28233-pdf

illæ, ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula

tDv ut qDp Sed pD quad. est AD quad. +Ap quad. id est AD quad. +Ak×AD

pD quad.

seu AD × Ck; & qDp est 12 AD × pq. Ergo Sectoris particula vDt est ut Ckpq , id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particularum omnium tDv in Sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq respondentium, usq; dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit; hoc est, Sector totus ADt est ut ascensus totius futuri tempus. Q. E. D.

Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV , tum trianguli DAQ particulas quam minimas T DV & P DQ; & erunt hæ particulæ ad invicem ut DT q. ad DP q. id est (si T X & AP parallelæ sint) ut DXq. ad DAq. vel T Xq. ad AP q. & divisim ut DXq. −T Xq. ad ADq. −AP q. Sed ex natura Hyperbolæ DXq. −T Xq. est ADq., & per Hypothesin AP q. est AD ×AK. Ergo particulæ

sunt ad invicem ut ADq. ad ADq. − AD × AK;	id est ut AD ad AD		−	AK seu
	PDQ AC
AC ad CK: ideoq; Sectoris particula T DV est	×	, atq; adeo ob datas
	CK

AC & AD, ut CKPQ ; & propterea per Corol. 5. Prop. VIII. Lib. II. ut particula temporis incremento velocitatis P Q respondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulæ P Q generantur, ut summa particularum Sectoris ADT , id est tempus totum ut Sector totus. Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si AB æquetur quartæ parti ipsius AC, spatium ABRP , quod corpus tempore quovis AT D cadendo describit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximæ AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABRP , qua spatium cadendo descriptum exponitur,

ad aream AT D qua tempus exponitur.

Nam cum sit AC ad AP ut AP ad

AK, erit 2AP Q æquale AC × KL (per Corol.

11. Lem. II. hujus) adeoq; KL

ad

P Q ut 2AP ad AC, & inde LKN ad P Q

×

2

AD seu DP Q ut 2AP

×

KN

1

ad

2 AC × AD. Sed erat DP Q ad DT V1

ut CK ad AC. Ergo ex æquo LKN

1

×

KN

×

CK ad

2

AC cub.; id est, ob æquales CKN &

est ad DT V ut 2AP

4 ACq., ut AP ad AC;

hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem

maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum ABKN & AV D momenta LKN & DT V sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitæ ut spatia simul descripta, ideoq; areæ totæ ab initio genitæ ABKN & AV D ut spatia tota ab initio descensus descripta. Q. E. D.

Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.

Corol. 3. Velocitas corporis tempore AT D cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum AP D ad Sectorem Hyperbolicum AT D. Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempus AT D, & in Medio resistente est ut AP , id est ut triangulum AP D. Et velocitates illæ initio descensus æquantur inter se, perinde ut areæ illæ AT D,

AP D.

Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum

161

amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD, sive ut recta Ap ad arcum At.

Corol. 5. Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut Sector ADT ad triangulum ADC: & tempus, quo velocitatem Ap in Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere, ut arcus At ad ejus Tangentem Ap.

Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. indeq; datur & spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore describi potest, & tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione temporum; dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quæ est ad Sectorem ut spatium quæsitum ad spatium jam ante inventum.

Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT .

Prop. X. Prob. III.

Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sitq; resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quæ faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis.

Sit AK planum illud plano Schematis perpendiculare; ACK linea curva; C corpus in ipsa motum; & F Cf recta ipsam tangens in C. Fingatur autem corpus C nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc vero regredi per eandem lineam; & in progressu impediri a Medio, in regressu æque promoveri, sic ut in iisdem locis eadem semper sit corporis progredientis & regredientis velocitas. Æqualibus autem temporibus describat

corpus progrediens arcum quam minimum CG, & corpus regrediens arcum Cg; & sint CH, Ch longitudines æquales rectilineæ, quas corpora de loco C exeuntia, his temporibus, absq; Medii & Gravitatis actionibus describerent: & a punctis C, G, g, ad planum horizontale AK demittantur perpendicula CB, GD, gd, quorum GD ac gd tangenti occurrant in F & f. Per Medii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis CH, describat solummodo longitudinem CF ; & per vim gravitatis transfertur corpus de F in G: adeoq; lineola HF vi resistentiæ, & lineola F G vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem. X. Lib. I.) lineola F G est ut vis gravitatis & quadratum temporis conjunctim, adeoq; (ob datam gravitatem) ut quadratum temporis; & lineola HF ut resistentia & quadratum temporis, hoc est ut resistentia & lineola F G. Et inde

162

HF

FG

Cf−CF .

