матанчик 4 идз

					11
		1	π	1	π	1	π
	a0 =		ò f (x)dx, an =		ò f (x)cos nxdx, bn =		ò f (x)sin nxdx,
		π		π		π
			−π		−π		−π

n= 1, 2,3...

2.Ряди Фур′є для парних і непарних 2π - періодичних функцій

Якщо функція f (x) парна, тобто f (− x)= f (x), то ряд Фур′є має

вигляд:

						a0					∞
									+ åan cos nx ,
						2
											n=1
	а його коефіцієнти:
	a0 =	2	π	f (x)dx,	an	=		2		π	f (x)cos nxdx, bn = 0 (n = 1, 2,3...)
		π	ò				π			ò
			0							0

Для непарної функції f (x), що задовольняє умові f (− x)= − f (x),

ряд Фур′є має вигляд:

∞

åbn sin nx ,

n=1

а його коефіцієнти:

π

a = 0; an = 0; bn = π2 ò0 f (x)sin nx dx, (n =1, 2, 3...)

3. Розклад в ряд Фур′є 2l - періодичних функцій.

Нехай функція f (x) визначена на відрізку [− l; l ], має період 2l ( l - довільне додатне число ) і на цьому відрізку є кусково-

монотонною. Рядом Фур′для цієї функції називається тригонометричний ряд

a

∞

æ

nπx

nπx ö

0

+ å

ça cos

+ b sin

÷

,

2

l

n=1è n

n

l ø

коефіцієнти якого визначаються за формулами:

a =

1

lò f (x)dx, a

=

1

l

f (x)cos

nπx

dx, b

=

1

l

f (x)sin

nπx

dx , n = (1,2,3...)

0

l −l

n

l

ò

l

n

l

ò

l

-l

-l

.

Якщо функція f (x) парна то ряд Фур′є для неї має вигляд:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

12

a0

∞

+ åan cos

nπx

,

2

l

n=1

а його коефіцієнти:

a

=

2

l

f (x)dx, a

=

2 l

f (x)cos

nπx

dx,

b = 0 n = (1,2,3...).

0

n

l ò

l ò

l

n

0

0

Якщо функція f (x) непарна,то ряд Фур′є для неї має вигляд:

∞

nπx

åbn sin

,

l

n=1

а його коефіцієнти:

2 l

nπx

a0 = 0, an = 0

,

bn =

ò f (x)sin

dx , n = (1,2,3...).

l

l

0

4. Розклад в ряд функцій, заданих на інтервалі (0; l].

Іноді маємо справу з функціями, заданими тільки на інтервалі 0 < x ≤ l . В цьому випадку можна продовжити по деякому закону функцію на інтервал − l < x ≤ 0 , а потім продовжити її на всю числову пряму періодично з періодом 2l. Продовжити функцію з інтервалу 0 < x ≤ l на інтервал − l < x ≤ 0 можна довільним способом. Найчастіше функцію продовжують парним чи непарним способом. Якщо функцію продовжують парним способом, то ряд Фур′є містить тільки косинуси і вільний член. Якщо продовжити непарним способом, то ряд Фур′є містить тільки синуси. Одержані ряди представляють на інтервалі 0 < x ≤ l задану функцію.

1.2 Аудиторні завдання

1.Дослідити збіжність рядів за необхідною ознакою збіжності:

	∞	n		∞	n +1		∞	ln n
	а) å			б) å ln			в) å
		n +1			n			n2
	n=1			n=1			n=1

Відповідь: а) розбіжний, б) може бути збіжним, в) може бути збіжним. 2. Дослідити збіжність числових рядів:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

13

а)

¥

5n

¥

n

2

в)

¥

1

г)

¥

1

1 æ

1 ö

å

n (n +1)

б) å

+

å n×5n

å

n (2n +1)

ç1

÷

n

n=1

n=1

2

n è

ø

n=1

n=1

¥

sin (π n)

¥

1

¥

1

д) å

е) å

є)

å

n3

(n +1) ln(n +1)

ln n

n=1

n=1

n=2

Відповідь: а) розбіжний, б) розбіжний, в) збіжний, г) збіжний , д) збіжний, е) розбіжний, є) розбіжний.

