Математика_Семестр1_РГР_Матан_4-6

2.

y

2

arctg x.

3.

y 3

7x

, если

y xy

2

y

.

1 x

3x 1

3 1 x

Вариант 20.

1.

y

x3

3x 2

,

y

ln

1

tgln 3x 1 ,

y

cos3 2x 7

,

y

log

ctg

2x 1

,

x

x2 3

7sin 1 5x

1

x2 5

2

3

4

4

1 x

x

3

1

3

1 3x

2

y5

arccos

arcsin

y6

sin3x x2 3 ,

y7

ln

15

y8

ln3x

,

,

5x

2

2

7x 2

2 7x 4

x

x 5

5x

2.

y 4x 3 e 3x .

3.

y

2

1, если 1 y2

xyy 0.

x2

Вариант 21.

6x 3

2x 1

x2

x

x

sin

1.

y

,

y

2

arctg

tg

1 ,

y

,

y

ln 3

1 2x

,

3

2

4

1

x

2

2

3

5tg

7x

1 3x

arcsin 3x2 8 arctg

1

cosx 5

, y7

2log3 1 7x

sin2x .

y5

,

y6

x

,

y8

4x3

7

3 2x

ctg 2x 3

ln

3 x

1 e

x

2

2.

y

.

3.

y

ln

1 , если 1 ex yy ex .

x 2

2

Вариант 22.

x3

4x2 1

cos3 3x 1

1.

y1

, y2

x2arccos3

x ln x

1 x2

,

y3

, y4 log62 x sin2x ,

2sin4x

3

1 x

2

7x 3

1

ctg3x

3xarcsin 2x 1

cos3x

y

arctg

arccos

,

y

y

y

2x

3x

,

,

7

5

2x 1

6

e

2x

8

2x

2.

y

1

sin2x.

3.

y 2 x 1 2x , если

y

xy

2

2

y

1 x

x

Вариант 23.

x2 2

tg43x

1

1.

y1

, y2

3

1 sin2x ln x

1 3x ,

y3

,

y4

log

2 arcsin

,

x3

4x2

3

4cos 1 7x

5x

1 x2

16x

x3 2 sin4x ,

x3 2x 57 2x ,

ctg7x

y5

arccos

e3x ,

y6

y7 3

y8

2x

1 3x

2x 3

y x2 ln 3 x .

y e

tg

x

y sinx yln y

2.

3.

2

, если

Вариант 24.

y1

3x2 2x 1

y3

cos2 7x

ln e

,

1.

, y2

x

2

arctg

3

1 x

2

sin

3

2x

,

,

y4

2x

1 e

3x

5

3sin 2x 1

2 3x

x

2

3x

ln

4x 1

,

y5

arccos

arctg

, y6

arcsinx x2 3 ,

y7

3

2x2 1

y8

xsinx x2

2x

4 x2

xctg3x

1 x2

x

y

x2

y2

2.

y e2 sin2x.

3.

y

x2 3x , если

2xy

Вариант 25.

21

1.

y

1 x5

1 x6

,

y

arcsin2

1

, y

ln

ln2x

,

y

ctg2 3x 2

,

1

4x2 2

2

1 2x3

3

cos

3

4

4tg7x

x

arccos 3x2 2

2x 3

4

y8 x2

3x

cos 4x 1

x

y5

arcctg3 1-7x log3

, y6

sin2x

,

y7

,

4 x

e

2x

2.

y 5x 8 31 x2 .

3.

y

1

, если

y 3y2 .

3x 5

Вариант 26.

x3 2x2

y2 3xln x

cos2 3x,

2sin3 5x

y1

y3

,

y4 log3 4

1 2x

,

1.

,

x2 8

4

2 3x x

lntgx

8 x

y5

2 x5

arctg2

1

. y6

arccos2x x2

,

y7

x2 2

1

5

, y8

x5 3x tg2x

7

x

1 x2

2 3 sin2 x

x

y e 2x cos3x.

yy x 2x3 .

2.

3.

y x

1 x2

, если

Вариант 27.

ctg2

3x 1

x

4 x

2

1.

y

,

y

arctg2 cosx coslnsinx,

y

,

y

log

2 3x 2cos3x ,

4cos 1 x

1

x5 3x 2

2

3

4

5

arccos 3x

2

5

y5

x3 3x2 1 arctg3

1 3x

, y6

y7 1 2x

ctg3x

, y8 cos3x

1

,

.

x2

2x 1

5sin 2x 1

2. y

ln3x

.

3.

y 5e 2x

ex

, если

y 2y ex .

x2 3

3

Вариант 28.

1.	y		x2	8x 1				, y
									2
	1		x			x3 8
y5				tg2x ctgx
	arctg
						4x		2
2.	y 2xcos 3x 1 .

x3 2

arccos

3x2

, y6 x2 3x

2

1

, y3

sin

3x

y4 ln arcsin

1 e 5x ,

lnln

,

x

7cos 2x 3

ctg2x ,

y7

27x2 1

3 1 4x2

, y8 sin4x x3 2

log4 2x 1

3. y x 3 ln x , если

x y

y .

x

Вариант 29.

13

1 x

1

log3 x 2

,

1

sin2 4x 1

1.

y1

,

y2

x2 arccos

x2

1

y3

,

y4

lnarcsin

1 e x ,

2

3x 2

x

5x

3

cos7x

1 2x

x2

2x

2

cosx

y5

arcctg3

,

y6

tg4x

, y7

x

3

5

3

x

2

1 3ln x

5 1 x

,

y8

sin3x

.