FG

HF

FG

hf fg

hffg .

HF

FG

resistentia fit ut HF directe & F G inverse, sive ut . Hæc ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitæ magnitudinis hæ rationes non sunt accuratæ.

Et simili argumento est fg ut quadratum temporis, adeoq; ob æqualia tempora æquatur ipsi F G; & impulsus quo corpus regrediens urgetur est ut Sed impulsus corporis regredientis & resistentia progredientis ipso motus initio æquantur, adeoq; & ipsis proportionales & æquantur; & propterea ob æquales fg & F G, æquantur etiam hf & HF , suntq; adeo CF , CH (vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF semidi erentia est ipsarum Cf & CF ; & resistentia quæ supra fuit ut , est ut

Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum velocitatis. Veloci-

√

tas autem ut descripta longitudo CF directe & tempus F G inverse, hoc est

	CF			CFq.
ut	√FG	, adeoq; quadratum velocitatis ut FG			. Quare resistentia, ipsiq; pro-
portionalis			Cf−CF	est ut Medii densitas & ut	CFq.	conjunctim; & inde Medii
			FG		FG
densitas ut			Cf−CF	directe & CFq. inverse, id est ut		Cf−CF	Q. E. I.
			FG	FG		CFq.

Corol. 1. Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck æqualis CF , & ad

planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in

l; fiet Medii densitas ut

FG−kl

. Erit enim fC ad kC ut

√fg seu √F G ad

CF×FG+kl

CF ad CF ut √F G - √kl ad √kl; hoc

√kl, & divisim fk ad kC, id est Cf

−

est (si ducatur terminus uterq; in √F G +

√kl) ut F G − kl ad kl + √F G × kl,

sive ad F G + kl. Nam ratio prima nascentium kl + √F G

×

kl & F G + kl est

æqualitatis. Scribatur itaq; FK−Kl pro

Cf

−

CF

; & Medii densitas, quæ fuit ut

Cf−CF

FK+Kl

CF

evadet ut

FG−kl

.

CF quad.

CF×FG+kl

Corol. 2. Unde cum 2HF & Cf − CF æquentur, & F G & kl (ob rationem æqualitatis) componant 2F G; erit 2HF ad CF ut F G − kl ad 2F G; et inde HF ad F G, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in F G − kl ad 4F G quad.

Corol. 3. Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem seu abscissam AB & ordinatim applicatam BC; (ut moris est) & valor ordinatim applicatæ resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus.

Exempl. 1. Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur.

Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel

Bi o: & erit DGq. seu OGq.−ODq. æquale nn−aa−2ao−oo seu ee−2ao−oo; & radice per methodum nostram extracta, fiet DG = e− aoe − oo2e − aaoo2e3 − ao2e33 − a23eo53 &c. Hic scribatur nn pro ee + aa & evadet DG = e − aoe − nnoo2e3 − anno2e5 3 &c.

Hujusmodi Series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas infinite parva o non extat; secundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; tertium in quo extat duarum, quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic est e, denotabit semper longitudinem ordinatæ BC insistentis ad indefinitæ quantitatis initium B; secundus terminus qui hic est aoe , denotabit di erentiam inter BC & DF , id est lineolam IF , quæ abscinditur complendo parallelogrammum

163

BC−ID, atq; adeo	positionem Tangentis CF semper determinat: ut in hoc casu
		ao	ad o seu a ad e. Terminus tertius, qui hic est	nnoo
capiendo IF ad IC ut est		e		2e3

designabit lineolam F G, quæ jacet inter Tangentem & Curvam, adeoq; determinat angulum contactus F CG, seu curvaturam quam curva linea habet in C. Si lineola illa F G finitæ est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinite minores tertio, ideoq; negligi possunt. Terminus quartus, qui hic est anno2e5 3 , exhibet variationem Curvaturæ; quintus variationem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quæ pendent a Tangentibus & curvatura Curvarum.

