konspect_2010

Ad m

Алгоритм методу одномірного шкалювання

N

1

Обчислюють матрицю

P A j

/ N ,

де A j – ранжировка, дана

j 1

j -м експертом. Елемент

pij

матриці

P

інтерпретують

як

імовірність

переваги i -го об'єкта j -му.

2

Знаходять Z ij

по формулі

Zij

1

G(Zij ) pij

e t

2

/ 2 dt

(116)

2

з використанням таблиць нормального розподілу, виходячи з

відомих

pij . Величина Z ij

виміряється в одиницях стандартного

відхилення.

3

Формують матрицю

Z (Zij ) .

Підраховують суму

оцінок

n

Z i Z ij

і середнє значення Zi

Zi

/ n . Величину Z i

приймають за шукану

j 1

оцінку об'єкта Ai (i 1, n) .

4

Визначають

величини

Pi G(Zi )

по

формулі

(116),

що

нормують по формулі:

n

Pi* Pi

/

Pj

;

j 1

P*

називають показниками відносної важливості об'єкта.

i

5

Здійснюють

перевірку

на

несуперечність.

Для

цього

по

і обчислюють різниці ij

( k

формулі

(1) знаходять

pij

G(Zi

Z j )

–

кількість) між отриманими значеннями

і вихідними

pij .

Визначають

pij

середнє відхилення:

n

ij / k ;

i , j 1 i j

якщо воно мало, то це свідчить про несуперечності отриманих експертних ранжировок.

Приклад реалізації алгоритму

Дано матрицю результатів оцінювання m параметрів інформаційної системи d експертами – . Оцінити відносну важливість параметрів

інформаційної системи, використовуючи одномірне шкалювання як метод обробки експертної інформації.

Матриця результатів опитування має вигляд:

	1	2	3	4
A	2	3	1	4 .
d m	1	4	2	3
	4	2	1	3

100

Рішення. Обчислюється матриця A , де A j – ранжировка, дана j -м експертом. Матриця квадратна, її розмірність відповідає кількості параметрів.

Таблиця 21 – Матриця А

	1		2		3	4
1		0		3	2	3
2		1		0	1	3
3		2		3	0	4
4		1		1	0	0

Будується матриця імовірностей переваги кожного параметра

інформаційної системи		експертами: pij			–	імовірність переваги i -го
параметра j -му.
Таблиця 22– Матриця Р
		1	2		3		4
	1	0	0,75			0,5	0,75
	2	0,25	0		0,25		0,75
	3	0,5	0,75			0	1
	4	0,25	0,25			0	0
Далі по формулі 1		будується матриця				Z ,	використовуючи таблиці

функції зворотної функції нормального розподілу. Підраховується сума

		n
оцінок Z i Z ij і середнє значення							Zi	Zi / n .
		j 1
Таблиця 23 – Матриця Z
										Zi
			1	2		3			4			Z i
	1		0	0,67449		0			0,67449	1,34898	0,337245
	2		-0,67449	0		-0,67449			0,67449	-0,67449	-0,16862
	3		0	0,67449		0			3,174	3,84849	0,962123
	4		-0,67449	-0,67449		-3,174			0	-4,52298	-1,13075

Визначаються величини Pi								G(Zi ) по формулі (116), що нормують по
		n
формулі Pi*	Pi	/	Pj	:
		j 1
Таблиця 24 – Відносна важливість параметрів
													Pi*
					Parametr					Pi
					1				0,632				0,311945
					2				0,433				0,213722
					3				0,832				0,410661
					4				0,129				0,063672
					Summa				2,026				1

101

Далі здійснюється перевірка на несуперечність оцінок експертів. Для

цього по формулі 116 знаходяться значення												pij G(Zi Z j ) й обчислюють
різниці ij ( k – кількість разностей)
										між отриманими значеннями pij і
вихідними pij :
Таблиця 25 – Різниці і відхилення
										Pij		ij				ij
		Z i Z j						Pij
	Z1-Z2			0,505868			0,694			0,75	-0,056				0,056
	Z1-Z3			-0,62488			0,266			0,5	-0,234				0,234
	Z1-Z4			1,46799			0,929			0,75	0,179				0,179
	Z2-Z3			-1,13075			0,129			0,25	-0,121				0,121
	Z2-Z4			0,962123			0,832			0,75	0,082				0,082
	Z3-Z4			2,092868			0,982			1	-0,018				0,018

n

Визначають середнє відхилення по формулі ij / k 0.115 . Тому що

i, j 1 i j

11,5%<20%, оцінки, дані експертами можуть бути використані для ухвалення рішення про важливість параметрів інформаційної системи: найбільш важливим є третій параметр, найменш – четвертий.