3. Дослідити збіжність знакозмінних рядів:

∞

2

∞

n

π

∞

n

а) å(-1)n

б) å(−1)

sin

в) å(-1)n

n

2

+1

n

3n +100

n=1

n=1

n=1

Відповідь:а) збіжний абсолютно, б) збігається умовно, в) розбіжний. 4. Знайти області збіжності степеневих рядів:

¥	xn		¥	(x + 2)n		∞	n+1 x2n−1			¥
а) å			б) å			в) å(−1)				г) å n! (x -1)n
		n			n-1			2n −1
n=1 n			n=1 n× 2			n=1				n=1

Відповідь: а)(- ∞ ;+∞); б) [− 4;0); в) [− 1;1]; г) x =1.

5.Розвинути функцію f(x)=e -x2 в ряд Тейлора за степенями x.

6.Обчислити інтеграл з точністю до 0,001

1òe−x2 dx .

0

Відповідь: 0,747.

7. Знайти зазначене число ненульових членів розвинення в ряд розв’язку диференціального рівняння при заданих початкових умовах:

y	¢¢	= x	2	+ y		2	y(-1)= 2				¢				1			(п′ять членів)
											y		(-1)= 2
Відповідь: у = 2 +							1	(х +1) +	5	(х+1)2+		15		(х+1)4+			1	(х+1)5.
							2		2			16					8
			8.		Розвинути в ряд Фур′є функцію на зазначеному інтервалі
			а) f (x)= íìπ ,					-π £ x £ 0,
						îπ - x, 0 < x £ π.

б) f(x)=x2 ; T=2l ; x[−1,1];

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

14

в)

f (x)= −x + 5, x (0, 2]

за синусами.

Відповідь:

∞

∞

m

3π

2

cos(

2 m - 1) x

- 1)

× sin mx

a ) f (x ) =

+

å

+

å

(

;

π

m

4

m =1

( 2 m - 1) 2

m =1

б ) f (x )

=

1

+

4

∞

(- 1)m

mx ;

å

cos

3

π

2

m 2

m =1

в ) f (x )

=

2

∞

5 - 3 × (- 1)m

π mx

å

sin

.

π

m

2

m =1

1.3 Індивідуальні завдання

1.3.1 Дослідити збіжність ряду за необхідною ознакою збіжності:

∞ ln n

∞

n

∞

1

∞

æ 1

ö

1.

å

2.

åarctg

3. ån × arctg

ç

÷

n

+1

n

n=1n3 n

n=1

n=1

4. ån ×

çen

-1÷

n=1

è

ø

∞

n

+ 4

∞ æ

1+ n2

ö

2

∞

1

∞

nπ

5.

åln

7. åarccos

8. åtg

n=1

n

ç

÷

n=1

n

n=1 1+ 4n

6. åç

1+

2n

2

÷

n=1

ø

è

(n -1)3

12.

∞

1

∞

2n +1

∞

9.

å

10. å

11.

å

∞

1

5

n=2 lnn

n=1 n

n=1n3 + 5n2 + 3

ån × arctg

n=1

n

∞

−n

∞

∞

4

∞

π

5

1

13.

å

14.

å

15.

åarcsin

16.

åsin

2

n

2n

n=1n2 +1

n=1 n4 +1

n=1

n=1

∞ ln n

∞

æ

1

ö

∞

∞

æ

1

ö

1+ 9n

17.

å

n

18.

ålnç1

+

÷

19.

å

20.

ålnç1+

÷

16n + 3

n3

n=1

n=1

è

n2 ø

n=1

n=1

è

ø

∞ n3 +1

22.

∞

æ

1000 ö

∞

1

21.

å

∞

π

23.

ålnç1 +

÷

24. ån2 (e

n2

−1)

n

n

n=1 n

n

å

2

×sin

n=1

è

ø

n=1

3

n

∞

1

n=0

∞

1

∞

3n2 + 2

∞

æ

1

ö

25.

å

28. å

n+4

26. å

27. å(n

+1)

× ç

2n+1

-1÷

10

2

1+ 5n

+ 2n

n=1

n=1

n=1

ç

÷

n=1 n

è

ø

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

15

	∞	5n × n	∞			n +1
				n
	29. å		30. å			ln n
		3n
	n=1		n=2

1.3.2 Дослідити збіжність числових рядів за допомогою достатніх ознак збіжності:

∞ n!(2n +1)! 1.а) å ( )

n=1 3n !

∞ 4n−1

2.а) å ( ) n=1 n -1 !

∞

n!

n

3.а) å

3n + 2

n=1

¥

(3n + 2)!

4.а) å

10 + n2

n=1

∞

2n!

5.а) å

n=1

2n + 3

∞

3n × 4−n

6.а) nå=1 (n +1)

∞ (2n + 3)!