Præterea CF est latus quadratum ex CIq. & IF q. hoc est ex BDq. & quadrato termini secundi. Estq; F G + kl æqualis duplo termini tertii, & F G − kl æqualis duplo quarti. Nam valor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il, ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu o pro +o.

& valor ipsius F G in valorem		3	3		−
Proinde cum F G sit −nnoo2e3 −	anno		&c.3erit kl = −nnoo2e3 +	anno	, &c. Et ho-
	2e5			2e5

rum summa est −nnooe3 , di erentia −annoe5 . Terminum quintum & sequentes hic

negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant.

Itaq; si designetur Series universaliter his terminis Qo − Roo − So3 &c. erit

√

CF æqualis oo + QQoo, F G + kl æqualis 2Roo, & F G −kl æqualis 2So3. Pro CF , F G+kl & F G−kl scribantur hi earum valores, & Medii densitas quæ erat

ut	FG−kl	jam fiet ut		S		. Deducendo igitur Problema unumquodq;
	CF in FG+kl		R√1+QQ

ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scribendo terminos seriei ipsis

respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam Medii in loco quovis G esse

√

ad Gravitatem ut S 1 + QQ ad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum

corpus, de loco C secundum rectam CF egrediens, in Parabola, diametrum CB
& latus rectum 1+QQ habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.
	R
	Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur √				seu ne pro √		,
		1 + aaee				1 + QQ
nn3	pro R, & ann3 pro S, prodibit Medii densitas ut		a	, hoc est (ob datam n) ut
2e	2e		ne

ae seu OBBC , id est ut Tangentis longitudo illa CT , quæ ad semidiametrum OL ipsi

AK normaliter insistentem terminatur, & resistentia erit ad gravitatem ut a ad

√

n, id est ut OB ad circuli semidiametrum OK, velocitas autem erit ut 2BC. Igitur si corpus C certa cum velocitate, secundum lineam ipsi OK parallelam, exeat de loco L, & Medii densitas in singulis locis C sit ut longitudo tangentis CT , & resistentia etiam in loco aliquo C sit ad vim gravitatis ut OB ad OK; corpus illud describet circuli quadrantem LCK. Q. E. I.

At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK perpendicularem egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrarias partes centri O, & propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum −a pro +a. Quo pacto prodiret Medii densitas ut −ae . Negativam autem densitatem (hoc est quæ motus corporum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturaliter fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL. Ad hunc e ectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri.

Exempl. 2. Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL horizonti AK perpendicularem, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut projectile in ipsa

164

moveatur.

Ex natura Parabolæ, rectangulum ADK æquale est rectangulo sub ordinata DG & recta aliqua data: hoc est, si dicantur recta illa b, AB a, AK c, BC e & BD o; rectangulum a + o in c −a −o seu ac −aa −2ao + co −oo æquale est rect-

angulo b in DG, adeoq; DG æquale ac−aa + c−2a o			oo . Jam scribendus esset
b	b		− b
hujus seriei secundus terminus c−2a o pro Qo, & ejus coe ciens c−2a pro Q; ter-
b			b
tius item terminus oo pro Roo, & ejus coe ciens		1 pro R. Cum vero plures non
b		b

sint termini, debebit quarti termini So3 coe ciens S evanescere, & propterea

quantitas	S	cui Medii densitas proportionalis est, nihil erit. Nulla ig-
	R√1+QQ

itur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit

Galilæus. Q. E. I.

165

Exempl. 3. Sit linea AGK Hyperbola, Asymptoton habens NX plano horizontali AK perpendicularem; & quæratur Medii densitas quæ faciat ut Projec-

tile moveatur in hac linea.

Sit MX Asymptotos altera, ordi-

natim applicatæ DG productæ occur-

rens in V , & ex natura Hyperbolæ,

rectangulum

XV

in

V G dabitur.

Datur autem ratio DN ad V X, &

propterea

datur etiam

rectangulum

DN in V G.

