электротехника 3476

11

алгебраїчними операціями з комплексними числами, що істотно підвищує точність одержуваних результатів.

Рисунок 1.7 - Вектор на комплексній площині

Кожному вектору на комплексній площині відповідає визначене комплексне число, що може бути записане в :

Показовій а& = ae jψ ,

Тригонометричній a& = a cosψ + jasinψ , чи

Алгебраїчній a& = b + jc - формах.

Наприклад, ЕРС e = Em sin(ωt +ψ e ) , зображеної на рис. 1.7 обертовим вектором, відповідає комплексне число

Em e j (ωt +ψ e ) = Em cos(ωt +ψ e ) + jEm sin(ωt +ψ e ) = e′ + je

Фазовий кут (ωt +ψ e ) визначається по проекціях вектора на осі

“+1” і “+” системи координат, як

tg(ωt +ψ e ) = ee′ .

Відповідно до тригонометричної форми запису мнима складова комплексного числа визначає миттєве значення синусоїдно змінної ЕРС:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	12
.	e = Em sin(ωt +ψ e ) = Im{Eme j (ωt+ψ e ) }

Комплексне число Em e j(ωt+ψ e ) зручно представити у виді добутку двох комплексних чисел:

Eme j(ωt+ψ e ) = Eme jψ e ×e jωt = E&me jωt

123

E&m

Параметр, що відповідає положенню вектора для t=0 (чи на обертовій зі швидкістю w комплексній площини), називають

&	= Em e	jψ e	&	j(ωt+ψ e )	-
комплексною амплітудою: Em			, а параметр Em

комплексом миттєвого значення.

Параметр e jωt є оператором повороту вектора на кут wt щодо початкового положення вектора.

Взагалі говорячи, множення вектора на оператор повороту e± ja є його поворот щодо первісного положення на кут ±а..

Отже, миттєве значення синусоїдної величини дорівнює мнимої

частини без знака "j" добутку комплексу амплітуди E&m и оператора повороту e jωt :

e = Em sin(ωt +ψ e ) = Im{E&me jωt }

Перехід від однієї форми запису синусоїдної величини до іншої здійснюється за допомогою формули Эйлера:

e ja = cosα + j sin α.

Якщо, наприклад, комплексна амплітуда напруги задана у виді комплексного числа в алгебраїчній формі:

&	¢	¢¢	, то для запису її в показовій формі, необхідно знайти
Um	= U m	+ jU m

початкову фазу ψU , тобто кут, що утворить вектор U m з позитивною піввіссю +1:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

13

ψ = U ′′ tg U m Um′

Тоді миттєве значення напруги:

jarctg

U m′′

U = I {U

e

jωt

} = I

{

U ′

+ U ′′ e

U m′

e

jωt

} = U

sin(ωt +ψ )

e

&

m

m

2

m

2

m

U

m

де ψ

U

= arctg(U ′′

/U ′

).

m

m

При запису виразу для визначеності було прийнято, що Um′ > 0 , тобто що вектор знаходиться в першому чи четвертому квадрантах.

Якщо U ′

< 0 , то при U

′′

> 0 - другий квадрант:

m

m

ψ

= π − arctg

U ′′

m

,

U

U ′

а при U ′′

m

< 0 - третій квадрант

m

ψ

= π + arctg

U ′′

m

U

U ′

m

чи

′′

ψ

= −π + arctg

U

m

U

U

′

m

Якщо

задано

миттєве значення струму у виді

i = Im sin(ωt +ψ i ) , то комплексну амплітуду записують спочатку в показовій формі, а потім (при необхідності) по формулі Эйлера переходять до алгебраїчної форми:

I&

= I

m

e jψ i

= I

m

cosψ

i

+ jI

m

sin ψ

i

= I ′

+ jI ′′

m

m

m

Варто вказати, що при додаванні і вирахуванні комплексів варто користатися алгебраїчною формою їхнього запису, а при множенні і розділі зручна показова форма.

