Kollokvium

Найдем работу на замкнутой траектории 1 3 2 1:

Поле, работа сил которого не зависит от формы траектории и на замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным.

Потенциал

Из механики известно, что работа консервативных сил связана с изменением потенциальной энергии. Система "заряд — электростатическое поле" обладает потенциальной энергией (энергией электростатического взаимодействия). Поэтому, если не учитывать взаимодействие заряда с гравитационным полем и окружающей средой, то работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле, равна изменению потенциальной энергии заряда, взятому с противоположным знаком:

Если Wp2 = 0, то в каждой точке электростатического поля потенциальная энергия заряда q0 равна работе, которая была бы совершена при перемещении заряда q0 из данной точки в точку с нулевой энергией.

Пусть электростатическое поле создано в некоторой области пространства положительным зарядом q (рис. 1).

Рис. 1

Будем помещать в точку М этого поля различные пробные положительные заряды q0.

Потенциальная энергия их различна, но отношение для данной точки поля и служит характеристикой поля, называемой потенциалом поля в данной точке:

Единицей потенциала в СИ является вольт (В) или джоуль на кулон (Дж/Кл).

Потенциалом электростатического поля в данной точке называют скалярную физическую величину, характеризующую энергетическое состояние поля в данной точке пространства и численно равную отношению потенциальной энергии, которой обладает пробный положительный заряд, помещенный в эту точку, к значению заряда.

Потенциал — это энергетическая характеристика поля в отличие от напряженности поля, являющейся силовой характеристикой поля.

Необходимо отметить, что потенциальная энергия заряда в данной точке поля, а значит, и потенциал зависят от выбора нулевой точки. Нулевой эта точка называется потому, что потенциальную энергию (соответственно потенциал) заряда, помещенного в эту точку поля, уславливаются считать равной нулю.

Нулевой уровень потенциальной энергии выбирается произвольно, поэтому потенциал можно определить только с точностью до некоторой постоянной, значение которой зависит от того, в какой точке пространства выбрано его нулевое значение.

В технике принято считать нулевой точкой любую заземленную точку, т.е. соединенную проводником с землей. В физике за начало отсчета потенциальной энергии (и потенциала) принимается любая точка, бесконечно удаленная от зарядов, создающих поле. Если

нулевая точка выбрана, то потенциальная энергия (соответственно и потенциал в данной точке) заряда q0 становится определенной величиной.

На расстоянии r от точечного заряда q, создающего поле, потенциал определяется формулой

При указанном выше выборе нулевой точки потенциал в любой точке поля, создаваемого положительным зарядом q, положителен, а поля, создаваемого отрицательным зарядом, отрицателен:

По этой формуле можно рассчитывать потенциал поля, образованного равномерно заряженной проводящей сферой радиусом R в точках, находящихся на поверхности сферы и вне ее. Внутри сферы потенциал такой же, как и на поверхности, т.е.

Если электростатическое поле создается системой зарядов, то имеет место принцип суперпозиции: потенциал в любой точке такого поля равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности:

Зная потенциал поля в данной точке, можно рассчитать потенциальную энергию заряда q0 помещенного в эту точку: Wp1 = q0. Если положить, что Wp2 = 0, то из уравнения (1) будем иметь

Потенциальная энергия заряда q0 в данной точке поля будет равна работе сил электростатического поля по перемещению заряда q0 из данной точки в нулевую. Из последней формулы имеем

Потенциал поля в данной точке численно равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в нулевую (в бесконечность).

Потенциальная энергия заряда q0 помещенного в электростатическое поле точечного заряда q на расстоянии r от него,

Если q и q0 — одноименные заряды, то		, если q и q0 — разные по знаку заряды,
то	.

Отметим еще раз, что по этой формуле можно рассчитать потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов, если за нулевое значение Wp выбрано ее значение при r = бесконечности.

Если электростатическое поле образовано системой n точечных электрических зарядов, то потенциальная энергия системы определяется по формуле

где — потенциал поля, созданного всеми зарядами, кроме заряда qi, в той точке поля, где находится заряд qi.

Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L

(13.18)

Так как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю.

3. Связь между потенциалами и напряженностью для эл поля эквипотенциальной поверхности. Проводники в эл поле. Электроемкость проводника.

Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности.

Как ранее показано, работа сил электростатического поля при перемещении заряда

q0 может быть записана с одной стороны, как , с другой же - как

убыль потенциальной энергии, т.е. . Здесь dr - есть проекция элементарного перемещения dl заряда на направление силовой

линии , - есть малая разность потенциалов двух близко расположенных точек поля. Приравняем правые части равенств и сократим на q0 . Получаем соотношения

,	. Отсюда	.

Эквипотенциальные поверхности (сплошные) и силовые линии (пунктирные) поля точечного положительного заряда.