Приклад програмного модуля

Рисунок 15 – Вихідні дані

102

Рисунок 16 – Ранжування матриці А

Рисунок 17 – Таблиця ймовірностей

103

Рисунок 18 – Матриця Z

Рисунок 19 – Результат роботи

104

2.2. Лабораторна робота 2. Прийняття рішень на основі теорії корисності

Завдання 2.1. Інженер вибирає оптимальний технологічний процес випуску нової продукції на великому підприємстві. Розмір умовного виграшу, що підприємство може одержати, залежить від сприятливого або несприятливого стану середовища (табл. 26).

Таблиця 26 – Вихідні дані

Номер	Дії інженера	Умовний виграш, грн.
альтернативи		успішний результат	несприятливий результат
1	технологічний процес 1	20+5*ДО	-(18+2*ДО)
2	технологічний процес 2	10+20*ДО	-(10+2*ДО)
3	технологічний процес 3	2*ДО	2*ДО

Перед ухваленням рішення керівництво повинне визначити, чи замовляти додаткове дослідження середовища чи ні (вартість послуги 2*ДО, де ДО – номер варіанта).

Можливості підприємства у вигляді умовних імовірностей сприятливості і несприятливості середовища представлені в табл. 27.

Таблиця 27– Імовірності наставання прогнозних значень

Прогноз		Фактично
	Сприятливий		Несприятливий
Сприятливий	0,85		–
Несприятливий	–		0,65

Припустимо, що фірма, якій замовили прогноз стану середовища, затверджує:

—ситуація буде сприятливої з імовірністю 0,45;

—ситуація буде несприятливої з імовірністю 0,55.

Завдання. Побудувати програмний модуль для вибору оптимальної альтернативи за допомогою дерева рішень, передбачити як максимізацію, так і мінімізацію умовного виграшу. Розрахувати цінність точної інформації без звертання за додатковою інформацією. Передбачити можливість введення вихідних даних користувачем і висновок повідомлення про вибір оптимальної альтернативи.

Завдання 2.2. Дана лотерея L(s, p(s), S) . Функція корисності має вигляд: U (x) . Визначити премію за ризик участі в лотереї і зробити відповідні висновки. Вихідні дані представлені в таблиці 28.

105

Таблиця 28 – Характеристики лотереї

№ варіанта	s	p(s)	S	U (x)			№ варіанта	s	p(s)	S	U (x)
1	29	0,5	60	ln(5 x)			16	16	0,5	72	4 6x
2	35	0,45	94	5 2x			17	8	0,65	100	ln(2x)
3	8	0,3	74	ln(10 2x)			18	1	0,4	79	x2 5
4	0	0,6	55	x 2			19	25	0,3	67	ln(2 x)
5	14	0,7	64	4 5e 2 x			20	13	0,2	57	6x 10
6	23	0,65	55	0.2x2			21	12	0,7	69
											4 x
7	9	0,55	74	6 3x			22	15	0,8	68	2e2 x 2
	42	0,35	88				23	10	0,85	80	4x 2
8					x
9	2	0,4	4	4 5e 2 x			24	40	0,75	85	e 2 x 2
10	4	0,3	5	2 4e 2 x			25	20	0,65	94	log 2 x
11	3	0,7	68	lg( x 10)			26	45	0,45	95		4x2
				2x2
12	13	0,6	91				27	7	0,55	58		x 4
13	18	0,5	87	lg( x 2)			28	38	0,35	71	log2 (x 4)
14	10	0,45	67	3 2x2			29	37	0,5	81	3e2 x 2
15	43	0,75	75	e 2 x			30	3	0,5	72	2 6x

Приклад програмної реалізації

Рисунок 20 – Вибір оптимальної альтернативи

106

Рисунок 21 – Дерево рішень

Рисунок 22 – Визначення премії за ризик

2.3 Лабораторна робота 3. Прийняття оптимального рішення на основі теорії гри

Постановка задачі. Підприємство випускає визначену продукцію партіями фіксованого розміру. Через випадкові збої у виробничому процесі можливий випуск партій з неприпустимо високим відсотком бракованої продукції. Визначають стан зовнішнього середовища: 1 – придатна партія виробів, 2 – бракована партія виробів.

Нехай браковані вироби в придатній партії складають %б( 1 ), у непридатній – %б( 2 ). Проведені на підприємстві розрахунки показують, що імовірність виробництва бракованої партії складає p( 2 ) .

107

1 , 2 , 3

Підприємство відправляє партії товарів m споживачам, для яких контрактом обумовлений можливий граничний відсоток бракованих деталей – %б-потреб-l відповідно. За один відсоток перевищення встановлених границь передбачається штраф розміром P тис.грн. З іншого боку, виробництво партії товарів більш високої якості збільшує витрати підприємства на V тис.грн. за кожен відсоток.

