. Квадратом обозна-

чается оператор Даламбера, иначе, даламбертиан èëè волновой оператор. Уравнение (IV.17) в одномерном случае называют уравнением струны. Уравнение теплопроводности можно называть и уравнением диффузии. Коэффициенты в этих формулах можно сделать равными 1 растяжением переменных, однако их оставляют, такова традиция, кроме того они имеют физический смысл и размерность.

5.2Задачи для основных уравнений

A.Уравнение Пуассона 4u = f. Решение ищется в прямоуголь-

нике со сторонами a è b.

Рассмотрим два краевых условия:

Задача Дирихле даны значения функции на границе:

ujx=0 =	1(y);	ujx=a = 2(y)
ujy=0 = '1(x);		ujy=b = '2(x)

(x; u)

92	Глава IV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ ЛАПЛАСА

Задача Неймана даны значения нормальной производной на границе:

uxjx=0 = 1(y);	uxjx=a = 2(y)
uyjy=0 = '1(x);	uyjy=b = '2(x)

B. Одномерное уравнение Даламбера u = f. Решение ищется на отрезке (0; l) ïðè t > 0.

ux(0; t) + u(0; t) = 1(t)

	Краевые условия:	ux(l; t) + u(l; t) = 2(t)
	Начальные условия:	u(x; 0) = '1(x)
		ut(x; 0) = '2(x)

C. Уравнение теплопроводности ut a24 u = f. Решение ищется на отрезке (0; l) ïðè t > 0.

ux(0; t) + u(0; t) = 1(t)

Краевые условия:	ux(l; t) + u(l; t) = 2(t)
Начальное условие: u(x; 0) = '1(x)

Коэффициенты , , и постоянны.

5.3Физический смысл основных задач

Задача B связана с малыми поперечными колебаниями струны, которую на плоскости изображает линия u = u(x; t), 0 x l.

Форма линии зависит, естественно, от времени. В положении равновесия струна может быть просто отрезком оси x, тогда u ýòî

отклонение от положения равновесия. Уравнение Даламбера выражает баланс сил, действующих на бесконечно малый отрезок стру-

ны, содержащий точку струны (x; u). Правая часть уравнения

это плотность внешних сил вдоль струны; если она не равна нулю, струну называют нагруженной. Краевые условия выражают способ закрепления концов струны. В двумерном случае вместо струны колеблется мембрана, в трехмерном тело.

В уравнении теплопроводности u = u(x; t) температура тела

в точке x. В одномерном случае это тело однородный стержень.

Остывание или нагревание неоднородного стержня моделирует то же самое уравнение, но коэффициент a в этом случае будет зависеть

îò x. Граничные условия определяют теплообмен тела с внешней

средой.

Уравнению Пуассона удовлетворяют стационарные (не зависящие от времени) решения уравнения теплопроводности или волнового

5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

93

уравнения. Следовательно, оно моделирует изгиб струны под действием постоянной нагрузки либо передачу тепла вдоль стержня с постоянным распределением температуры. Уравнению Гельмгольца

подчиняются амплитуды колебаний v(x; !) в разложении решения

Z

уравнения Даламбера по стоячим волнам: u(x; t) = ei ! t v(x; !)d!,

иначе говоря преобразование Фурье по времени решения уравнения Даламбера удовлетворяет уравнению Гельмгольца.

5.4Методы исследования основных задач

Для всех этих задач можно сформулировать и доказать теоремы существования и единственности решений. Доказать их можно и посредством процедуры разделения переменных, которая состоит в том, что решение ищется в виде ряда Фурье по одной или нескольким переменным с коэффициентами-функциями других переменных. Если коэффициенты определятся однозначно, то тем самым будет доказана единственность решения в классе формальных (возможно, несходящихся) рядов Фурье. Если же будет установлена сходимость ряда, то это будет означать, что получена теорема существования решения. Вместо рядов Фурье можно использовать преобразования Фурье и Лапласа. В любом случае идея метода состоит в том, чтобы свести задачу с частными производными к задачам для обыкновенных уравнений.