Последнее соотношение представляет связь основных характеристик электростатического

поля Е и j. Здесь - быстрота изменения потенциала в направлении силовой линии.

Знак минус указывает на то, что вектор направлен в сторону убывания потенциала.

Поскольку , можно записать проекции вектора на координатные

оси:	. Отсюда следует,

что . Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом скаляра j и обозначается как gradj. Напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с

обратным знаком .

.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, потенциал всех

точек которых одинаков. Потенциал поля одиночного точечного заряда . Эквипотенциальные поверхности в данном случае есть концентрические сферы с центром

вточке расположения заряда q (рис.1.13). Эквипотенциальных поверхностей можно провести бесконечное множество, однако принято чертить их с густотой, пропорциональной величине Е.

Проводник в электрическом поле: Вещество или материальное тело, в котором имеются заряды, способные переносить электрический ток, называется проводником. В металлах переносчиками тока служат свободные (т.е. не привязанные к атомам) электроны, в электролитах — ионы, в плазме — и электроны, и ионы. Для электростатических явлений поле внутри проводника равно нулю:

E→in ≡ 0 .

Механизм исчезновения электрического поля в проводниках связан со смещением свободных зарядов ровно настолько, чтобы как раз компенсировать внешнее электрическое поле, если таковое имеется. При изменении внешнего поля свободные заряды в проводнике перераспределяются, а в момент перераспределения в проводнике течет ток.

Электроемкость проводников:

Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Если проводнику, уже несущему заряд q , сообщить еще заряд той же величины, то второй заряд должен распределиться по проводнику точно также, как и первый, в противном случае он создает

впроводнике поле, не равное нулю. Таким образом, различные по величине заряды распределяются на удаленном от других тел (уединенном) проводнике подобным образом, т.е. отношение плотностей заряда в двух произвольных точках поверхности проводника при любой величине заряда будет одно и то же.

Отсюда вытекает, что потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду. Действительно, увеличение в некоторое число раз заряда приводит к увеличению в тоже число раз напряженности поля в каждой точке окружающего проводника пространства, т.е.

Вводя соответствующий коэффициент пропорциональности, запишем или

где С - называется электроемкостью.

Таким образом, электроемкость уединенного проводника есть физическая величина численно равная величине заряда, который необходимо сообщить данному проводнику для увеличения его потенциала на единицу. В СИ единицей емкости является Фарад (Ф).

4.Конденсаторы. Энергия заряженного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля

Конденсаторы Заряд и разряд конденсатора. Конденсатор представляет собой устройство, способное

накапливать электрические заряды. Простейшим конденсатором являются две металлические пластины (электроды), разделенные каким-либо диэлектриком. Конденсатор 2 можно зарядить, если соединить его электроды с источником 1 электрической энергии постоянного тока (рис. 181, а).

Емкость конденсатора. Свойство конденсатора накапливать и удерживать электрические заряды характеризуется его емкостью. Чем больше емкость конденсатора, тем больше накопленный им заряд, так же как с увеличением вместимости сосуда или газового баллона увеличивается объем жидкости или газа в нем.

Емкость С конденсатора определяется как отношение заряда q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его электродами (приложенному напряжению)U:

C = q / U (69)

Емкость конденсатора измеряется в фарадах (Ф). Емкостью в 1 Ф обладает конденсатор, у которого при сообщении заряда

1 Кл разность потенциалов возрастает на 1 В. В практике преимущественно пользуются

более мелкими единицами: микрофарадой (1 мкФ=10-6 Ф), пикофарадой (1 пФ = 10- 12 мкФ).

Емкость конденсатора зависит от формы и размеров его электродов, их взаимного расположения и свойств диэлектрика, разделяющего электроды. Различают плоские конденсаторы, электродами которых служат плоские параллельные пластины (рис. 182, а), и цилиндрические (рис. 182,б).

Устройство конденсаторов и их применение в технике. В зависимости от применяемого диэлектрика конденсаторы бывают бумажными, слюдяными, воздушными (рис. 184). Используя в качестве диэлектрика вместо воздуха слюду, бумагу, керамику и другие материалы с высокой диэлектрической проницаемостью, удается при тех же размерах конденсатора увеличить в несколько раз его емкость. Для того чтобы увеличить площади электродов конденсатора, его делают обычно многослойным.

