Лабораторная работа № 3

По виду гистограммы или с помощью оценки коэффициента вариации выдвигают гипотезу о виде теоретического закона распределения наработок до отказа.

При подборе теоретической модели для исследуемой выборки наработок до отказа основываются на некоторых общих положениях, связанных с величи-

ной статистической оценки коэффициента вариации
v* = σ*/T* ,	(22)

где σ * - оценка среднеквадратического отклонения; T* - оценка математического ожидания. Если величина v* находится в пределах от 0,1 до 1,0, то при симметричной гистограмме можно использовать гипотезу нормального закона. В случае, если v* 1, то следует проверить гипотезы экспоненциального закона или закона Вейбулла.

Приняв в данном случае гипотезу нормального закона, найдем в каждом

выделенном интервале математическое ожидание числа отказов,	соответст-
вующее этому закону. Расчѐт производится по формуле
lj =pj N ,	(23)

где pj = F(tj) – F(tj-1) вероятность появления отказов в j-м интервале; F(tj),F(tj-1) – функции распределения нормального закона на левых границах j и j-1 интервалов.

Значения функций распределения F(tj),F(tj-1) находятся из таблиц математической статистики.

При гипотезе об экспоненциальном законе распределения необходимо вычислить оценку интенсивности отказа

1

T .

(24)

Вероятность наличия отказов в пределах выделенного интервала наблюдения в случае экспоненциального закона распределения находят согласно зависимости

	P t j	e	t j
			,	(25)
где	tj - j -й интервал наработок (наблюдения), j =1,…,k; k – количество
интервалов наблюдения.
При	коэффициенте вариации больше единицы и несимметричной гисто-

грамме вполне допустима гипотеза распределения Вейбулла. Оценка параметров этого закона проводится следующим образом. После расчѐта коэффициента вариации определяется параметр формы b :при v* 1.0

b=0,96707224 +16,24125 exp(0,0558258 – 6,1325054v*),

апри v* > 1.0

b =0,2405184 +0,7908285 exp(0,636202 – 0,7747214v*).

С помощью этого параметра находится коэффициент

	Kb	1	1
			b ,		(26)

11

1

1

b

где

- гамма-функция, определяемая по таблицам математиче-

ской статистики

или с помощью математических пакетов для персональных

компьютеров. В среде Mathcad 14 это функция

вызывается оператором

(z),

что соответствует вычислению интеграла

(z)

t z

1e

t dt

0

.

Параметр масштаба a

рассчитывают по формуле

a

T

Kb

(27)

Вычисленные параметры позволяют найти плотность распределения Вей-

булла

f

t

b

t

b

1

exp

t b

a

a

a

(28)

и вероятность

наличия отказов

в

определѐнном интервале наработок

t

b

b

P

t j

exp

j

1

exp

t j

a

a

,

(29)

где tj = tj+1

– tj - j - й интервал наработок, j = 1,…,k; k – количество ин-

тервалов.

Число отказов в рассматриваемом интервале определяется умножением

общего числа отказов на вероятность

l j

P

t j

N

(30)

Распределение Вейбулла обладает большой гибкостью, что и объясняет его широкое применение для описания процессов приработки технических объектов при b < 1 и износа при b > 1.

Опыт анализа безотказности технических объектов различного назначения показывает, что расширять набор проверяемых гипотез больше указанных выше трѐх обычно нет необходимости. Это связано с тем, что двухпараметрические законы распределения и особенно закон Вейбулла обладают большими аппроксимационными возможностями и позволяют отобразить практически любую статистику путѐм подбора соответствующих параметров формы и масштаба. Так, например, при параметре формы b в распределении Вейбулла, равном единице, последний превращается в экспоненциальный закон, а при некотором промежуточном значении b большем единицы закон, Вейбулла близок к нормальному закону.

12

После того, как доказана непротиворечивость гипотезы о соответствии эмпирического закона распределения наработок до отказа одному из теоретических законов выполняют анализ надѐжности объектов и расчѐт других важных характеристик, например, корректировка сроков профилактических работ, расчѐт комплекта запасных частей, прогнозирование режимов использования с учѐтом требуемого уровня надѐжности и т.п. Задание на такие расчѐты выдаѐтся индивидуально каждому исполнителю.