7.а) å

(3n)!

n=1

∞

2n n !

8.а) å

nn

n=1

4n × 3

∞

n2

9.а) nå=1 (n -1)!

∞

(n +1)!

10.а) å

nn

n=1

	∞	π
	11.а) ån!sin
		2n
	n=1

∞	æ n + 1			ön2
б) å ç			n	÷
n=1	è			ø
∞			n n+2
б) å
		(2n2 +1)n / 2
n=1
∞	æ		2n		ön2
б) å	ç				÷
			4n +
n=1	è			3 ø

∞

б) å 2n−1e−n

n=1

∞

æ

n

ön3

б) å

ç

÷

n=1è 3n -1ø

∞

2 n+1

б) å

nn

n=1

∞

æ

n

ön/ 2

б) å

ç

÷

3n +

1

n=1

è

ø

∞

æ

2n

ö2n+1

б) å

ç

÷

n=1

è

3n +1ø

∞

æ

n +1 ön2

б) å

ç

÷

2n +

n=1

è

3 ø

∞

1

æ

n

ö−n2

б) å

ç

÷

1

n=1 3n

è n +

ø

∞

æ

2n + 3 ön2

б) å

ç

n +

1

÷

n=1

è

ø

в)

в)

в)

в)

в)

в)

в)

в)

в)

в)

в)

∞

n

å

n=1 2n2

2

∞

n

å

n

n=1

∞

ln n

å

n(ln4 n +1)

n=1

∞

arctg 5n

å

n2 +1

n=1

∞

arctgn

å

(1 + n2 )

n=1

∞ ln n

å

n

n=1

∞

earctg n

å

1+ n2

n=1

∞

ln n

nå=1

n(ln4 n + 4)

∞

1

nå=2

n × ln(n)

∞ 52−n3 × n2

å

n=1

å∞ arctg −2 n n=1 (1 + n2 )

¥

1+ 3n

г) å

n=1 2n3 -1

∞

3n

г) å

(5n - 2)3

n=1

∞

1+ n3

г) å

n=11+ n4

∞

1

г) å

n=1

n +10

∞

n +1

г) å

n=1 n3

∞

1

г) å

(2n)2

n=1

∞

n

г) å

n=1(n2 + 5)

∞

n2 + n

г) å

n=1 n5 + 2

∞

n

г) å

n=1

n3 + 2

г) å

- 2

n

∞

n=1

n2

∞

3

г) å

n3

n=1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∞

(n!)2

12.а) å

n × (2n)!

n=1

∞ 2n

13.а) å

n=1 n!

∞

n!

14.а) å

(3n)!

n=1

∞

n!

15.а) å

n=15n+1

∞

(n + 2)!

16а) å

(n !)2

n=1

∞

n 2+1

17.а) nå=1

(n +1)!

∞

6n (n2 -1)

18.а) å

n!

n 1

=

∞

n!

tg

1

19.а) å

2n

5n

n=1

∞

n + 5

20.а) å

n!

n=1

∞ (2n + 3)!

1

21.а å

×

3n + 5

2

n

n 1

=

¥

10n

22.а) å

(2n)!

n=1

∞

2n(n +1)

23.а) nå=1

(n -1)!

∞

(n!)2

24.а) å

2n2

n=1

16

	∞	æ	4n - 3	ön2
	б) å	ç		÷
			5n + 1
	n=1	è		ø

∞ æ n + 2 ön2 б) å ç ÷

n=1 è 3n -1ø

∞ æ 2n2 +1ön2 б) å ç ÷

n=1 çè n2 +1 ÷ø

∞ arctg2n n2

б) å

nn+1

n=1

б)

∞

æ

n

ön2

n

× e2

å

ç

÷

+1

n=1

è n

ø

∞

æ

ln n ö2n

б) å

ç

÷

n=1 è n +1ø

∞

æ

1

ön2

б)

å

4−n ç1 +

÷

n

n=1

è

ø

∞

cos n+1 π n

б) å

nn−2

n=1

∞

æ1 + n ön /3

б) å

ç

÷

n

n=1 è

ø

∞

n

n

б) å

n=1 2n+2

б)

¥

æ ln n ön

å

ç

÷

n

n=1 è

ø

б)

∞

æ

n

ön2

n

å

ç

÷

× 2

+1

n=1

è n

ø

б)

∞

æ n + 1 ön+2

å

ç

÷

+ 2n

n=1

è1

ø

∞

e−

n

в) å

n=1

n

∞

ln2 n

в) å

n=1 n(ln6 n + 9)