5.5Разделение переменных (метод Фурье) в классических задачах

Рассмотрим этот метод в простейшем случае двух независимых переменных в уравнениях (IV.16), (IV.17) и (IV.18).

5.5.1Главный вариант

Будем считать, что граничные условия при x = 0, x = a èëè ïðè

x = l имеют нулевые правые части ( 1;2	= 0). Это не ограничит
общности.
Положим
u = XunXn(x);	2	(IV.19)
ãäå Xn собственные функции оператора @x, иначе говоря, ре-
шения уравнения
Xn00 + 2Xn = 0;		x, ÷òî
подчиненные тем же самым условиям на концах отрезка оси

и функция u. Решения такой задачи Штурма Лиувилля, как известно, имеют вид

Задача Неймана: В обоих случаях для

94 Глава IV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ ЛАПЛАСА

Xn = c1n cos nx + c2n sin nx:

Они образуют полную ортогональную систему функций на отрезке и, следовательно, пригодны для разложения по ним всех, причастных к задачам функций. Процедура решения начинается с

подстановки выражения для u из (IV.19) в уравнения и в условия.

Затем решается получившаяся краевая задача для обыкновенного уравнения с параметром. Приведем подробности отдельно для каждого случая.

A. Уравнение Пуассона.

Следовательно:

4u = P(un;yy 2nun)Xn = f

u00n(y) 2nun(y) = fn(y)

Здесь и ниже fn коэффициенты Фурье функции f(x; y), а 'j n коэффициенты Фурье функций 'j(x).

Задача Дирихле: un(0) = '1n; un(b) = '2n;

Xn(0) = Xn(a) = 0. u0n(0) = '1n; u0n(b) = '2n; Xn0 (0) = Xn0 (a) = 0:

un получаются задачи Штурма Лиувилля.

B. Уравнение Даламбера.
		u =	(un;tt + a2 2 un)Xn = f
Значит:		u00	(Pt) + a2 2 un(t)n = fn(t)
		n	n
Краевые условия:		Xn0 (0) + Xn(0) = 0;
		Xn0 (l) + Xn(l) = 0:
Начальные условия:			un(0) = '1n; un0 (0) = '2n.
C. Аналогично, в случае одномерного уравнения теплопроводно-
сти получим:			un0 + a2 n2 un = fn
Краевые условия:		Xn0 (0) + Xn(0) = 0;
		Xn0 (l) + Xn(l) = 0:
Начальное условие:			un(0) = '1n:

В обоих случаях для un получилась задача Коши.

5.5.2Вариации

a. Если граничные условия ненулевые, то преодолеть эту неприятность можно с помощью любой функции u1, которая удовлетворяет тем граничным условиям, которые требуется сделать нулевыми. В

j сделать

задаче для новой неизвестной

5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

95

v = u u1 эти условия будут нулевыми. В наших классических задачах, чтобы функции

нулевыми, функцию u1 можно взять в виде многочлена по x íå âû-
ше третьей степени.
После этого можно сделать нулевым второе граничное условие
или начальное условие, но этого можно и не делать.
b. Для решения задачи Коши в случае B с нулевыми начальными
данными можно предложить легко проверяемую формулу:
		Z	t
un(t) =	1		sin(a n(t s)) fn(s) ds
	an
0
В случае C, очевидно:

t

Z

un(t) = e a2 2n(t s) fn(s) ds

0

c. В случае A, если оба граничные условия нулевые, решение u

можно искать в виде двойногоP ðÿäà

u = unmXn(x) Ym(y)

nm

Здесь собственные функции Ym и их собственные числа m строятся в точности как Xn, но, естественно, с заменой переменной x íà y, а постоянной a íà b. Подставив u в уравнение Пуассона, получим

формулы для определения коэффициентов unm, в которых fnm коэффициенты двойного ряда Фурье функции f(x; y):

( 2n + 2m)unm = fnm

d. Аналогичная процедура применяется для ситуации с тремя и более переменными. Существенный ее момент составляет разделяемость переменных не только в уравнении но и в граничных условиях. Простейший пример, когда это свойство изначально отсутствует, доставляют задачи в круге, цилиндре или шаре. В этих случаях путем перехода к полярным или сферическим координатам можно добиться разделяемости. Однако расплатой за это достижение будут более сложные задачи Штурма Лиувилля для специальных функций.