Sit illud bb; & comple-

to parallelogrammo DNXZ, dicatur

BN a, BD o, NX c, & ratio da-

ta V Z ad ZX vel DN ponatur esse

mn . Et erit DN æqualis a − o, V G

æqualis

bb

, V Z æqualis mn

a − o

, &

a−o

seu

NX

V Z

−

V G æqualis

GD m

m

− bb

c − n a +

n o

−

. Resolvatur ter-

a−o

bb

minus

in seriem

convergentem

a−o

bba + aabb o+ abb3 oo+ bba43 o3 etc. & fiet GD æqualis c−mn a−bba + mn o−aabb o−abb3 o2 −abb4 o3

&c. Hujus seriei terminus secundus

mn o − aabb o usurpandus est pro Qo, tertius

cum signo mutato

bb3 o2 pro Ro2, & quartus cum signo etiam mutato bb4 o3 pro

a

a

So3, eorumq; coe cientes m

bb ,

bb

& bb scribendæ sunt, in Regula superi-

n

− aa

a3

a4

bb

ore, pro Q, R & S. Quo facto prodit medii densitas ut

a4

seu

bb

1

−

mm

2mbb

+

b4

3

nn

naa

4

1

a

q

− 1

a

est, si in V Z sumatur V Y æqualis V G, ut

.

Namq;

XY

aa+

mm

aa

2mbb

+

b4

q

nn

n

aa

mm −

2mbb

b4

aa &

nn aa −

+

sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem

n

aa

invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad Y G, & velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus rec-

tum	Y X quad.	habente. Ponatur itaq; quod Medii densitates in locis singulis
	V G

G sint reciproce ut distantiæ XY , quodq; resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad Y G; & corpus de loco A justa cum velocitate emissum describet Hyperbolam illam AGK. Q. E. I.

Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AGK Hyperbola sit, centro X Asymptotis MX, NX, ea lege descripta, ut constructo rectangulo XZDN cujus latus ZD secet Hyperbolam in G & Asymptoton ejus in V , fuerit V G reciproce ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua NDn, cujus index est numerus n: &

quæratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.
Pro DN, BD, NX scribantur A, O, C respective, sitq; V Z ad ZX vel
	bb		bb
DN ut d ad e, & V G æqualis		, & erit DN æqualis A − O, V G =		,
	DNn		A−On

V Z = de in A − O, & GD seu NX − V Z − V G æqualis C − de A + de O − A−bbOn .

bb

bb

nbbO

nn+n

2

Resolvatur terminus ille

in seriam infinitam

+

n+1

+

n+2 bbO

+

A−O

n

A

n

A

2A

3

+3nn+2n

3

d

bb

2

n

d

nbb

nn+n

6An+3

bbO

&c. ac fiet GD æqualis C−e A−

+ e O−

O−

2An+2 bbO

−

3

3

An

An+1

n +3nn+2n

d

nbb

6An+3

bbO

&c. Hujus seriei terminus secundus

e O−

O usurpandus est

An+1

166

AHq.

AI

pro Qo, tertius Medii densitas

nn+n

2

2

n3+3nn+2n

bbO

3

3

. Et inde

2An+2 bbO

pro Ro , quartus

6An+3

pro So

S

, in loco quovis G, fit

n+2

, adeoq;

R×√1+QQ

3qA2

dd

2dnbb

nnb4

+ ee A2− eAn

A+ A2n

si in V Z capiatur V Y			æqualis n			×	V G, est reciproce ut XY . Sunt enim A2 &
			nnb	4
dd	2	2dnbb			ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem in
ee A		− eAn in A +	A2n
							XY	ad 2RR, id est XY ad	3nn+3n	V G.
eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in A									n+2

Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus projectum in Parabola pergeret,

	verticem G, diametrum GD & Latus rectum	1+QQ	seu	2XY quad.		habente.
		R
				nn+n in V G
	Q. E. I.

Scholium.

Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente, in Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est utiq; linea illa Hyperbolici generis, sed quæ circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non est inter has & illam di erentia, quin illius loco possint hæ in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futuræ sunt hæ, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsæ vero in usum sic deducentur.

Compleatur parallelogrammum XY GT , & ex natura harum Hyperbolarum

facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbolam in G, ideoq; densitas Medii in
G est reciproce ut tangens GT , & velocitas ibidem ut	√GTGVq. , resistentia autem
ad vim gravitatis ut GT ad 3nn+3n GV .
n+2

Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymptoto NX in H, actaq; AI

occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut √AHqAI . , ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad

3nn+3n in AI. Unde prodeunt sequentes Regulæ.

n+2

Reg. 1. Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideoq; si longitudines illæ in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest.

Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.

Reg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitasq; acceleratrix servetur, & proportio resistentiæ in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione, quacunque: augebitur proportio AH ad AI eadem ratione, manente Parabolæ latere recto, eiq; proportionali longitudine ; & propterea minuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa duplicata. Augetur vero proportio resistentiæ ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub æquali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus.

167

Reg. 4. Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolæ major est quam in loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimæ tangentium GT ad Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo minore quam semisummæ Tangentium ad Tangentium AH.

Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK: produc HN ad X, ut sit HX æqualis facto sub n + 1 & AI; centroq; X & Asymptotis MX, NX per punctum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI ad quamvis V G ut XV n ad XIn.

Reg. 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratæ sunt hæ Hyperbolæ in ascensu corporis ab A, & minus accuratæ in ejus descensu ad G; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, estq; cæteris simplicior. Igitur si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quæratur: occurrat producta AN Asymptotis MX, NX in M & N, & sumatur NK ipsi AM æqualis.

Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phænomenis. Projiciantur corpora duo similia & æqualia eadem velocitate, in angulis diversis HAK, hAk, incidentq; in planum Horizontis in K & k; &

notetur proportio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo AI, assume utcunq; longitudinem AH vel Ah, & inde collige graphice longitudines AK, Ak, per Reg. 6. Si ratio AK ad Ak sit eadem cum ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita SM longitudinem SM æqualem assumptæ AH, & erige perpendiculum MN æquale rationum di erentiæ AKAk − de ductæ in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt plura puncta N: & tum demum si per omnia agatur Curva linea regularis NNXN, hæc abscindet SX quæsitæ longitudini AH æqualem. Ad usus Mechanicos su cit longitudines AH, AI easdem in angulis omnibus HAK retinere. Sin figura ad inveniendam resistentiam Medij accuratius determinanda sit, corrigendæ sunt semper hæ longitudines per Regulam quartam.

168

Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectæ AH, secundum quam Projectile data illa cum velocitate emissum incidit in punctum quodvis K: ad puncta A & K erigantur rectæ AC, KF horizonti perpendiculares, quarum AC deorsum tendat, & æquetur ipsi AI seu 12 HX. Asymptotis AK, KF describatur Hyperbola, cujus Conjugata transeat per punctum C, centroq; A & intervallo AH describatur Circulus secans Hyperbolam illam in puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum in-

cidet in punctum K. Q. E. I. Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF , illi in C, huic in F , & ob parallelas CH, MX & æquales AC, AI, erit AE æqualis AM, & propterea etiam æqualis KN. Sed CE est ad AE ut F H ad KN, & propterea CE & F H æquantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq; adeo reperitur in communi intersectione Hyperbolæ hujus & circuli descripti. Q. E. D. Notandum est autem quod hæc operatio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quodq; ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi mechanica su cit circulum semel describere, deinde regulam interminatam CH ita applicare ad punctum C, ut ejus pars F H, circulo & rectæ F K interjecta, æqualis sit ejus parti CE inter punctum C & rectam HK sitæ.

Quæ de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam si XAGK Parabolam designet quam recta XV tangat in vertice X, sintq; ordinatim applicatæ IA, V G ut quælibet abscissarum XI, XV dignitates XIn, XV n; agantur XT , T G, HA, quarum XT parallela sit V G, & T G, HA parabolam tangant in G & A: & corpus de loco quovis A, secundum rectam AH productam, justa cum velocitate projectum, describet hanc Parabolam, si modo densitas Medij, in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT . Velocitas autem in G ea erit quacum Projectile pergeret, in spatio non

	resistente, in Parabola Conica, verticem G, diametrum V G deorsum productam,
	& latus rectum √	2TGq.		habente. Et resistentia in G erit ad vim Gravitatis
		nn−nXV G

ut T G ad 3nn−3n V G. Vnde si NAK lineam horizontalem designet, & manente

n−2

tum densitate Medij in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunq; angulus NAH; manebunt longitudines AH, AI, HX, & inde datur

169

Parabolæ vertex X, & positio rectæ XI, & sumendo V G ad IA ut XV n ad XIn, dantur omnia Parabolæ puncta G, per quæ Projectile transibit.

170