в)

∞

2arctg n

å

(1 + n2 )

n=1

∞

n

в) nå=1

n(ln2 n + 7)

∞

7

в)

å

nln3 n

n=2

∞

5arctg n

в) å

1+ n2

n=1

∞

6−arctgn

в) å

n2 +1

n=1

∞

ln2 / 3 (n - 2)

в) å

( n - 2 )

n=3

∞

arctg 5n

в) å

n2 +1

n=1

∞

2

в)

å

nln5 n

n=2

∞

5

ln(n +1)

в)

å

(n +1)

n=2

∞

n

3

в) å

n=1 2n4 +3

∞

1

в) å

n=1

n × 3 n

∞

n

г) å

n=1 n2 + 5

∞

n +1

г) å

n=1

3 n + 2

∞

n + 3

г) å

4n3 + n

n=1

∞

n + 4

г) å

n=1 2n + n3

∞

1

г) å

n=1 n 4 n

∞

n2 + 8n

г) å

5n4 + 3

n=1

¥

n +1

г) å

n=1 n 3 n

∞

1+ n3

г) å

1+ n2

n=1

¥

5

n

г) å

n+ 4

n=1

¥

4n - 2

г) å

(n2 +1)n

n=1

¥

n + 6

г) å

n=1

n + 3

¥

n +1

г) å

n=1

6 n

∞

n3 + 8

г) å

n4 + 2n + 3

n=1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

17

∞					nn
25.а) nå=1
			(2n + 3)!
∞					(n -1)!
26.а) å
				4n (n +1)!
n=1
∞					(3n)!
27.а) å
					2n2
n=1
∞				n5
28.а) nå=1
	(2n)!
∞					n!
29.а) å
		n4 +1
n=1
∞					n +1
30.а) å
		2n (n -1)!
n=1

∞

æ n +1ö−n2

n

б) å

ç

÷

× e

n=1è n

ø

∞

æ n +1

ö2n

б) å

ç

÷

× 3−n

- 3

n=1

è n

ø

∞

æ n +1ön2

б) å

ç

n

÷

n=1 è

ø

∞

æ

n

ön2

б) å

ç

÷

× 3n

+ 1

n=1è n

ø

∞

æ 2n2

+1ön

б) å

ç

÷

ç

1+ n

÷

n=1 è

ø

∞

æ 2n -1

ö

n

2

× 4−n

б) å

ç

÷

n=1

è 1 + 3n

ø

∞

ln n

в) å

n(ln2 n + 4)

n=1

∞

n

2

в) å

n=1 3n3 +6

∞

ln5 n

в)

å

n

n=2

в)

∞

1

å

(1 + n2 )arctgn

n=1

в)

∞

ln5/ 2 (n -1)

å

n -1

n=2

∞

e−2

n

в) å

5 n

n=1

1.3.3 Дослідити збіжність знакозмінних рядів:

	∞		1
	г) å
			2n
	n=1
	¥				n2 +1
	г) å
	n=1 n4 + 2n
	∞			2n +1
	г) å
		(n2 +1)5
	n=1
	¥					n
	г) å
	n=1 n3 + 3
	∞		n2 + 2n -1
	г) å
	n=1				n3 n
	∞					n
	г) å
					n5 +1
	n=1

∞

(-1)n

n

3

1.а) å

(n +1)!

n=1

∞

æ

n

ön

2.а) å

(-1)n+1ç

÷

2n +

1

n=1

è

ø

∞

(-1)n+1

n

3

3.а) å

2n

n=1

∞

(-1)n 2n2

4.а) å

n4 - n2 +1

n=1

∞

n

5.а) å

(-1)n

sin3

n=1

3n

∞

(-1)n n + 2

6.а) å

n=1

4n

б) å (-1)n+1 2n +1

∞

n=1

n(n +1)

∞

(-1)n+1

б)

å

ln(n +1)

n=2

∞

(-1)n

б)

å

n × ln n

n=2

∞

(-1)n

б) nå=3

(n +1) ln(n +1)

б) å (-1)n n +1

∞

n=1

n3

∞

(-1)n

б)

