Mat_Analiz_Prokhorov

удовлетворяющую условиям:

1.bn+1 an+1 = (bn an)/2, n 1;

2.на концах каждого из отрезков функция g принимает значения разных знаков.

Поскольку

b	a	n 1	b1 a1	0 при n ,
n 1			2n

то по лемме о вложенных отрезках существует точка c [a1, b1] такая, что c = limn an = limn bn.

По созданному алгоритму функция g принимает отрицательные значения в точках an и положительные значения в точках bn. Функция g, непрерывная на [a, b], непрерывна и в точке c [a, b]. По определению Гейне обе последовательности

g(a1), g(a2), ..., g(an), ... и g(b1), g(b2), ..., g(bn), ...

сходятся к g(c).

Переходя к пределу при n в неравенстве g(an) < 0

приходим к неравенству g(c) 0.

Аналогично переходя к пределу при n в неравенстве g(bn) > 0

приходим к неравенству g(c) 0.

Два полученных неравенства приводят к равенству g(c) = 0 и доказывают теорему 1.

Теорема 1 может быть переформулирована иначе: если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она отображает [a, b] на отрезок [m, M].

141

Рис. 3. Иллюстрация к теореме Коши о промежуточном значении По существу теорема 1 гарантирует разрешимость уравнения

f(x) = 0

на отрезке [a, b] при условии, что f(a) и f(b) имеют разные знаки. И вновь доказательство предлагает больше информации, чем написано в формулировке. В нем дается вычислительный алгоритм поиска решения - так называемый метод деления отрезка пополам.

2. Непрерывность обратной функции

Докажем теорему существования и непрерывности обратной функции.

Теорема 2. Пусть функция f строго монотонна и непрерывна на отрезке [a, b] и отображает его на отрезок [m, M]. Тогда на отрезке [m, M] существует обратная функция f 1, которая непрерывна на [m, M].

142

Доказательство. Пусть функция f строго возрастает на [a, b]. В случае убывающей функции рассуждения симметричны. Начнем с доказательства существования обратной функции.

Если x1, x2 [a, b], x1 x2, то f(x1) f(x2). Следовательно, f осуществляет взаимно однозначное отображение [a, b] на [m, M] и поэтому имеет обратное отображение f 1.

Теперь покажем, что f 1 непрерывна на [m, M]. Пусть y0 [m, M]. Тогда существует точка x0 [a, b] такая, что f(x0) = y0, то есть y0 = f 1(x0). Предположим, что y0 не совпадает с m или M, а значит x0 не совпадает с a или b. Существует > 0 такое, что [x0 , x0 + ][a, b]. Обозначим

f(x0 ) = y1, f(x0 + ) = y2.

Функция f взаимно однозначно отображает отрезок [x0 , x0 + ] на [y1, y2], а f 1 взаимно однозначно отображает отрезок [y1, y2] на [x0 , x0 + ].

143

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству теоремы существования и непрерывности обратной функции

Обозначим
min {y0 y1, y2 y0} = ,	> 0.

Функция f 1 отображает интервал (y0 , y0 + ) в интервал (x0 , x0 + ). Этот факт выразим логически

> 0 > 0 y [m, M] y y0 < f 1(y) f 1(y0) < , что доказывает непрерывность функции f 1 в точке y0.

Если y0 совпадает с m или M, то x0 совпадает с a или b. Мы повторим предыдущие рассуждения, заменив отрезок [x0 , x0 + ] на [a, a + ] или [b , b]. Теорема 2 доказана.

3. Дифференцируемые функции и производная

В программе средней школы определение дифференцируемой в точке x0 функции f, определенной в -окрестности точки x0, сводится к существованию производной, которая равна пределу

(1)	lim	f (x) f (x0 )	f '(x0 ).
	x x0	x x0

Не отвергая этого определения, придадим ему иную форму, пригодную для широких обобщений. Обозначим

(2)	f '(x0 ) A,	f (x) f (x0 )	A (x).
		x x0

Функция определена в -окрестности точки x0, за исключением самой точки x0. Формула (1) эквивалентна limx x0 (x) = 0.