Заключительным этапом работы является построение функции плотности распределения теоретического закона на построенной ранее гистограмме.

Пример выполнения практической работы

Определить закон надѐжности невосстанавливаемых объектов по выборке значений наработок до отказа, представленной в табл. 1.

Таблица 1 Выборка отказов N=100 объектов по интервалам наблюдения

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Левая граница	221	385	549	713	877	1041	1205	1369	1533
интервала, час
Число отказов в	2	8	13	16	24	19	10	8	0
интервале

Для значений наработок до отказа, согласно табл.1, можно получить оценки математического ожидания (среднее значение) и среднеквадратического отклонения

T			1			N	ti	958,3
				N i
						1			,
		1		N
						1 ti		T	284,8 .
	N 1i

Гистограмма частот отказов для исследуемой выборки показана на рис.1. Если разделить статистическую оценку среднеквадратического отклоне-

ния на Т*, то получим коэффициент вариации v*= σ */T*= 0,306, по величине которого (0,1 < v* <1,0) можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении случайных величин в исходной выборке. К этому же заключению можно прийти, анализируя внешний вид гистограммы на рис.7. Симметричный характер размещения количества отказов относительно центра свидетельствует в пользу нормального закона.

Приняв гипотезу нормального закона, найдем в каждом выделенном интервале математическое ожидание числа отказов соответствующее этому закону (см. табл. 3). Расчѐт производится по формуле

lj =pj N ,

где pj= F(tj) – F(tj-1) вероятность появления отказов в j-м интервале; F(tj),F(tj-1) – функции распределения нормального закона на левых границах j и j-1 интервалов.

13

Таблица 2 Квантили Хи-квадрат распределения Пирсона для различных доверительных вероятностей

Число	Доверительная вероятность,
степеней
свободы	0,900	0,950	0,990	0,995
2	4,605	5,991	9,210	10,597
4	7,779	9,488	13,277	14,860
6	10,645	12,592	16, 812	18,548
8	13,362	15,507	20,090	21,955
10	15,987	18,307	23,209	25,188
12	18,549	21,026	26,217	28,300
14	21,064	23,685	29,141	31,319
16	23,542	26,296	32,000	34,267
18	25,989	28,869	34,805	37,156
20	28,412	31,410	37,566	39,997
22	30,813	33,924	40,289	42,796
24	33,196	36,415	42,980	45,559

Значения функций распределения F(tj),F(tj-1) находятся из таблиц математической статистики , или с помощью процедуры pnorm(tj,T, σ) в среде Mathcad 14 .

Таблица 3 Ожидаемое число отказов в интервалах наблюдения

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Математическое
ожидание числа отка-	1	6	12	20	23	20	12	6	0
зов при нормальном
законе lj , при
M=958,3; σ =284,8.

С использованием данных табл. 1 можно вычислить по формуле (21) значение критерия согласия Хи-квадрат Пирсона, который в данном случае равен χ2= 3,643.По таблице квантилей χ 2 – распределения с доверительной вероятностью γ = 0,95 при r = k - s- 1 =9 - 2 -1 = 6 при помощи табл. 2 или процедуры qchisq(p,d) в среде Mathcad 14 определяется квантиль, которая равна

2
0.95,6	12,592. Число независимых параметров s принято в данном случае

равным 2, так как нормальный закон характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением. Сравнивая расчѐтное и табличное значения критерия Хи-квадрат Пирсона, видим, что 2

2

<0.95,6 . Это позволяет утверждать, что различие между исследуемой выбор-

кой и теоретической моделью в виде нормального закона распределения статистически незначимо. Следовательно, нормальный закон распределения с параметрами, полученными по результатам наблюдения в соответствии с выбор-

14

кой наработок до отказа, можно использовать для анализа надѐжности объекта при доверительной вероятности = 0,95. Гистограмма и функция плотности нормального распределения, построенные по параметрам исходной выборки, показаны на рис. 7.