å

nln(2n)

n=3

¥

(-1)n

n

в) å

2n + 9

n=1

∞

(-1)n

2

n

в) å

n +1

n=1

∞

(-1)n cos

π

в) å

6n

n=1

в) å (-1)n 2n -1

∞

n=1

3n

∞

n

в) å (-1)n

n2 +1

n=3

∞

(-1)n

n

в) å

ln n

n=3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∞

(-1)n

1

7.а) å

4n (2n +1)

n=1

∞

(-1)n+1

8. а) å

n=1 n 4 2n + 3

∞

(-1)n arctg n

9. а) å

n=1

n2 +1

∞

(-1)n

sin(n

n )

10.а) å

n=1

n

n

∞

(-1)n

2 - 3n

11. а) å

(n +1)!

n=1

∞

(-1)n

12. а) å

(2n +1)22n

n=0

∞

2n + 1

13.а) å (−1)n

(n2 + n +1)3

n=2

∞

(-1)n−1

14. а) å

(n +1)22n

n=1

∞

(-1)n

æ

n +1 ön

15. а) å

ç

÷

n=1

è

3n - 2 ø

∞

(-1)n

1

16. а) å

nln4 n

n=2

∞(- )n n + 2

17.а) å 1 n+15

n=1

	∞	(-1)n			2n
	18. а) å
				(n +1)!
	n=1
	∞	(-1)n	sin 2				n
	19. а) å
	n=1			2n
	∞	(-1)n+1			n	2	+1
	20. а) å
						3n
	n=1

18

∞

(-1)n

æ n -1

ön

б) å

ç

÷

n=2

è n +1

ø

∞

б) å (-1)n+1 ln(n +1)

n=1

n +1

∞

(-1)n

æ

n +1

ön

б) å

çarcsin

÷

n

n=3

(-1)n

è

ø

б)

∞

å

4n - 3

n=1

б) å (-1)n+1 n + 5

∞

n=1

n(n + 2)

∞

æ

n

ön

б) å

(-1)nçarcsin

÷

n

+1

n=3

è

ø

∞

(-1)n(4 + 2n)

б)

å

n2 + 3n -1

n=0

б)

∞

(-1)n

å

1+ 3n

n=0

∞

(-1)n

б) nå=0

(2n +1)

б) å (-1)n 2n -1

∞

n3

n=1

n

∞

n

3

+ 8

б) å (-1)n

n4 + 2n + 3

n=1

б) å (-1)n+1 n + 5

∞

n=1

n(2n -1)

б) å (-1)n 3n + 2

∞

n

n=1

n

∞

(-1)n

б)

å

n × ln n

n=2

∞

(-1)n 22n+1

в) å

n=0 (2n +1)

∞

(-1)n

3

n

в) å

n + 2

n=1

∞

(-1)n

n

2

+ n

в) å

2n2 + 3

n=1

∞

(-1)n

n!

в) å

n=1

2n + 3

∞

(-1)n

n

в) å

ln(n +1)

n=3

∞

(-1)n cos

1

в) å

n=1

n 3

∞

(-1)n

2

n

в) å

3n + 4

n=1

в) å (-1)n n + 2

∞

n=3

ln n

в) å∞ (-1)n

3n +1

4n + 5

n=1

∞

(−1)n

5 − n

2

в) å

n2 + 3n −1

n=1

∞

(−1)n

n

2

+ 1

в) å

4n2 − 5n + 3

n=1

∞

(-1)n

n!

в) å

2n + 9

n=1

в) å∞ (− 1)n

n

n=3

5n2

+ 7

∞

(-1)n cos

π

в) å

2n

n=1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

19

∞

n

∞

n ln(n -1)

∞

5

n

21. а) å

(-1)

б) å

(-1)

n

-1

в)

å

(-1)n

4n - 2

n=1

(n +1) 4 n

n=3

n=1

∞

5

∞

n

n +1

∞

2

22. а) å

(-1)n

n

б) å

(-1)

в)

å

(-1)n

n -

2n

4

(2n)!

3n

n

n=1

n=1

n=1

5n2 + 3

∞

æ

2n -1ön

∞

(-1)n+1

∞

n

n!

23.а) å (-1)n ç

÷

б) å

в)

å

(-1)

(n -1)!