5.6Решение Даламбера задачи Коши

Это пример решения краевой задачи в квадратурах.

Для уравнения струны задача Коши записывается следующим образом:

utt a2 uxx = f; ujt=0 = g(x); utjt=0 = h(x); x 2 R; t 0

Эта задача решается следующим путем. Разложим на множители:

= (@t a @x)(@t + a@x) = 4a@ @ ;

ãäå = x at , = x + at новые координаты. Уравнение u = 0

96	Глава IV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ ЛАПЛАСА

легко решается, решив, получим:

u= v(x at) + w(x + at)

ñпроизвольными функциями v; w. Не сложнее находится и частное

решение неоднородного уравнения. После подстановки общего реше-

ния в начальные условия и вычислений получится

формула Далам-

áåðà.

Упражнение 6.

Проверить формулу Даламбера:

x+at

t

x+at as

u =

1

Z

ds

Z

f(y; s) dy +

1

(g(x at) + g(x + at)) +

1

Z

h(y)dy

2 a

2

2 a

0

x at+as

x at

Изложенный способ ее получения называют методом распространяющихся или бегущих волн, а также методом характеристик. Это объясняется тем, что функция v(x at) есть прямая бегущая волна

(в том смысле, что ее график, как функции от x, с возрастанием t движется вправо), а функция w(x + at) обратная бегущая волна;

характеристики это интегральные кривые двух векторных полей:

@t a @x è @t + a@x.

Пример 25.

utt uxx = 0	u(0; t) = 0	u(x; 0)	= x ïðè 0 < x < =2
	u( ; t) = 0	u(x; 0)	= x ïðè =2 < x <
		ut(x; 0) = 0

Мы имеем здесь дело со струной, закрепленной в концах отрезка [0; ], в на-

чальный момент времени покоящейся и оттянутой за середину. Как же она будет звучать? Следуя нашему алгоритму, получаем:

un00 +X n

= 0

(Xn = sin nx)

u =

un sin nx

n2u

un(0) = '1n =

4

sin

n

=

4( 1)k

;

n = 2k + 1

n

2

2

un0 (0) = 0

2

n

Следовательно, un = un(0) cos nt

4

1

( 1)k

2

1

( 1)k

X

Xk

(sin n(x + t) + sin n(x t))

u =

n2 cos nt sin nx =

n2

k=0

=0

Первый ответ есть разложение колебаний струны по стоячим волнам в каждом слагаемом от времени зависит только амплитуда, во втором ответе каждая стоячая волна разложена в сумму двух бегущих в разные стороны волн.

6Вопросы и задачи с решениями

1.Тригонометрические ряды Фурье. Формулы Эйлера Фурье. (с. 77-83, 36-43, 192-199)

2.Теорема Дини о сходимости (признак сходимости). (с. 77-83, 78-82, 36-43,

6. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

97

192-199)

3.Теорема Жордана о сходимости (признак сходимости). (с. 77-83, 78-82, 36-43, 192-199)

4.Преобразования Фурье и Лапласа. Формулы обращения. (с. 77-83, 83-87, 36-43, 192-199)

5.Изображения основных функций: степенной, экспоненты, тригонометрических и гиперболических. (с. 77-83, 83-87, 36-43, 192-199)

6.Операционное исчисление: решение обыкновенных дифференциальных уравнений путем преобразования Лапласа. (с. 77-83, 83-90, 36-43, 192-199)

7.Алгоритм разделения переменных в уравнениях математической физики, основанный на разложении в обобщенный ряд Фурье по одной переменной. (с.

