ТерВер

60

Третий центральный момент 3 служит для характеристики асимметрии распределения. Он имеет размерность куба случайной величины,

чтобы получить безразмерную величину, ее делят на 3 . Коэффициентом асимметрии (скошенности) A случайной величины X называется величина

A 3		M X M X 3			.	(3.27)
3			3
		D 2 X
Если A > 0, то кривая распределения более полога справа от						M0 X .
Если A < 0, то кривая распределения более полога слева от M0 X						(см. рис.
3.4).

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии A 0.

Рис. 3.4

Четвертый центральный момент 4 служит для характеристики

крутости (островершинности или плосковершинности) распределения. Коэффициентом эксцесса (островершинности) E случайной величины

X называется величина

	E	4	3	M X M X 4	3.	(3.28)
				D2 X
		4

61

Число 3 вычитается из соотношения 4 , так как для наиболее часто

4

встречающегося нормального распределения отношение	4	3. Для
	4

нормального закона распределения A = 0 и E = 0; остальные распределения сравниваются с нормальным: если E > 0 – более островершинные, а распределения плосковершинные имеют E < 0 (см. рис. 3.5).

Рис. 3.5

Примеры решения задач к главе 3

1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.

Решение. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Найдем соответствующие вероятности. Событие X 0 означает, что оба

стрелка	не	попали	в	цель,	соответствующая	вероятность
P X 0 p1 0,4 0,3 0,12.				Событие	X 1 означает, что либо первый

стрелок попал в цель, а второй при этом промахнулся, либо наоборот.
Вероятность P X 1 p2 0,6 0,3 0,4 0,7 0,46 . Событие	X 2

означает, что оба стрелка попали в цель и вероятность этого события равна P X 2 p3 0,6 0,7 0,42. Следовательно, ряд распределения имеет вид:

62

			xi		0		1		2
			pi		0,12		0,46		0,42
Теперь найдем функцию распределения F(x), для этого будем
использовать формулу (3.1).					X x
Когда	x 0 ,		событие				является невозможным, так как
случайная	величина		X	не	может принимать				значения меньшие нуля.
Поэтому F x P X 0 0 .

При 0 x 1, событие X x X 0 , следовательно

F x P X x P X 0 0,12.

Если 1 x 2 , то	X x X 0 X 1 . Тогда функция
распределения

F x P X 0 P X 1 0,12 0,46 0,58.

Когда	x 2,	X x X 0 X 1 X 2 .	Функция
распределения

F x P X 0 P X 1 P X 2 0,12 0,46 0,42 1.

F(x) 1

0,58

0,12

O

1

2

x

Рис. 3.6

Запишем, какая получилась функция распределения:

	63
0, x 0
0,12,	0 x 1
F (x)	0, 46	0,58, 1 x 2
0,12
	0, 42	1,	x 2
0,58

График функции распределения приведен на рисунке 3.6. 2. Случайная величина Х задана рядом распределения

X n	3	5	7	11
pn	0,14	0,20	0,49	0,17

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X и построить ее график. Вычислить для X ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Закон распределения случайной величины может быть задан функцией распределения F(x) = P(X x).

Для дискретной случайной величины эта функция выражается формулой

F (x) pn .

xn x

Поэтому в данном случае

0 при	x 3,
	3 x 5,
0,14 при
	5 x 7,
F (x) 0,34 при
0,83 при	7 x 11,

1 при x 11.

График функции распределения F(x) представляет собой ступенчатую линию (рис. 3.7).

Теперь вычислим математическое ожидание по формуле (3.7):

M X 3 0,14 5 0,2 7 0,49 11 0,17 6,72.

Для дискретной случайной величины дисперсию вычислим по формуле

(3.14)

64
n
D X M X 2 M 2 X xi2 pi M 2	X .
i1

Подставляя числовые данные задачи в формулу, получим:

M X 2 32 0,14 52 0,2 72 0,49 112 0,17 50,84 ,

D X 50,84 6,72 2 5,6816.

F(x)

1

0,5

0

3

5

7

11

x

Рис. 3.7

3. Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных.

Решение. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Вычислим соответствующие вероятности

	P X 1	C81 C22					1		, P X 2					C82 C12			7	, P X 3		C83			7	.
		C103					15							C103		15				C103		15
	Тогда, M X 1		1	2			7			3	7	2,4.
	15						15			15
	Теперь найдем					дисперсию							случайной				величины		X . Вычислим

значения квадрата отклонения каждого возможного значения от математического ожидания:

(1 – 2,4)2 = 1,96; (2 – 2,4)2 = 0,16; (3 – 2,4)2 = 0,36.

65

Следовательно,

D X 1,96 151 0,16 157 0,36 157 7528 0,373.

4. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

0,		x 2,
	4
	3
f x			x2 6x 8 ,		2 x 4,
0,		x 4.

Найти M X , D X , .

Решение. Воспользуемся формулами (3.20), (3.21) и (3.19):

M X	3	4		3		x	4				4
		x(x2	6x 8)dx					2x3	4x2		3;
	4			4		4					2
		2

D X	3	4		3		x	5		3x	4		8x	3		4
		x2 (x2	6x 8)dx 9												9 9,2 9 0,2;
	4			4		5			2			3			2
		2

0, 2 0, 447.

5.Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид

0,		x [0, 2],
f (x)		x [0, 2].
Cx2	,

Определить константу С, найти функцию распределения, вычислить вероятность P 1 X 1 , вычислить математическое ожидание и

дисперсию данной случайной величины.

Решение. Константа С находится из условия (3.6): f (x)dx 1.

В результате имеем

			66
		2		x3			2	8C
	1 f (x)dx Cx2dx C								,
		0	3				0	3

получаем C 83 .

Заметим, что интервал [0, 2] делит область значений аргумента на три части: ( ,0], [0,2], (2, ) . Рассмотрим каждый их этих интервалов. В

первом случае вероятность события вычисляется следующим образом:

			x			x
	F x P X x f t dt 0dt 0 ,
	так как плотность на полуоси ,0		равна 0. Во втором случае
	0	x		0		x	3t2		x3
	F x f t dt f t dt 0dt							dt		.
							8		8
		0				0
	Наконец, в последнем случае, когда x 2,
		0	2	3t2
	F x 0dt				dt	0dt 1,
				8
			0			2

так как плотность обращается в ноль и на полуоси 2, . Итак, получена функция распределения

	0,		x 0,
	x3
	F (x)		, 0 x 2,
		8
			x 2.
	1,

Вероятность вычисляем по формуле (3.4):

P 1 X 1 F 1 F 1 18 0 18.

67

Математическое ожидание и дисперсию вычисляем по формулам (3.20) и

(3.21):

2	3		3		2	3		12
M X		x x2dx		,	M X 2		x2 x2dx			,
	8		2			8		5
0					0

D X M X 2 M X 2 125 94 0,15.

6. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет

вид:

0,		x 2
		2
x
F (x)			, 2	x 4
		2
1,		x 4.

Найти плотность распределения.

Решение. Воспользуемся формулой (3.3):

				x 2		0,	x 2
0 ,
x 2
f (x)				, 2	x	4 0,5,	2 x 4
		2
							x 4.
						0,
				x 4
1 ,

Задачи для самостоятельного решения

1. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить распределение вероятностей дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных и найти ее математическое ожидание.

2. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х-числа партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия – если проверке подлежит 50 партий.

3. Бросаются три игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков.

68

4. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет «двойка». Найти среднее число бросаний.

5. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

6.Вероятность того, что лотерейный билет окажется выигрышным, равна 0,1. Покупатель купил 5 билетов. Найти распределение вероятностей для числа выигрышей у владельца этих пяти билетов.

7.Среди пяти ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа опробованных дверей.

8.Закон распределения случайной величины Х имеет вид

X	0	1	2	3
p	1/8	3/8	3/8	1/8

Найти функцию распределения случайной величины Х, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Вычислить вероятность P( 1 X 3/ 2) .

9. Игральная кость подбрасывается до: а) второго; б) третьего появления грани с номером «три». Найти среднее число подбрасываний. 10. Распределение случайной величины X задано таблицей:

X	–1	2	3	4	5	8
p	0,1	0,15	0,05	0,2	0,45	0,05

Найти функцию распределения, построить еѐ график. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

11. Дискретная случайная величина имеет закон распределения:

X	0	1	3	x4
P	0,1	0,34	0,3	p4

Найти x4, p4 , если M X 2,54 .

12. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид

	69
C(x 1), x [ 1, 2],
f (x)	x [ 1, 2].
0,

Вычислить константу C , функцию распределения, математическое ожидание и вероятность P X 2 1 .

13. Проверить, что функция

0,	x 0,
		0 x 1,
F (x) 2x x2,
1,	x 1

может быть функцией распределения некоторой случайной величины. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

14. Плотность распределения случайной величины имеет вид

	x	2	),	| x | 1,
C(1
f (x)	| x | 1.
0,

вычислить константу C , функцию распределения, математическое ожидание,

		1				1
дисперсию и вероятность	P | X			|			.
		2				4
15. Случайная величина X задана функцией распределения F x
		0,				x 0
	F (x) 4x2, 0 x 1
					2
					x 1
		1,
					2

Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

16. Случайная величина X задана плотностью f x

0, x 1

f (x) 1 (2x 1), 1 x 2

2

0, x 2