Отже, застосування комплексних чисел дозволяє перейти від геометричних операцій над векторами - до алгебраїчного над комплексами.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

14

Так при визначенні комплексної амплітуди результуючого струму i3 по рис.1. 5 одержимо :

I&3m = I&1m + I&2 m = I1m (cos ψ 1 −	j sin ψ 1 ) + I 2 m (cos ψ 2 − j sin ψ 2 ) =
= (I1m cos ψ 1 + I 2 m cos ψ 2 ) + j	( I1m sin ψ 1 + I 2 m sin ψ 2 ) = I 3 m e jψ 3

де I3m = (I1m cosψ1 + I2m cosψ 2 )2			+ (I1m sinψ1 + I2m sinψ 2 )2
	tgψ 3 =	I1m sinψ	1	+ I	2m sinψ 2	.
		I1m cosψ		+ I
			1		2m cosψ 2

Діюче значення синусоїдних ЕРС, напруг і струмів

Для діючого значення синусоїдного струму запишемо:

1

T

2

2

2 1

T

1- cosωt

1 Im2 ×T

Im

I =

ò0

Im sin

ωtdt =

Im

ò0

dt =

=

T

T

2

T 2

2

Аналогічний результат можна одержати для синусоїдних ЕРС і напруг. Таким чином, діючі значення синусоїдних струмів, ЕРС і

напруг менше своїх амплітудних значень у 2 раз:

X = X m

2

Оскільки, як буде показано дані, енергетичний розрахунок кіл змінного струму звичайно проводиться з використанням діючих значень величин, за аналогією з попереднім, уведемо поняття комплексу

діючого значення

E& = Ee jψ e = E&m = Em e jψ e

2

2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

15

2 ЕЛЕМЕНТИ КОЛА СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ. ВЕКТОРНІ ДІАГРАМИ І КОМПЛЕКСНІ СПІВВІДНОШЕННЯ ДЛЯ НИХ

Резистор

Ідеальний резистивний елемент не володіє ні індуктивністю, ні

ємністю. Якщо до нього прикласти синусоїдну напругу u = Um sin(ωt +ψ ) ( рис.2. 1), то струм і через нього дорівнює:

i = Ru = URm sin(ωt +ψ ) = Im sin(ωt +ψ )

Рисунок 2.1 - Ідеальний резистивний елемент

Співвідношення показує, що струм має ту ж початкову фазу, що і напруга. Таким чином, якщо на входи двопроменевого осцилографа подати сигнали и і і, то відповідні їм синусоїди на його екрані будуть проходити (див. рис.2.2) через нуль одночасно, тобто на резисторі напруга і струм збігаються по фазі: Um = RIm , U = RI .

Рисунок 2.2 – Графіки u, i

Рисунок 2.3 – Векторна діаграма

Перейдемо від синусоїдних функцій напруги і струму до відповідних їм комплексів:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

16

u= Um sin(ωt +ψ ) Þ U& = Ue jψ i = Im sin(ωt +ψ ) Þ I& = Ie jψ .

Розділимо перший з них на другий:

	&				jψ
	U	=	Ue			=	U		= R ,
	I&			Ie jψ				I

чи

U& = RI&

Отриманий результат показує, що відношення двох комплексів є дійсна константа. Отже вектори напруги і струму (див. рис.2.3) збігаються по напрямку.

Конденсатор

Ідеальний ємнісний елемент не має ні активного опору (провід-

dg

d

du

æ

π ö

æ

π ö

i =

=

(Cu) = C

= ωCU

çsin ωt +ψ +

÷

= I

sinç

ωt +ψ +

÷

dt

dt

dt

2

2

m è

ø

m

è

ø

ність), ні індуктивного. Якщо до нього прикласти синусоїдну напругу u = Um sin(ωt +ψ ) (див.рис.2.4), то струм i через нього буде дорівнювати:

Рисунок 2.4 - Ідеальний ємнісний елемент

Отриманий результат показує, що напруга на конденсаторі відстає по фазі від струму на π/2. Таким чином, якщо на входи двопроменевого осцилографа подати сигнали и і і, то на його екрані буде мати місце картинка, що відповідає рис.2. 5:

Um = ω1C Im = X C Im

U = ω1C I = X C I

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

17

Рисунок 2.5. – Графіки u, i	Рисунок 2.6. – Графік Xc = f(w)
Уведений параметр	X c = 1/(ωC) називають реактивним єм-

нісним опором конденсатора. Як і резистивний опір, Xc має розмірність Ом. Однак на відміну від R даний параметр є функцією частоти, що ілюструє рис. 2.6. З рис.2.6 випливає, що при f = 0 конденсатор представляє розрив для струму, а при f → ∞ , Xc = 0.

