Физика_Контр№2вар№9
.pdfФизика №№9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79
9. Два шарика массой по 2 мг подвешены в общей точке на нитях длиной 0,5 м. Шарикам сообщили заряд и нити разошлись на угол 90°. Определить напряженность и потенциал поля в точке подвеса шарика.
Дано:
m = 0,2 мг = 0,2 10−6 кг l = 0,5 м
α =900
Найти: Е0 =? ϕ0 =?
Решение:
E0
|
|
|
α |
|
|
E |
2 |
E1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α/2 |
|
Тcosα |
α/2 T |
l |
Fэл |
Тsinα |
|
|
FТЯЖ |
r |
|
|
На шарики, находящиеся в воздухе действуют три силы: сила тяжести
Fтяж = mg (где m −масса шарика, g − ускорение свободного падения), элек-
2
тростатическая |
|
сила |
|
|
эл = E q ( E −напряженность |
|
||||||||||||||||||
|
F |
электрического поля, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(раскладываем ее на вертикаль- |
||||||||||||||||
q −заряд шарика) и сила натяжения нити T |
|
|
||||||||||||||||||||||
ную составляющую Тcos |
α и горизонтальную составляющую Тsin α ). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Условия равновесия шариков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
α |
|
= Е q |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= тg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
T cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
E q |
|
|
|
|
|
(3) |
||||||
Разделим (1) на (2): |
tg |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
mg |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Напряженность поля, создаваемая одним шариком в месте расположе- |
||||||||||||||||||||||||
ния другого шарика: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E = |
|
q |
|
= |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
(4) |
4πε0r2 |
|
|
|
|
α |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
α |
||||||||||
|
|
4πε |
|
16πε0l |
sin |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 2l sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
где ε0 − диэлектрическая постоянная; |
r −расстояние от заряда до точ- |
|||||||||||||||||||||||
ки, в которой |
рассчитывается |
|
|
напряженность |
(из |
геометрии чертежа |
r= 2l sin α ), l −длина нити.
2
Подставим (4) в (3):
α |
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
||
tg |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
mg 16πε |
0l |
2 |
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = |
mg 16πε0l |
2 |
sin |
2 |
α |
|
α |
|
α |
|
mgπε0 |
α |
|
(6) |
||||||
|
|
|
|
tg |
|
= 4l sin |
|
tg |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
3
Напряженность в точке подвеса шариков от каждого шарика:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
α |
||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
4l sin |
|
|
mgπε0 tg |
|
|
||||||
E |
|
= Е |
|
= |
Е* = |
|
|
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
= |
||
|
|
4πε |
0l2 |
|
|
|
|
|
4πε0l2 |
|
|
|
||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
α |
|
|
|
α |
|
α |
||||||||
|
|
mgπε |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
sin |
|
|
0 tg |
2 |
|
|
sin |
2 |
|
|
mg tg |
2 |
|
||||||||
= |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
πε0l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
πε0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. По-
этому напряженность |
E |
0 |
электрического поля в искомой точке может быть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
найдена как геометрическая сумма напряженностей |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E1 и E2 полей, создавае- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мых каждым зарядом в отдельности: |
|
|
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
E |
E1 + E2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т.к. угол между напряженностями |
|
|
и |
|
2 равен α = 90°, то результи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E1 |
E |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рующая напряженность в точке подвеса шариков: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
2mg tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
E = |
|
|
E2 |
+ E2 = |
E * |
2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(8) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Проверим размерность формулы (8): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
[m][g] tg |
2 |
|
|
|
1 |
|
кг |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[E0 ] |
= |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[π][ε0 ] |
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
[l] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
1 |
|
|
|
Н м |
= |
1 |
|
Дж В |
= |
1 |
|
|
Кл В В |
= |
|
|
В |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
м |
|
|
|
Кл |
|
|
|
м |
|
Кл |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кл |
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
90 |
0 |
|
2 0,2 10−6 9,8 tg |
|
90 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
E0 = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
=531,2 (В/ м) |
||||||||||||||||||||||||
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 8,85 10−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Потенциал в точке подвеса шариков от каждого шарика:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
mgπε0 |
α |
|
||
|
|
|
|
|
|
q |
|
4l sin |
|
tg |
|
|||||
ϕ |
=ϕ |
2 |
=ϕ = |
= |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
4πε0l |
|
|
|
|
4πε0l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
α |
mgπε0 |
|
α |
|
|
|
|
|
α |
|
||||
|
sin |
|
|
tg |
|
|
|
α |
mg tg |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πε0 |
|
|
|
|
πε0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Потенциал в точке подвеса шариков равен алгебраической сумме потенциалов от каждого заряда:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2sin α |
|
mg tg |
|
|
|||||
ϕ |
|
=ϕ |
+ϕ |
|
= 2ϕ |
|
|
|
2 |
|
= |
||||||
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
πε0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
0 |
|
0,2 10−6 9,8 tg |
|
|
|
|
|
|||||
= 2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
=375,6 (В) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
π 8,85 |
10 |
−12 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
E0 =531, 2 В/ м; ϕ0 =376,3 В. |
|
|
|
5
19. Заряд –1 нКл переместился в поле заряда +1,5 нКл из точки с потенциалом 100 В в точку с потенциалом 600 В. Определить работу сил поля и расстояние между этими точками.
