Тема 7.С.Л.Р.Метод Гаусса- виключ.невідомих

рівняння. Запишемо перетворену систему:

x 2x x x 1,											x 2x			x					x 1,
	1	2			3		4					1	2				3			4
		x2 2x3 3x4 5,											x2 2x3 3x4 5,
					3x3 4x4 6.															4
																	x3 3 x4 6.
Крок 3. Виключимо невідомий x3											із ІІ -го та І -го рівнянь. Для цього
замість невідомого				x3			підставимо в І -е					та	ІІ -е					рівняння вираз, який
знаходиться у правій частині третього рівняння:
														4
										x1 2x2					x4				6		x4 1,
														3
x 2x x					x 1,
1		2	3				4							4
	x2 2x3 3x4 5,											x2	2				x4			6 3x4 5,
					4									3
		x3 3 x4 6.												x3				4	x4 6.
																	3
Крок 4. Перенесемо з лівої частини ІІ -го													та	І -го рівнянь невідомий x4

та числа, біля яких немає невідомих, у праву частину рівнянь. у правій частині рівнянь зведемо подібні.

		4									x 2x							1
x1	2x2		x4					6	x4 1,										x 5,
		3
												1	2				3		4
		4
															1
	x2 2					x4 6			3x4 5,				x2				x4 7,
		3													3
		x					4	x 6.							x3					4	x4 6.
		3						4
						3													3
Крок 5. З другого рівняння виразимо невідомий														x2				через невідомий x4 .
Виключимо невідомий x2									з І -го рівняння. Для цього замість невідомого x2

підставимо в І -е рівняння вираз, який знаходиться у правій частині другого рівняння:

						1										1									1
x1	2x2							x4		5,			x1	2			x4			7						x4	5,
																3									3
						3
		x2		1		x4 7,												1		x4 7,
														x2
				3														3
				x3					4		x4	6.						x3			4		x4	6.
									3												3
Крок 6.		Перенесемо з лівої частини											І -го рівняння невідомий x4 та

числа, біля яких немає невідомих, у праву частину рівняння.

11

	2			1					7					1			5,								1						7					1		5,
x1						x4										x4			x1		2								x4								x4
				3										3											3											3
							1		x4 7,															1						7,
	x2																			x2							x4
							3																	3
							x3			4		x4	6.												x3						4		x4		6.
										3																					3

Крок 7. У першому рівнянні зведемо подібні в правій частині рівняння.

Виразимо невідомий													x1 через невідомий x4 :
			1									1						1
x1	2				x4			7						x4	5,	x1					x4 19,
			3										3
																		3
				1			x4 7,															1			7,
	x2																	x2						x4
				3																		3
					x3				4	x4		6.										x3				4	x4	6.
									3																	3

Відповідь. Система є невизначеною. Вона має безліч розв’язків:

x				1	x	19,
	1		3		4
							1
			x							7,
								x
			2				3	4
											4			6,
							x					x
								3			3		4
		x ( ; )
			4

Приклад 7

Розв’язати систему рівнянь:

7x 2 y 3z 1,

x y 4z 5,x 4 y 6z 6.

Розв'язання

Перетворення системи виконаємо у два етапи.

Етап 1. Виконуючи елементарні перетворення системи рівнянь, послідовно виключимо невідомі х та у з ІІ-го та ІІІ-го рівнянь, рухаючись у напрямку «зверху вниз».

Крок 1.1. Переставимо місцями перше та третє рівняння:

12

7x 2y 3z 1,			x 4y 6z 6,
x y 4z 5,		x y 4z 5,
			7x 2 y 3z 1.
x 4 y 6z 6.

Крок 1.2. Виключимо невідомий x з ІІ-го та ІІІ-го рівнянь, додавши до ІІ-го рівняння І -е.

	x 4 y 6z 6,			x 4 y 6z 6,
				3y 10z 1,
x y 4z 5,
	7x 2 y 3z 1.			7x 2 y 3z 1.

Крок 1.3. Зрівняємо коефіцієнти біля невідомого х у І -му та ІІІ -му рівняннях. Помножимо перше рівняння на 7. Віднімаємо від ІІІ -го рівняння перетворене І -е рівняння.

Запишемо перетворену систему:

1 7x 4 7 y 6 7z 6 7,

3y 10z 1,

7x 2 y 3z 1.

		x 4 y 6z 6,
		3y 10z 1,
		26 y 39z 43.

Крок 1.4. Помножимо ІІІ -є рівняння на 3, а ІІ -е рівняння помножимо на

26:
	x 4 y 6z 6,			x 4 y 6z 6,
	3 26 y 10 26z 1 26,			78y 260z 26,
	26 3y 39 3z 43 3.			78y 117z 129.

