01
.pdf
|
2 |
|
mR 2 |
|
R |
2 |
3mR 2 |
||
J z J xc m OC |
|
|
|
m |
|
|
|
|
. |
|
2 |
|
4 |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
Решение дифференциального уравнение вращательного движения диска ищется в виде:
|
|
|
C1 cos kt C2 sin kt, |
|
откуда |
C1k sin kt C2 k cos kt, . |
|
||
Воспользуемся начальными условиями t 0 ; 0 |
и 0 . |
|||
|
|
|
|
|
Найдем постоянные интегрирования |
|
|||
|
|
|
|
|
Откуда C1 |
|
и C2 |
0 0. |
|
|
|
0 |
k |
|
|
|
|
|
Уравнение движения диска
0 cos kt .
151
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ.
Задача 55 (рис. 76), (рис. 77)
При каком минимальном значении скорости тяжелый шарик пройдет высшую точку петли радиуса R , не отрываясь от нее ? Петля расположена в вертикальной плоскости.
Рисунок 76
Решение (рис. 77)
Рисунок 77
Будем считать шарик материальной положении на его траектории. Приложим к тяжести mg , нормальная реакция петли N
касательная и нормальная силы инерции.
точкой в промежуточном шарику действующие силы: и, соответственно, Ф , Фn-
152
Согласно принципу Даламбера для точки получим уравновешенную в любой момент времени систему сил
|
|
|
|
, |
|
, |
|
n) 0 . |
|
|
(mg , |
N |
|||||||
|
Ô |
Ô |
|||||||
Проектируя эту систему сил на главную нормаль Mn, получим |
|||||||||
|
mg sin N Ôn 0, |
||||||||
где Фn = mаn |
здесь an m |
V 2 |
-нормальное ускорение шарика, ( V- |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
R |
скорость шарика).
По условию задачи при 90 нормальная реакция в верхней точке петли N 0 .
N Ôn vg sin 0; |
sin sin 90 1; |
m |
V 2 |
mg 0 . |
|||
R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Скорость шарика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V Rg . |
|
|
|
Задача 56 (рис. 78), (рис. 79)
Рисунок78
Тяжелый шарик, находящийся на вершине гладкого сферического купола радиуса R , получает начальную горизонтальную скорость V0 . В
каком месте шарик покинет купол? При каком значении начальной скорости
V0 шарик оторвется от купола в верхней точке?
Решение. (рис. 79)
153
|
Приложим к шарику, находящемуся в произвольном положении на |
|||||
куполе |
силы: |
тяжести mg , |
нормальной |
реакции N , касательную |
||
Ф ma |
mV |
и нормальную Ф |
ma m |
V 2 |
силы инерции. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R
Согласно принципу Даламбера для точки получим уравновешенную в любой момент времени систему сил
(mg , N ,Ô ,Ô n) 0 .
Проектируя эту систему сил на главную нормаль Mn, получим mg cos N Ôn 0.
В момент отрыва шарика от купола нормальная реакция купола будет равна нулю:
Рисунок 79
N mg cos mV 2 0 .
R
Отсюда
V 2 Rg cos .
Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
T T0 Aek ; . |
mV 2 |
|
mV0 |
2 |
|
mgR(1 cos ) . |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
||
Из этого уравнения получим V 2 V0 |
2 |
2gR(1 cos ) . |
Искомое положение шарика, когда он покинет купол
154
cos 2 V0 2 . 3 3Rg
Отрыв шарика от купола произойдет при угле :
2 |
|
V 2 |
|
|
arccos |
|
|
0 |
. |
|
|
|||
|
|
3Rg |
|
|
3 |
|
|
||
Шарик сойдет с купола верхней точке ( 0 |
и cos 1),при начальной |
скорости:
V 2 Rg cos gR .
Итак, если V0 V gR , то шарик сойдет с купола в верхней точке.
Задача 57 (рис. 80), (рис. 81)
Однородный стержень АВ длиной l и массой m, закрепленный шарнирно на валу ОО1, вращается вокруг оси Оy с постоянной угловой скоростью ω.
Стержень удерживается под углом α к вертикали при помощи горизонтальной тяги ВД . Найти реакции шарниров А и В.