3x 4

2.

y xln 1 3x .

3.

y

sinx

, если

xy y cosx.

x

Вариант 30.

x 2

1 x2

cos3 3x

1 2x

1.

y1

,

y2 arcsine

2x

ln e

x

3

e

2x

1 ,

y3

, y4 log5 sin

, 2.

2x3

2ctg 4x 3

3 4x

2

3x 2

x

x y

y 1 x

2x

e

.

3.

y ln

7 e

, если

y

e

22

1

x2 3x 1

3x

ctg2x

3xarcsin 5x 1

1 x2

y6

x 2

y5

ln

tg

,

,

y7

,

y8

cos3x

5

2

e

6x

1 x3

1 x

5.2. Полное исследование функции и построение графика (приложение 6)

Вариант

Вариант

Вариант

x

2 4

4x 3

2

2x

2

x

1.

y

,

y xln2x

2.

y

,

y

x

e

3.

y

,

y 3ln

1

x3

x2

x2

x2 2x

x 3

4 x3

ln3x

2x3

1

x2

y

y

x

2

ln3x

4.

y

,

5.

y

,

y 2xe 2

6.

y

,

x2

x

x

9 x2

1

2

y

2x

2x3

1

e2x 1

4x

, y

3 e

2 x 1

7.

y

1

,

8. y

,

y

9. y

2x

x

lnx

x

2

x

1

2

x

x

2

x 1

3x

4

1

ln

x 1

8

x 1

10.

y

,

y xln2 x

11.

y

,

y

12.

y

,

y 3 x ex 2

x 1

x3

x 1 2

x 1 2

13.

y

x 1 2

, y 2xlnx

14.

y

4

,

y 2xe x2

15.

y

x3

,

y

ln2x

x2

x 1 2

x2

x2 2x 3

16.

y

x3

4

,

y

e2 x

17.

y

2x2

1

,

y x

lnx

18.

y

x2

,

y x2e x2

x2

2 x

x3

x

x2 1

19.

y

3x 2

,

y x 2 e3 x

20.

y

2

,

y 3 3ln

x

21.

y

1 2x3

,

y 2x 1 e2x 1

x3

x

4 1

x 4

x2

22.

y

x2

3x 3

,

y

x

23.

y

x 1 2

,

y

ln x 3

24.

y

x 3 2

,

y x 1 2 e x

x 1

ln2x

x2

x 3

2x 2

3

e

x

2

ln2

x 1

2

2

3x

x 8

x 1

25.

y

,

y

26.

y

,

y

27.

y 1

,

y

2

2

x

x 1

1 x

x 1

x

ln2x

28.

y

8x

,

y x 1 e 3x

29.

y

x2

4x 1

, y 2xln3x30. y

x2

,

y 2x 1 e2 1 x

x2 4

x 4

x3 1

6.Программа по математическому анализу за первый семестр (приложение 7)

1.Числовая последовательность (ч.п.) и ее предел.

2.Теоремы о пределах ч.п..

3.Бесконечно малые и бесконечно большие ч.п. и их свойства.

4.Теорема о связи между ч.п. и ее пределом.

5.Монотонные ч.п.. Число е.

6.Правила предельного перехода: предел суммы, произведения, частного.

7.Правила предельного перехода: предельный переход в неравенствах, предел промежуточной последовательности.

8.Определение предела функции по Коши и Гейне.

9.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

10.Теоремы о пределах функции.

11.Правила предельного перехода в равенствах и неравенствах.

12.Первый и второй замечательные пределы.

13.Сравнение бесконечно малых.

14.Эквивалентные бесконечно малые, таблица основных эквивалентностей.

15.Два определения непрерывности функции в точке.

16.Арифметические операции над непрерывными функциями.

17.Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства.

18.Производная, ее геометрический и механический смысл.

19.Уравнения касательной и нормали к графику функции.

20.Непрерывность функции, имеющей производную.

21.Производная суммы, произведения, частного, сложной функции.

22.Производная обратной функции.

23

23.Дифференцируемая функция и дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

24.Свойство инвариантности формы первого дифференциала.

25.Производная параметрически заданной функции.

26.Производные и дифференциалы высших порядков.

27.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

28.Правило Лопиталя.

29.Формула Тейлора. Таблица основных разложений.

30.Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

31.Достаточные условия экстремума функции.

32.Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке.

33.Выпуклость и вогнутость графика функции.

34.Точки перегиба графика функции.

35.Асимптоты графика функции.

36.Функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня.

37.Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

38.Частные производные первого и высших порядков.

39.Дифференциал первого и высших порядков.

40.Производная сложной функции, неявно заданной функции.

41.Формула Тейлора.

42.Производная по направлению и градиент.

43.Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

44.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие, достаточные условия экстремума.

45.Наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции в замкнутой ограниченной области.

46.Условный экстремум.

СОДЕРЖАНИЕ.
1. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ»
(приложение 1)	2

2. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ» (приложение 2) 10

3.РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
ПО ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА» (приложение 3)	13
4. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ» (приложение 4)	15
5. Дополнительные варианты	17
5.1. Задачи на вычисление производной (приложение 5)	17
5.2. Полное исследование функции и построение графика (приложение 6)	23
6. Программа по математическому анализу за первый семестр (приложение 7)	23

24