Перейдемо від синусоїдних функцій напруги і струму до відповідних їм комплексів:

u = U m sin(ωt +ψ ) Þ U& = Ue jψ

æ	π ö		Þ I& =
i = Im sinçωt +ψ +	2	÷
è		ø

æ	π ö
jçψ +		÷
Ie è	2	ø

Розділимо перший з них на другий :

&

Ue

jψ

Ue

jψ

π

U =

=

= X

e- j

2 = - jX

= Z

æ

π

ö

π

C

C

C

I&

jçψ +

÷

j

Ie è

2 ø

Ie jψ e

2

&

&

= Z C I

U

= - jX C I

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

18

Рисунок 2.7 – Векторна діаграма

В останнім співвідношенні	Z C		= - jX C - комплексний опір
конденсатора. Множення на - j = e	− j	π	відповідає повороту вектора
		2

на кут π / 2 по годинній стрілці. Отже, рівнянню відповідає векторна діаграма, представлена на рис. 2.7.

Котушка індуктивності

Рисунок 2.8 – Ідеальний індуктивний елемент

Ідеальний індуктивний елемент не має ні активного опору, ні ємністного. Нехай струм (див. рис.2.8) через нього визначається виразом

i = Im sin(ωt +ψ ) .Тоді

для напруги

на

затисках

котушки

індуктивності можна записати:

dψ

d

æ

π ö

æ

π

ö

u = -e =

=

(Li)

= ωLIm sinç

ω +ψ +

÷

= Um sinç

ωt +ψ +

÷

dt

dt

2

è

2 ø

è

ø

Отриманий результат показує, що напруга на котушці індуктивності випереджає по фазі струм на π/2. Таким чином, якщо на входи двопроменевого осцилографа подути сигнали u i i, то на його екрані (ідеальний індуктивний елемент) буду мати місце картинка, що відповідає рис 2.9. а також

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

19

Um = ωLIm = X L Im

Рисунок 2.9. – Графіки u, i Рисунок 2.10 – Графік XL=f(w)

U = ωLI = X L I

Уведений параметр X L = ωL називають реактивним індуктивним опором котушки; його розмірність - Ом. Як і в ємнісного елемента цей параметр є функцією частоти. Однак у даному випадку ця залежність має лінійний характер, що ілюструє рис.2. 10. З рис.2. 10

випливає, що	при f = 0 котушка	індуктивності			не	робить опору
струму, а при	f → ∞ , X L ® ¥
Переходячи від синусоїдних функцій напруги і струму до відпові-
дних комплексів:						π ö
	æ	π ö			æ
					è	2 ø
	u = Um sinçωt +ψ +		&	= Ue	jçψ +	÷	;
		÷ Þ U
	è	2 ø

i = Im sin(ωt +ψ )Þ I& = Ie jψ

Розділимо перший з них на другий:

æ

ψ +

π ö

j

π

&

Ue

jç

2

÷

Ue

jψ

e

π

è

ø

2

U

=

=

= X L e j

2 = jX L = Z L

I&

Ie jψ

Ie jψ

чи

&

&

&

U =

jX L I

= Z L I

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

20

Рисунок 2.11 – Векторна діаграма

В отриманому співвідношенні Z L = jX L - комплексний опір

jπ

котушки індуктивності. Множення на j = e 2 відповідає повороту

вектора на кут π/2 проти стрілки. Отже, рівнянню відповідає векторна діаграма, представлена на рис.2. 11 .

3 СПОСОБИ З’ЄДНАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ КОЛА

Послідовне з’єднання резистивного й індуктивного елементів

Рисунок 3.1 - Послідовне з'єднання R, L елементів

Нехай у вітці на рис 3.1 i = Im sin(ωt +ϕ).			Тоді :
u = uR + uL	æ	ωt +ϕ +		π	ö	=
	= RIm sin(ωt +ϕ) + ωLIm sinç			2	÷
	è				ø

					æ		ωL ö
=	R	2	+ (ωL)	2		ωt +ϕ + arctg		=
					Im sinç		÷
					è		R ø

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com