3n +1

ln(2n -1)

n=1

è

ø

n=2

n=1

∞

(-1)

n

∞

(-1)n

2

∞

(-1)n

n + 3

24.а) å

б) å

в)

å

ln(n +1)

n

n=1 4n3 + 6n -1

n=1

n=1

∞

(-1)n (n2 + 3)

∞

(-1)n+1

в)

∞

(-1)

n 4n +1

25.а) å

å

б) nå=1 (n + 2) ln(n + 2)

5n + 3

n=1 n5 - n3 + 4

в)

n=1

26.а) å (-1)n+1 n + 2

∞

(-1)

å (−1)n cos

π

∞

б) å

n

∞

2(n + 1)

6

n

n=1

n=1

7n + 4

n=2

	27.а) å∞ (-1)n				2n -1
				(n + 2)!
	n=1
						(n +1)
	∞	(-1)n	2		n
	28.а) å
	n=1			(n -1)!
	∞	(-1)n				2
	29.а) å
			nln3 n
	n=2

∞

(-1)n

n

∞

(-1)n

n!

б) å

в) å

(3n + 4)(2n -1)

n=1

n=1

n + 2

∞

(-1)n

3+

n

∞

(-1)n

2n

б) å

в) å

n=1

n n

n=3

n2 + 3

∞

3

∞

n

n!

б) å

(-1)n

2n

- n

в) å

(-1)

n!+2

3n4 - 2n + 4

n=1

n=1

30.а) å (−1)n	(n −1)!		∞	(-1) (n + 2)		∞	n		2n
∞			б) å	n		в) å	(-1)
n=1	4n (n + 1)!
				3 - n2					+ 3n
			n=0			n=1	1

1.3.4 Знайти області збіжності степеневих рядів:

	∞		(3n - 2)(x - 3) n		∞		n2		n
	1.а) å				б) å	3		x
			(n +1)2 2n+1
	n=1				n=1
	∞		(x - 5)n		∞	(x + 2)n
	2.а) å				б) å
		(n + 4)ln(n + 4)				2n n2
	n=1				n=1

	∞	(n + 5)(x + 2)n
	в) å
		n(2n -1)
	n=1

∞
в) nå=1 n n+!2	(x -1)n

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	∞	7n - 3			n
	3.а) å				(x -1)
		n n
	n=1

	∞		n +1		(x + 6)n
	4.а) å
	n=1		4n
	∞
				n +1			(x + 3)n
	5.а) å
				n
	n=1		3
	6.а) å∞ (n + 2)!xn
	n=1

∞ (x - 4)n

7.а) å

nln3 n

n=2

∞

(x − 7)n

8.а) å

(2n2 + 5n) 4 n

n=1

∞ 4n -1

n

9.а) nå=1

(x

- 3)

(n +1)!

∞

n

2

+1

(x + 4)n

10.а) å

n=1

5n

∞ n2(x - 3)n

11.а) nå=1

(n4 +1)

2

∞

3n (x + 6)n

12.а) å

n=1

(1+ 4n)5n

∞

5n xn

13.а) å

(2n +1)2 3

n=1

∞

(x -1)n

14.а) å

2n (n + 3)

n=0

∞

(x − 5)n

15.а) å

(n2 + 3n) 2 n

n=1

20

	∞	2n + 3	(x + 3)n
	б) å
		(n + 2)!
	n=1

∞n !xn

б) nå=1 (2n -1)

∞xn

б) nå=1 (2n +1)!

∞(x + 2)n

б) nå=1 (2n +1)3n

∞ xn

б) å 5n

n=0

∞

(n + 2)!xn

б) å

n=1 n2 + 5n + 4

∞

xn

б) å

n(n + 3)

n=1

∞

(x + 2)n

б) å

nln n

n=2

∞

(x + 2)n

б) å

n=1

3n3 − 2n + 4

∞

n5(x - 5)n

б) å

(2n)!

n=1

∞

(n -1)!

n

б) å

x

2n+1

n=1

∞

(x + 7)n

б) å

4 n6 + n + 1

n=0

∞

xn

б) å

7 n6 + 5n

n=0

∞

в) å n!xn

n=1

∞

(x − 3)n

в) å

3 n2 − n + 2

n=1

∞

2n xn

в) å

n + 5

n=1

∞

4

n

(x

n

в) å

-1)

n2 + 2n -1

n=1

∞

(x + 2)n

в) å

5 4n3 + n

n=1

∞

4n xn

в) å

(1+ n)5n

n=1

∞

(x + 4)n

в) å

3 n + 7

n=1

∞ (x -1)n

в) nå=1 (2n)!

в) å∞ (n -1)!xn

n=1

∞

n +1

xn

в) å

2n (n2

+

1)

n=1

∞

(x - 2)n

в) nå=1

(n +1)ln(n +1)

∞

(n -1)!

n

в) å

x

4n + 5

n=1

∞ n3(x -1)n

в) nå=1 (n + 3)! .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com