77-83, 90-95, 36-43, 192-199)

8. Алгоритм разделения переменных в уравнениях математической физики, основанный на разложении в двойной обобщенный ряд Фурье. (с. 77-83, 90-95,

36-43, 192-199)

1. Найти ортонормированную относительно скалярного произведения

Z 2

(y; z) =	e2xy(x)z(x) dx систему собственных функций задачи
y00 + 2y0	0
	+ y + 2y = 0, y(2) + e 2y(0) = 0, y0(2) + e 2y0(0) = 0 и разложить по

ней функцию f = 3 e x sin( =3 + ( =2 + 3 )x) в обобщенный ряд Фурье.

Решение. Решив задачу Штурма Лиувилля найдем собственные числаn = 2 + k, n 2 Z и базисы их собственных подпространств:

e x sin( + ( =2 + k )x), e x cos( + ( =2 + k )x), где любое.

Так как оператор задачи самосопряжен относительно указанного скалярного произведения, то собственные подпростраства ортогональны одно другому. Нужно проверить ортогональность каждого из указанных базисов и вычислить

нормы базисных векторов, они равны 1. При = =3 заданная функция сама

лежит в одном из собственных подпространств, откуда и следует один из возможных ответов:

Ответ. yn = e x sin( =3 + ( =2 + k )x) ïðè n = 2k,

yn = e x cos( =3 + ( =2 + k )x) ïðè n = 2k + 1, k = 0; 1; 2; : : : ; f = 3y6.

VТеория вероятностей

1Предметная область и ее математическая интерпретация

Теория вероятностей изучает такое случайное, которое сохранило в себе закономерное вполне определенного рода то, что имеет частоту. В литературном описании предмета этой теории необходимо присутствуют пять терминов: испытание, исход, событие, частота, вероятность. В самой теории им придается однозначный смысл. Как обычно, математические реалии, имеющие эти имена, существуют лишь в воображении, а не в действительности. Благодаря этому величины можно совершенно точно описать, что и делает возможным их приложение к действительности. Когда нечто действительное повторяет в своем описании что-либо математическое, есть надежда, что и поведение этого нечто повторит поведение, предписанное теорией.

Синонимы испытания: опыт, наблюдение, эксперимент, случайный эксперимент, "осуществление комплекса условий" (А. Н. Колмогоров), . . . . Чтобы описать испытание, нужно перечислить его условия, включая место и время, и указать интересующий экспериментатора результат, который оказывается случайным в том смысле, что он не определен данным списком условий однозначно. Одно и то же испытание можно проводить много раз подряд, мысленно, разумеется, любые реальные повторения все же разнятся между собой. Теорию вероятностей интересуют только такие испытания.

В качестве примеров испытаний укажем пока два: подбрасывание монеты, здесь результат очевиден; проведение спортивной олимпиады, здесь результатом может быть самый подробный протокол проведения состязаний, но им может быть и успех нашей команды в отдельном виде спорта, в общем что угодно.

Каждое проведение испытания называют реализацией. Исходом реализации будет обязательно однозначно определенный результат испытания. Исход также называют элементарным событием. Полезно иметь в виду, что испытанием часто называют результат испытания, то есть, реализацию или исход.

Вероятностный смысл термина 'событие' отличается от литературного тем, что здесь речь идет лишь о событиях, которые могут произойти в результате испытаний. Нет испытания нет и события. От исхода событие отличается тем, что одно и то же событие может быть результатом нескольких исходов. Эти исходы называют благоприятствующими событию. Например, если испытание это экзаменационная сессия, а его исход полученные студентом оценки, то событие отчисление студента будет следствием любого исхода, в котором студент не сдал больше двух экзаменов. Если экзаменовчетыре, то отчислению студента благоприятствуют пять исходов.