У результаті перевірки двох виробів з усієї партії може бути встановлено, що: 1) обоє виробів придатні; 2) один з виробів придатно; 3) обоє виробів браковані. Нехай – ці три можливі події відповідно.

Завдання. Побудувати програмний модуль, що дозволяє:

1)прийняти оптимальне рішення в умовах відсутності ризику (гарантований результат);

2)прийняти оптимальне рішення, використовуючи апріорні імовірності подій;

3)прийняти оптимальне рішення, використовуючи апостеріорні імовірності подій.

Вихідні дані представлені в таблиці 1. Відсоток браку вибирається студентом випадковим образом у заданих границях, використовуючи генератор випадкових чисел.

Передбачити можливість введення кількості альтернатив (покупців), яке здається користувачем, величин відсотка бракованої продукції й імовірностей перебування зовнішнього середовища в одному зі своїх станів.

Програма повинна видавати повідомлення про вибір оптимальної альтернативи в кожнім конкретному випадку (при використанні різної інформації і при зазначених результатах контрольної перевірки деталей), а також критерій, за допомогою якого приймалося рішення.

Таблиця 29 – Вихідні дані

		Відсоток браку щодо								Кількість
	№	вимог покупця %б-
					%б( 1 )	%б( 2 )	p( 2 )	P	V	покупців
	варіанта		потреб-l
										l 1..m
		min		max
	1	5		8	4	13	0,2	100	80	2
	2	6		10	5	15	0,3	120	100	3
	3	4		10	3	16	0,15	130	110	4
	4	5		9	4	12	0,25	115	95	5
	5	6		9	5	13	0,3	125	105	2
	6	4		10	3	14	0,2	145	125	5
	7	5		11	4	15	0,2	140	120	4
	8	6		11	5	15	0,15	135	115	3
	9	4		9	3	14	0,25	130	110	6
	10	5		10	4	12	0,2	125	105	6
	11	5		9	4	13	0,15	120	95	5
	12	6		10	5	15	0,3	115	100	4

108

Продовження табл. 29

	Відсоток браку щодо
№	вимог покупця %б-			%б( 1 )	%б(	2 )	p( 2 )	P	V	Кількість покупців
варіанта		потреб-l								l 1..m
	min		max
13	6		11	5	16		0,2	110	80	5
14	4		8	3	15		0,15	110	85	4
15	4		9	3	16		0,1	105	75	3
16	5		9	4	14		025	100	80	2
17	6		10	5	14		0,25	105	85	2
18	4		7	3	13		0,3	115	90	4
19	4		9	3	16		0,2	120	100	3
20	6		10	5	15		0,2	125	95	4
21	5		10	4	14		0,15	125	100	5
22	6		11	5	16		0,15	130	100	2
23	6		9	5	15		0,3	115	80	3
24	4		10	3	16		0,25	105	70	3
25	5		11	4	16		0,3	110	85	5

Приклад реалізації алгоритму

Підприємство випускає визначену продукцію партіями фіксованого розміру. Через випадкові збої у виробничому процесі можливий випуск партій з неприпустимо високим відсотком бракованої продукції. Визначають стан економічного середовища: 1 – придатна партія виробів2 – бракована партія виробів. Нехай браковані вироби в придатній партії складають 4%( 1 ), у непридатної – 15%( 2 ). Проведені на підприємстві розрахунки показують, що імовірність виробництва бракованої партії дорівнює p( 2 ) =0,2.

Підприємство відправляє партії товарів m =2 споживачам, для яких контрактом обумовлений можливий граничний відсоток бракованих деталей: 5% і 8% відповідно. За один відсоток перевищення встановлених меж передбачається штраф розміром P =100 тис. рн.. З іншого боку, виробництво партії товарів вищої якості збільшує витрати підприємства на V =80 тис. рн.. за кожен відсоток.

У результаті перевірки двох виробів із усієї партії може бути встановлено, що: 1) обоє виробів придатні; 2) один з виробів бракований; 3) обоє виробів браковані. Нехай 1 , 2 , 3 – три можливі події відповідно.

Прийняти оптимальне рішення: 1) в умовах гарантованого результату; 2) використовуючи апріорні імовірності; 3) використовуючи апостеріорні імовірності подій.

Рішення. Функціонал оцінювання доцільно представити у вигляді матриці витрат F f (xk , j ) . Рішення допускає, що споживач А прийме

партію продукції (5% браку без штрафу). Якщо партія має 4% браку ( 1 ),

то виробник понесе збитки (5 4) 80 80 тис.	рн.. Але, якщо	партія
товарів має 15% браку ( 2 ), то штраф складе	(15 5) 100 1000 тис.	рн..

109