Другими словами, функция бесконечно мала при x x0. Выражая f(x) из (2), найдем

(3) f(x) = f(x0) + A(x x0) + (x)(x x0).

144

Поскольку все проделанные преобразования обратимы, то формулы (1) и (3) равносильны. Таким образом, дадим определение дифференцируемой функции и ее производной в форме, равносильной данному в программе средней школы.

Определение 1. Пусть функция f определена в -окрестности точки x0. Функция f называется дифференцируемой в точке x0, если существует число A и бесконечно малая при x x0 функция такие, что справедлива формула

f(x) = f(x0) + A(x x0) + (x)(x x0).

В этом случае число A называется производной функции f в точке x0 и обозначается f (x0). Произведение A(x x0) называется дифференциалом функции f в точке x0, соответствуюшим приращению x x0, и обозначается df(x0).

Дадим различные интепретации свойству дифференцируемости функции и ее производной. 1. Механическое истолкование производной

Если принять, что x - это время, а f(x) - путь, пройденный физическим объектом к моменту x, то

f(x) f (x0 ) x x0

выражает среднюю скорость объекта на временном отрезке от x0 до x. Тогда производная f (x0), равная пределу (1), выражает мгновенную скорость в момент x0. Во время движения автомобиля водитель снимает показания значения производной, глядя на

стрелку спидометра. Механическое истолкование производной требует некоторых ограничений: положительности x, x x0, f(x), f (x) f(x0), или распространения понятия времени, пути и скорости на отрицательные значения.

2. Геометрическое истолкование дифференцируемости функции и ее производной

Проведем прямую (секущую), которая пересекает график функции в точках M = (x, f(x)) и M0 = (x0, f(x0)). Построим прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат, и гипотенузой M0M.

145

Рис. 5. Иллюстрация геометрического истолкования дифференцируемости функции и ее производной

Отношение

f(x) f (x0 ) x x0

выражает тангенс угла, образуемого секущей с положительным направлением оси OX. Если x x0, то гипотенуза M0M вырождается в точку M0, секущая занимает место касательной, а предел (1) выражает тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси OX. Обратим внимание, что касательная не может быть вертикальной линией, иначе бы тангенс не был определен. Таким образом, интуитивно воспринимая касательную как предельное положение секущей, сформулируем геометрический смысл дифференцируемости функции и ее производной: функция f дифференцируема в точке x0,

если график функции имеет невертикальную касательную в этой точке; проиэводная f (x0) выражает тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси OX.

146

3. Аналитическое истолкование дифференцируемости

Обратимся к определению 1 и формуле (3), где правая часть является суммой линейной функции f(x0) + A(x x0) и функции (x)(xx0), которая при x x0 убывает быстрее, чем A(x x0), если A 0. С такой точки зрения дадим аналитическое истолкование дифференцируемости: функция f дифференцируема в точке x0, если f(x) приближается линейной функцией y = f(x0) + A(x x0) с

погрешностью (x)(x x0), где - бесконечно малая функция при x x0. Интуитивно воспринимая линейную приближающую функцию как уравнение касательной, добавим к аналитической интерпретации, что прямая с уравнением

y = f(x0) + f (x0)(x x0)

является касательной к графику функции f в точке x0.

4. Непрерывность дифференцируемой функции

Выскажем несложно доказуемую, но весьма принципиальную связь между основными понятиями математического анализа: непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке.

Теорема 3. Если функция f дифференцируема в точке x0, то f непрерывна в этой точке.

Доказательство. Дифференцируемость функции в точке x0 подразумевает, что она определена в некоторой -окрестности точки x0 и существуют число A и бесконечно малая при x x0 функция такие, что справедливо равенство

f(x) = f(x0) + A(x x0) + (x)(x x0).