Дано:
q1 = −1 нКл = −1 10−9 Кл
ϕ1 =100 В ϕ2 = 600 В
q2 = +1,5 нКл =+1,5 10−9 Кл
Найти: А=? а =?
Решение:
Работа перемещения заряда q1 из точки поля с потенциалом ϕ1
с потенциалом ϕ2 :
А=(ϕ1 −ϕ2 ) q1 =(100 B −600 B) (−1 10−9 |
Кл)=5,00 10−7 Дж |
|||||||||||||||
где ϕ1 и ϕ2 −потенциалы начальной и конечной точек. |
||||||||||||||||
Потенциал от заряда q2 |
на расстояние r1 : |
|
||||||||||||||
ϕ = |
|
q2 |
|
|
|
|
или r = |
|
q2 |
|
|
|
(2) |
|||
4πε r |
|
|
4πε ϕ |
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
||||
где ε0 − диэлектрическая постоянная. |
|
|||||||||||||||
Потенциал от заряда q2 |
на расстояние r2 : |
|
||||||||||||||
ϕ |
|
= |
|
q2 |
|
|
|
или r |
= |
q2 |
|
|
(3) |
|||
|
|
|
r |
4πε ϕ |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
4πε |
0 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
Расстояние между точками:
в точку
(1)
a = r1 −r2 |
= |
|
|
q2 |
|
|
− |
|
|
q2 |
|
= |
q2 |
|
|
|
1 |
− |
1 |
|
|
|
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4πε0ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4πε0ϕ2 |
4πε0 ϕ1 |
|
ϕ2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
Проверим размерность формулы (4): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
[a]= |
[q2 |
] |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
Кл |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Кл м |
|
1 |
= м |
|||||||
[ε0 |
] |
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||
[ϕ1 ] |
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
Кл |
В |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
[ϕ2 ] |
В |
|
|
|
В |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
6
Вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
1,5 10−9 |
|
|
|
|
1 |
− |
1 |
|
= 0,112 |
(м) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4π 8,85 10 |
−12 |
100 |
600 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: А=5,00 10−7 |
Дж; a = 0,112 м. |
|
7
29. Энергия плоского воздушного конденсатора 0,4 нДж, разность потенциалов на обкладках 600 В, площадь пластин 1 см2. Определить расстояние между обкладками, напряженность и объемную плотность энергии поля конденсатора.
Дано:
W = 0,4 нДж = 0,4 10−9 Дж U = 600 B
S =1 см2 =10−4 м2
Найти: d =? E =? w =?
Решение:
Емкость плоского воздушного конденсатора:
C = ε0d S
где ε0 −диэлектрическая постоянная; S −площадь конденсатора; d −расстояние между пластинами.
Энергия конденсатора, подставляя (1):
(1)
одной пластины
W = |
U 2 C |
= |
U 2 ε0 S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||
|
|
2 |
2d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где U −разность потенциалов на обкладках конденсатора. |
|||||||||||||||||||
Из (2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d = |
U 2 |
ε0 S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
2W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проверим размерность формулы (3): |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
[U ]2 [ε |
0 ] [S] |
|
В |
2 |
Ф |
м |
2 |
|
В |
2 |
|
Кл |
м |
|||
[d ] |
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
В |
|||||||||
= |
|
|
W |
] |
= |
|
|
|
= |
|
|
= м |
|||||||
|
|
|
|
Дж |
|
Кл В |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Вычисления: |
|
|
d = |
(600)2 8,85 10−12 10−4 |
= 0,398 (м) |
|
2 0,4 10−9 |
|
Напряженность электрического поля:
Е = Ud = 0,398600 Bм =1,508 103 В/ м
Объемная плотность энергии: |
|
|
|
||||||
w = W |
= |
W |
= |
|
0,4 10−9 Дж |
|
=1,00 10−5 |
Дж/ м3 |
|
S d |
10−4 м2 0,398 |
м |
|||||||
V |
|
|
|
|
где V −объем конденсатора.
Ответ: d = 0,398 м; Е =1,508 103 В/ м; w =1,00 10−5 Дж/ м3.
9
39. К источнику тока подключают один раз резистор сопротивлением 1 Ом, другой раз – 4 Ом. В обоих случаях на резисторах за одно и то же время выделяется одинаковое количество теплоты. Определить внутреннее сопротивление источника тока.
Дано:
R1 =1 Ом |
|
|
||||
R2 |
= 4 Ом |
|
|
|||
Q1 |
=Q2 =Q |
|
|
|||
t1 =t2 =t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Найти: r =? |
|
|
||||
Решение: |
|
|
||||
|
ε |
|
|
I |
r |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон Ома для полной цепи |
|
|
|
|
|||||
для первого случая: I = |
|
ε |
|
|
|
(1) |
|||
r + R |
|||||||||
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
для второго случая: I2 = |
ε |
|
|
|
(2) |
||||
|
|
||||||||
r + R |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
где I −сила тока; r − |
|
внутреннее сопротивление |
источника тока; |
||||||
R −внешнее сопротивление. |
|
|
|
|
|
|
|||
Т.к. ток в цепи постоянный, то справедлив закон Джоуля-Ленца в виде: |
|||||||||
Q = I 2 Rt |
|
|
|
|
|
(3) |
|||
Для первого случая: Q = I 2 R t |
(4) |
||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||
Для второго случая: Q = I 2 R t |
(5) |
||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
По условию задачи, подставляя (1) и (2):
10