Крок 1.5. Виключимо невідомий у з ІІІ-го рівняння, додавши ІІ -е та ІІІ -є рівняння:

	x 4y 6z 6,			x 4y 6z 6,
	78y 260z 26,			78y 260z 26,
	78y 117z 129.			143z	103.

Звели систему до трикутного вигляду.

Етап 2. Розв’язувати систему почнемо з останнього її рівняння. При розв’язанні будемо рухатись у напрямку «знизу вгору».

Крок 2.1. З останнього рівняння знайдемо значення невідомого z . Підставимо це значення у друге та перше рівняння:

13

													x 4 y 6		103					6,
		x 4 y 6z 6,													143
		78y 260z 26,												78y 260						103					26,
																				143
				143z 103.
														z				103
																						.
																	143
Крок 2.2. Перенесемо з протилежним знаком числа з лівої частини
першого та другого рівнянь у їх праву частину.
	x 4 y 6		103				6,							x 4 y 6				103							6,
			143															143
						103																	103
		78y 260								26,				78y			260											26,
						143																	143
		z			103			.								z					103					.
			143																	143

Крок 2.3. Зведемо праві частини першого та другого рівнянь до спільного знаменника. З другого рівняння знайдемо невідомий у, поділивши його на 78:

	x 4 y	6 103 6 143					,			x 4 y		1476				,
				143								143
			260 103 26 143								30498
	78y							,		y
																	,
						143					78 143
			z	103		.						z		103				.
				143										143

Крок 2.4. Знайдене значення невідомого у підставимо у перше рівняння. Перенесемо число з правої частини першого рівняння у ліву його частину, змінивши знак на протилежний. Спростимо дробі, поділивши чисельник та знаменник на 6.

			30498							1476						30498 : 6						1476
	x 4											,			x 4										,
			11154							143						11154 : 6								143
	y		30498												y			30498 : 6
							,																	,
			11154															11154 : 6
				z	103				.										z	103		.
			143															143

Крок 2.5. Зведемо до спільного знаменника праву частину першого рівняння і обчислимо значення невідомого х.

14

	x 4	5083						1476					,
		1859									143
				5083
	y
											,
				1859
					z					103		.
								143

		x	4 5083 1476 13						,
				1859
				5083
			y
							,
				1859
					z	103		.
				143

Відповідь. Система є визначеною. Вона має єдиний розв’язок:

	x	1144			,
		1859
					5083
			y
								,
					1859
						z	103		.
					143

Приклад 7

Розв’язати переозначену систему рівнянь:

x y 4z 5 ,

2x 5 y 2z 1,

x 4 y 6z 6,

5x 14 y 10z 4

Розв'язання

Перетворення системи виконаємо у два етапи.

Етап 1. Виконуючи елементарні перетворення системи рівнянь, послідовно виключимо невідомі х та у з ІІ-го, ІІІ-го та IV -го рівнянь, рухаючись у напрямку «зверху вниз».

Крок 1.1. Переставимо місцями перше та третє рівняння:

x y 4z 5 ,

2x 5y 2z 1,

x 4 y 6z 6,

5x 14 y 10z 4

x 4 y 6z 6 ,

2x 5 y 2z 1,

x y 4z 5,

5x 14 y 10z 4

Крок 1.2. Виключимо невідомий x з ІІІ-го рівняння, додавши до ІІІ-го рівняння І -е.

15

	x 4 y 6z 6 ,
	2x 5y 2z 1,
		x y 4z 5,
	5x 14 y 10z 4

	x 4 y 6z 6 ,
	2x 5 y 2z 1,
		3y	10z 1,

5x 14 y 10z 4

Крок 1.3. Зрівняємо коефіцієнти біля невідомого х у І -му та ІІ -му рівняннях. Помножимо перше рівняння на 2. Віднімаємо від ІІ -го рівняння перетворене І -е рівняння.

	x 4 y 6z 6 ,
	2x 5y 2z 1,
		x y 4z 5,
	5x 14 y 10z 4

	1 2x 4 2 y 6 2z 6 2 ,
	2x 5y 2z 1,
		3y	10z 1,

5x 14 y 10z 4

	x 4 y 6z 6 ,
		3y 10z	11,
		3y 10z	1,

5x 14 y 10z 4

Крок 1.4. Помножимо І -е рівняння на 5. Віднімемо від IV –го рівняння перетворене перше :

1 5x 4 5y 6 5z 6 5 ,			x 4 y 6z 6 ,
	3y 10z 11,			3y 10z 11,
	3y 10z 1,			3y 10z 1,
5x 14 y 10z 4				6 y 20z 34

Крок 1.5. Додамо друге та третє рівняння:

x 4 y 6z 6 ,				x 4 y 6z 6 ,
	3y 10z	11,			3y 10z	11,
	3y 10z	1,			0 1,
	6 y 20z	34			6 y 20z	34

Одержали невірну рівність замість третього рівняння. Відповідь. Система є несумісною. Вона не має розв’язку.