Рисунок80
Решение. (рис. 81)
155
Применим для решения задачи принцип Даламбера. Приложим к
|
|
|
|
стержню силу тяжести mg |
, составляющие реакции |
Х |
А и У А шарнира А |
вдоль осей координат, реакцию ХВ шарнира В.
Рисунок 81
Силы инерции точек стержня заменим равнодействующей нормальной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
силой инерции RФ , приложенной в точке К, причем RФ ma n m 2 |
sin ; |
||||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получена уравновешенная в любой момент времени система сил |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(mg, X |
A |
,Y |
A |
, X |
B |
, RФ ) ∞ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
an 2 |
l |
sin |
– нормальное ускорение центра масс стержня (точки С); АС = |
||||||||||
|
|||||||||||||
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СВ.
Условия мгновенного динамического равновесия стержня имеют вид:
X A X B RnФ 0;
YA mg 0;
X Bl cos RnФ ( 23 l cos ) mg (12 l sin ).
Из составленной системы уравнений, с учетом значения силы RnФ ,
последовательно находим:
156
X B 12 mgtg 13 m 2l sin ;
YA mg;
X A 12 mgtg 16 m 2l sin .
Задача 58 (рис. 82), (рис. 83)
Однородный гладкий диск массы m и радиуса r установлен между валом ОО1 и стержнем АВ, прикрепленным к нему под углом φ. Стержень и вал вращаются с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Оу (рис. 27).
Определить давление диска на стержень и вал.
Рисунок 82
Решение. (рис. 83)
Воспользуемся принципом Даламбера.
157
Рисунок83
|
|
|
|
|
|
|
Приложим к диску силу тяжести mg |
, реакцию вала NЕ |
и реакцию |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
стержня S |
Д |
, а также равнодействующую нормальную силу инерции RФ |
всех |
|||
|
|
|
|
n |
|
|
точек диска, причем |
|
|
|
|
||
|
|
RФ ma n m 2 R , |
|
|
||
|
|
n |
c |
|
|
|
где acn 2 R – нормальное ускорение центра масс диска (точки С).
Ф
Сходящаяся система сил (mg, NE , S Д , Rn ) является уравновешенной в
любой момент времени.
Составим уравнения мгновенного динамического равновесия диска
(указанной выше сходящихся системы сил):
Fkx Фkx 0; |
NE RnФ S Д cos 0; |
Fky Фky 0; |
mg S Д sin 0 . |
Из этой системы уравнений с учетом значения силы RnФ находим:
S |
|
|
mg |
; |
N |
|
|
mg cos |
m 2 R . |
|
Д |
sin |
E |
sin |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Давление диска на стержень и вал в точках В и Д равны
соответствующим реакциям стержня и вала
158
QД S Д ; |
PE NE . |
Задача 59 (рис. 84), (рис. 85)
Груз массой m поднимается на тросе, навитом на барабан с горизонтальной осью вращения. Определить ускорение груза. Масса барабана равна m ; барабан считать однородным цилиндром. Трением в подшипниках вала барабана, массами вала и троса пренебречь.
Рисунок 84
Решение. (рис. 85)
Для решения использetv общее уравнение динамики.
Принимаем, что ускорение груза равно a , а его возможное перемещение
s . Тогда угловое ускорение барабана Ra , а его возможное угловое перемещение Rs .
159
Рисунок 85
Кгрузу и барабану приложим силы веса mg и m1g , силу инерции груза
Фma и момент сил инерции:
M ф J |
mR 2 |
|
a |
|
mRa |
. |
|
|
|
|
|||
о |
2 |
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
Из общего уравнения динамики, получим
( mg Ф ) s M оф 0
или после преобразований получим
a |
2mg |
. |
|
|
|||
m1 2m |
|||
|
|
Задача 60 (рис. 86), (рис. 87)
Три одинаковых ролика массой m1 и радиусом r каждый перемещают горизонтальную плиту массой m . Ко всем роликам приложены равные вращающие моменты M . Определить ускорение плиты при условии, что она движется по роликам без проскальзывания. Ролики считать сплошными однородными цилиндрами.
160