P( ) = 1.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

99

Каждый исход есть одновременно и событие; ему благоприятствует только один исход он сам. Любой набор событий некоторого испытания, если они попарно несовместны, то есть не могут произойти оба в одной реализации, можно объявить новым пространством элементарных событий этого испытания, но это уже будет новое испытание. В число его исходов следует включать дополняющее набор элементарное событие, чтобы исключить "безысходные" реализации испытания. Например, если в исходном испытании монета бросается 5 раз, а несовместные события определены фразой "герб при этом первый раз появился на n-ном броске", то новых исходов будет не 5,

а 6, шестой исход герб не появился. События в смысле теории вероятностей, то есть, связанные с каким-либо испытанием, называют

случайными.

Если испытание повторяется n раз, и событие A происходит при этом m раз, то число m называется абсолютной частотой, а число

m=n относительной частотой èëè частотой события A.

Наконец, под вероятностью разумеют число, которое хотелось бы сопоставить каждому событию так, чтобы к этому числу приближалась частота события. Вероятности, часто невозможно найти, но удается сравнивать: имеется некоторая вероятность, что здесь завтра будет землетрясение, но что пройдет дождь более вероятно. Определение вероятности до сих пор проблема, однако паллиатив был найден.

2Определение вероятности

Перейдем теперь к самой сравнительно недавно возникшей теории, в рамки которой удалось втиснуть рассмотренные, хотя и кратко, понятия.

Математической моделью испытания и связанных с ним основных понятий служит вероятностное пространство это простонапросто пространство с мерой:

= ( ; B; P);

в котором:

испытание, то есть, множество исходов: = f!g;

B множество событий, которое есть счетно-аддитивная алгебра подмножеств из : B fA; A g;

P вероятностная мера на B, то есть, такая мера, что

(А. Н. Колмогоров, 1933)

Вероятностная мера называется также распределением вероятности. Таким образом, выбор любой точки ! 2 может означать

проведение опыта или реализацию испытания с исходом ! . Èñõî- äû, благоприятствующие событию A, это в точности элементы

множества A. Вероятность события ýòî åãî ìåðà.

100	Глава V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В дальнейшем, когда речь идет о вероятностях, событиях или испытаниях, предполагается, что они относятся к некоторому вероятностному пространству. Операции объединения и пересечения в алгебре множеств-событий часто обозначают знаками сложения и умножения:

A [ B = A + B, A \ B = A B.

Произведение событий следует отличать от произведения их как множеств, которое для отличия можно называть прямым произведением. Алгебру B называют алгеброй или -алгеброй событий. Îáîé-

тись конечно-аддитивной мерой, то есть мерой Жордана многомерными длиной и площадью, нельзя уже в самых простых задачах теории вероятностей.

2.1 Примеры вероятностных пространств

1) Подбрасывание монеты.

Вероятностное пространство состоит из двух исходов (сторон монеты): = f0; 1g; но в результате испытания может произойти це-

ëûõ 4 события: B = f?; ; f0g; f1gg; îäíî èç íèõ ?, ïðî-

изойти не может, однако считается возможным с нулевой вероятностью; событие происходит в любом случае; вероятностная мера:

p1 =	P(f0pg) = p2 p= 1=2, если монета симметрична, либо любые
числа	p1;			2 = 1	1.
Это вероятностное						пространство смело можно назвать самым
главным или основным. Из него можно получить все остальные
вероятностные пространства посредством операций над простран-
ствами с мерами.
2) Испытание с конечным множеством исходов.
Через 2				= f!1; : : : ; !ng; B = 2 ; P(f!kg) = pk
			обозначено множество всех подмножеств множества . Ес-

ëè A = f!k1; : : : ; !kmg 2 B, òî P(A) = pk1 + + pkm, в частности

P( ) = p1 + + pn = 1.

Классическое определение вероятности ограничивает рассмотрение вероятностных пространств одним типом: конечное

множество исходов, #( ) = n, и все вероятности pk этих исходов одинаковы: pk = 1=n. Тогда вероятность любого события может быть вычислена по формуле P(A) = mn = #(#(A)).

3) Счетное множество исходов в испытании.

= f!1; !2; : : : g; B = 2 ; P(f!kg) = pk; p1 + p2 + = 1

4) Непрерывное пространство исходов. подмножество прямой, плоскости или пространства, B измеримые его подмножества,