Тестові запитання для перевірки базових знань на рівні понять, означень, формулювань

по темі " Метод виключення невідомих (метод Гаусса) "

Всі відповіді обґрунтувати.

1. Якщо невідомий виключено у рівнянні системи, тоді: а) коефіцієнти біля невідомого дорівнюють нулю; б) коефіцієнти біля невідомого не дорівнюють нулю; в) інша відповідь (дати свою відповідь).

2. Скільки невідомих містять системи. Записати ці системи, вказавши

16

всі невідомі у кожному з рівнянь. Для цього у кожному з рівнянь біля невідомих, які відсутні у запису рівняння, виставивши коефіцієнти: а) нулі: б) інші числа; в) інша відповідь (дати свою відповідь). Розв’язати системи методом Гаусса – методом виключення невідомих.

а)

в)

	x 3
x 2 y 1 ;
y 4z 8
	2x y 3
	z 4 ;

4x 2 y 6

	x z 0
б) 3x 2z 1;
	5z 4

5x 3y 4z 1
г)	z 0 .
	y 3

3.	Яка із систем завжди має єдиний розв’язок:
а) квадратна;		б) трикутна;	в)
трапецієподібна;
г) інша відповідь (дати свою відповідь).
4.	Сумісна система має:
а) єдиний розв’язок;		б) немає розв’язку;	в) має безліч розв’язків;
г) інша відповідь (дати свою відповідь).
5.	Несумісна система має:
а) єдиний розв’язок;		б) немає розв’язку;	в) має безліч розв’язків;
г) інша відповідь (дати свою відповідь).
6.	Визначена система має:
а) єдиний розв’язок;		б) немає розв’язку;	в) має безліч розв’язків;
г) інша відповідь (дати свою відповідь).
7.	Невизначена система має:
а) єдиний розв’язок;		б) немає розв’язку;	в) має безліч розв’язків;
г) інша відповідь (дати свою відповідь).

8. Розв’язати систем методом виключення невідомих і встановити, яка із систем є сумісною, несумісною, визначеною, невизначеною:

а) 7x 3y 5	;	б) 7x 3y 5	;	в) 7x 3y 5 .
14x 6 y 10		14x 6 y 8		14x 2 y 10

9. У якої системи кількість рівнянь не співпадає з кількістю невідомих:

а) квадратна;	б) трикутна;	в) трапецієподібна;
г) інша відповідь (дати свою відповідь).
10. Розв’язком системи називають:
а) впорядкований набір чисел;		б) довільний набір чисел;

в) інша відповідь (дати свою відповідь).

11. Розв’язком системи називають впорядкований набір чисел, які при підстановці у рівняння системи замість невідомих перетворюють:

а) деякі з рівнянь системи на тотожності;		б) всі рівняння системи
на тотожності;	в) інша відповідь (дати свою відповідь).
12. При підстановці у рівняння певних числових значень замість
невідомих рівняння перетворюється на тотожність,		якщо при обчисленні в

17

його лівій та правій частині одержуємо:
а) рівні числа; б) різні числа; в) інша		відповідь (дати	свою
відповідь).
13. Яке з вказаних рівнянь при підстановці набору чисел (–2;			3; 1)
перетворюється на тотожність:
а) 5x 3y 4z 1;	б) 5x 3y 20z 1;	в) інша відповідь (дати
свою відповідь).
14. Розв’язком якого з рівнянь є набір чисел (– 1; 5; – 2 ):
а) x 4y 2z 1;	б) x y z 2 ; в)	3x y 2z 2 ;
г) інша відповідь (дати свою відповідь).
15. Які з рівнянь є рівносильними:
а) 3x 4y z 1;	б) 6x 8y 3z 3;	в) 9x 12y 3z 3 ;

г) інша відповідь (дати свою відповідь).

16. Розв’язати систем методом виключення невідомих і встановити, які з систем є рівносильними:

а) x 3y 4 ;			б) 2x 3y 5		;	в) 7x 3y 5		;
x 6 y 10			4x 6 y 8			14x 6 y 10
г) 8x 12 y 3	;		д) x 3y 2		;	е) x 5	;
4x 6 y 8			5x 15y 10			x 6 y 10
є) 2x 6 y 8				x z 3
		;	ж) 3x 2z 1.
2 y 4				3z 6

18