Второе и третье слагаемые в правой части уравнения стремятся к 0 при x x0. Переходя к пределу в обеих частях равенства, получим

xlimx f (x) f '(x0 ),

0

что выражает свойство непрерывности функции f в точке x0 и заканчивает доказательство теоремы 3.

Пример функции y = f(x) = x , непрерывной, но не дифференцируемой в точке x0 = 0, доказывает, что утверждение, обратное к теореме 3, неверно.

147

Лекция 15

1. Арифметические действия над дифференцируемыми функциями

2. Дифференцируемость сложной функции

3. Производная обратной функции

4. Локальный экстремум. Теорема Ферма

1. Арифметические действия над дифференцируемыми функциями

Покажем, что свойство дифференцируемости инвариантно относительно арифметических действий над функциями. Одновременно выведем формулы дифференцирования, известные из программы средней школы.

Теорема 1. Пусть функции f и g дифферецируемы в точке x0. Тогда функции f + g, f g, fg и f/g дифференцируемы в точке x0 и справедливы формулы

(f + g) (x0) = f (x0) + g (x0);

(f g) (x0) = f (x0) g (x0);

(fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0);

148

	f		'			f ' (x0 )g(x0	) f (x0 )g' (x0			)
			(x	0	)						.
							2
						g		(x0	)
	g

В случае частного предполагаем, что g(x) 0.

Доказательство. Так как функции f и g дифференцируемы в точке x0, то существуют числа A и B и бесконечно малые при x x0 функции и такие, что справедливы формулы

(1)f(x) = f(x0) + A(x x0) + (x)(x x0)

и

(2)g(x) = g(x0) + B(x x0) + (x)(x x0),

где A = f (x0) и B = g (x0).

В теореме 1 содержатся 4 независимых утверждения. Начнем с суммы f + g. Сложим равенства (1) и (2) и получим

(3) f(x) + g(x) = f(x0) + g(x0) + (A + B)(x x0) + ( (x) + (x))(x x0).

Заметим, что благодаря определению Гейне предела функции бесконечно малые функции обладают теми же свойствами, что и бесконечно малые последовательности:

сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;

произведение бесконечно малой и ограниченной является бесконечно малой.

Так как A + B - число, а + - бесконечно малая при x x0 функция, то равенство (3) определяет f + g как дифференцируемую в точке x0 функцию, причем (f + g) (x0) = A + B = f (x0) + g (x0), что доказывает первую часть теоремы 1.

149

Аналогично вычтем равенство (2) из (1) и получим

(4) f(x) g(x) = f(x0) g(x0) + (A B)(x x0) + ( (x) (x))(x x0).

Так как A B - число, ( 1) бесконечно мала, а поэтому и - бесконечно малая при x x0 функция, то равенство (4)

определяет f g как дифференцируемую в точке x0 функцию, причем (f g) (x0) = A B = f (x0) g (x0), что доказывает вторую часть теоремы 1.

Аналогично перемножим равенства (1) и (2) и получим

(5) f(x)g(x) = f(x0)g(x0) + (Ag(x0) + Bf(x0)) +

[f(x0) (x) + g(x0) (x) + (AB + A (x) + B (x) + (x) (x))(x x0)](x x0).

Обозначим

(x) = f(x0) (x) + g(x0) (x) + (AB + A (x) + B (x) + (x) (x))(x x0).

Каждое слагаемое в сумме (x) стремится к 0 при x x0, поэтому - бесконечно малая при x x0 функция. Так как Ag(x0) + Bf(x0) - число, то равенство (5) определяет fg как дифференцируемую в точке x0 функцию, причем

(fg) (x0) = Ag(x0) + Bf(x0) = f (x0)g(x0) + g (x0)f(x0),

что доказывает третью часть теоремы 1.

Наконец, разделим равенство (1) на (2) и получим

150