Рис. 7. Гистограмма и функция плотности нормального распределения с параметрами T*= 958,3; *= 284,8. k – номер интервала

Исходная информация к лабораторной работе №3

Ва-	Параметр				Номер интервала наблюдения
риант
		1	2	3		4	5	6	7	8	9
1	Наработка до отказа, ч	176	272	368		464	560	656	752	848	944
	Количество отказов	4	5	12		17	23	24	11	4	0
2	Наработка до отказа, ч	142	268	394		520	646	772	898	1024	1150
	Количество отказов	5	2	14		22	50	15	9	5	0
3	Наработка до отказа, ч	126	4074	8022		11970	15920	19870	23810	27760	31 710
	Количество отказов	44	34	9		9	1	0	5	0	0
4	Наработка до отказа, ч	444	570	696		S22	948	1074	1200	1326	1452
	Количество отказов	3	9	20		20	25	19	б	0	0
5	Наработка до отказа, ч	139	283	427		571	715	859	1003	1147	1291
	Количество отказов	2	1	10		25	31	19	9	5	0
6	Наработка до отказа, ч	16	3742	7468		11190	14920	18650	22370	26300	29820
	Количество отказов	58	25	7		7	5	0	0	0	0
7	Наработка до отказа, ч	312	510	708		906	1104	1302	1500	1698	1896
	Количество отказов	4	7	18		25	20	19	7	0	0
8	Наработка до отказа, ч	562	709	856		1003	1150	5297	1444	1591	1738
	Количество отказов	10	5	18		11	23	10	12	11	0
9	Наработка до отказа, ч	674	854	1034		1214	1394	1574	1754	1934	2114
	Количество отказов	4	5	22		25	19	15	7	5	0
10	Наработка до отказа, ч	432	686	940		1194	1448	1702	1956	2210	2464
	Количество отказов	5	2	14		31	27	14	7	0	0
11	Наработка до отказа, ч	482	714	946		1178	1410	1642	1874	2106	2338
	Количество отказов	4	7	10		25	25	20	8	5	0
12	Наработка до отказа, ч	489	791	1093		1395	1697	1999	2301	2603	2905
	Количество отказов	3	4	25		34	25	9	5	1	0

15

Порядок выполнения лабораторной работы №3 Открыть файл Работа №3.mcd;

Изменить значение матрицы А на свои исходные данные (верхняя строканаработка до отказа, ч; нижняя – количество отказов);

Изменить значение d, которое соответствует наработке в классе с наибольшим количеством отказов;

Записать значение Τ*=x и σ*=s;

Построить гистограмму по исходным данным; Проверить гипотезу №1:

Подобрать такое значение вместо * в формуле x1:= x -+*, чтобы вычисленного значения критерия χ было меньше табличного значения (X),

Сделать вывод о принятии гипотезы, если значение χ меньше X то гипотеза принимается, если больше то гипотеза не принимается;

Проверить гипотезу №2:

Подобрать такое значение вместо * в формулах μ:= x -+*, σ:= s -+*, чтобы вычисленного значения критерия χ было меньше табличного значения (X),

Сделать вывод о принятии гипотезы, если значение χ меньше X то гипотеза принимается, если больше то гипотеза не принимается;

Проверить гипотезу №3:

Подобрать такое значение вместо * в формулах x3:= x -+*, s3:= s - +*, чтобы вычисленного значения критерия χ было меньше табличного значения (X),

Сделать вывод о принятии гипотезы, если значение χ меньше X то гипотеза принимается, если больше то гипотеза не принимается;

Сделать выводы по работе; Ответить на контрольные вопросы.

16

Контрольные вопросы

1.Как проверяется согласие эмпирического закона распределения случайной величины и выдвинутой гипотезы?

2.Что такое квантиль функции распределения случайной величины?

3.В каких случаях на практике встречается экспоненциальный закон распределения наработок до отказа?

4.Какие отказы чаще всего приводят к распределению наработок по закону Вейбулла?

5.Как по внешнему виду гистограммы можно обоснованно выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины?

6.Как использовать коэффициент вариации для обоснования гипотезы о характере закона распределения случайной величины?

7.Кривая интенсивности отказов, что это такое и как она выглядит?

17