Способы соединения конденсаторов. Конденсаторы можно соединять последовательно и параллельно. При последовательном

Рис. 187. Последовательное (а) и параллельное

(б) соединения конденсаторов

Рис. 188. Схема подключения цепи R-C к источнику постоянного тока (а) и кпивые тока и напряжения при переходном процессе (б) кривые

Рис. 189. Схема разряда емкости С на резистор R (а) и кривые тока и напряжения при переходном процессе (б)

Рис. 190. Кривая пилообразного напряжения

соединении нескольких (например, трех), конденсаторов (рис. 187, а) эквивалентная емкость

1 /Cэк = 1 /C1 + 1 /C2 + 1 /C3

эквивалентное емкостное сопротивление

XCэк= XC1 + XC2 + XC3

результирующее емкостное сопротивление

Cэк = C1 + C2 + C3

При параллельном соединении конденсаторов (рис. 187,б) их результирующая емкость

1 /XCэк = 1 /XC1 + 1 /XC2 + 1 /XC3

Включение и отключение цепей постоянного тока с конденсатором. При подключении цепи R-C к источнику постоянного тока и при разряде конденсатора на резистор также возникает переходный процесс с апериодическим изменением тока i и напряжения uc При подключении к источнику постоянного тока цепи R-C выключателем В1 (рис. 188,а) происходит заряд конденсатора. В начальный момент зарядный ток Iнач=U /R. Но по мере накопления зарядов на электродах конденсатора напряжение его и с будет возрастать, а ток уменьшаться (рис. 188,б). Если сопротивление R мало, то в начальный момент подключения конденсатора возникает большой скачок тока, значительно превышающий номинальный ток данной цепи. При разряде конденсатора на резистор R (размыкается выключатель В1 на рис. 189, а) напряжение на конденсаторе uс и ток i постепенно уменьшаются до нуля (рис. 189,б).

Скорость изменения тока i и напряжения ис при переходном процессе отделяется постоянной времени

T = RC

Чем больше R и С, тем медленнее происходит заряд конденсатора.

Энергия заряженного уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник, заряд, потенциал и емкость которого соответственно равны Q, φ и С. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, при этом затратив на это работу, которая равна

");?>" alt="элементарная работа сил электрического поля заряженного проводника">

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до φ, нужно совершить работу

(2)

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

(3)

Формулу (3) можно также получить и условия, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Если φ -

потенциал проводника, то из (1) найдем

где Q=∑Qi - заряд проводника.

Энергия заряженного конденсатора

Конденсатор состоит из заряженных проводников поэтому обладает энергией, которая из формулы (3) равна

(4)

где Q — заряд конденсатора, С — его емкость, Δφ — разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Используя выражение (4), будем искать механическую (пондеромоторную) силу, с

которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу. Для этого сделаем предположение, что расстояние х между пластинами изменилось на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу dA=Fdx вследствие уменьшения потенциальной энергии системы Fdx = — dW, откуда

(5)

Подставив в (4) выражение для емкости плоского конденсатора, получим

(6)

Продифференцировав при фиксированном значении энергии (см. (5) и (6)), получим искомую силу:

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

Энергия электростатического поля

Используем выражение (4), которое выражает энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, и спользуя выражением для емкости плоского конденсатора (C=ε0εS/d) и разности потенциалов между его обкладками (Δφ=Ed. Тогда

(7)

где V= Sd — объем конденсатора. Формула (7) говорит о том, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, — напряженность Е.

Типы диэлектриков

Можно выделить следующие типы диэлектриков, различающихся по своему строению: 1. Неполярные диэлектрики - водород, азот, парафин, бензол и др.

Молекулы неполярного диэлектрика не обладают дипольным моментом, т.к. центры положительного и отрицательного зарядов совпадают (рис. 14.1).

Потенциал j и электрическое поле Eвне таких молекул равны нулю. Во внешнем электрическом поле происходит смещение центров положительного и отрицательного зарядов, такая поляризация называется электронной. Молекула приобретает деформационный дипольный момент Pи, который обращается в нуль при снятии внешнего поля, поэтому такие диполи называются упругими.

2. Полярные диэлектрики - вода, соляная кислота и др.

Молекулы полярного диэлектрика имеют естественный дипольный момент, вследствие несимметричности строения (рис. 14.2). Молекула воды имеет V - образную форму, угол H-O-H составляет примерно 105° (рис. 14.3). Из-за наличия дипольного момента вода является хорошим растворителем. Средний дипольный момент диэлектрика равен нулю

вследствие беспорядочной ориентации. Дипольные электрические моменты ориентируются вдоль силовых линий электрического поля, поэтому такая поляризация называется ориентационной.

Рис. 14.1. Рис. 14.2.

Рис. 14.3.

3. Кристаллические диэлектрики - поваренная соль, хлорид калия и др. Кристаллы диэлектрика состоят из положительных и отрицательных ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки. Суммарный момент диэлектрика P = 0. В электрическом поле происходит смещение положительных ионов вдоль поля, а отрицательных в противоположном направлении, поэтому появляется деформационный дипольный момент, направленный вдоль внешнего электрического поля (рис. 14.4). Такая поляризация называется ионной.

Рис. 14.4.

5. Поляризация диэлектриков. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике. Диэлектрическая

проницаемость