M04235_1

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

3.14Завдання Д.5. Застосування принципу Д’Aламбера длявизначення реакцій опор при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі

Тіло, що складається з пластин, дисків, стержнів і матеріальних точок, прикріплених до вала АВ=L=1 м, обертається навколо нерухомої осі за законом (t), в якому відповідно до варіанта прийнято

=10 рад/с або =10 рад/с2 (рис. 3.10).

Використовуючи метод кінетостатики (принцип Д’Аламбера), знайти повні і додаткові динамічні реакції в опорах вала, а також, у

разі прискореного обертання, знайти ще й крутний момент Моб. Закони руху, розміри тіл і їх маси наведено в таблиці 3.7.

Таблиця 3.7

№	,				m1	m2		m3	l1	l2	l3		a	b	,
вар.		рад					кг				м				град.
1		t			5	10		5	0.3	0.5	–		0.5	0.3	–
2		1		t2	6	10		–	0.7	0.25	–		0.3	0.27	30
	2
3		t			7	3		5	0.3	0.5	–		0.5	0.3	–
4		1		t 2	5	15		–	–	–	–		0.4	0.3	–
	2
5		t			10	7		–	–	–	–		0.5	0.5	–
6		1		t 2	7	3		5	0.3	–	–		0.2	0.4	–
	2
7		t			5	5		–	0.4	–	–		0.4	0.2	–
8		1		t 2	6	8		6	0.6	0.85	0.4		0.2	0.2	45
	2
9		t			10	20		10	0.3	0.5	–		0.4	0.2	–
10		1		t 2	5	7		5	–	0.5	–		0.3	0.4	–
	2
11		t			10	15		10	0.4	–	–		0.3	0.2	–
															171

2 ДИНАМІКА
	Продовження таблиці 3.7
№		,				m1	m2		m3	l1	l2	l3		a	b	,
вар.			рад					кг					м			град.
12			1		t 2	5	20		–	0.3	–	–		0.2	0.3	–
		2
13			t			7	15		–	0.3	0.4	–		0.6	0.4	60
14			1		t 2	7	15		–	0.3	0.4	–		0.6	0.3	60
		2
15			t			3	5		5	0.3	0.5	0.4		0.4	0.3	–
16			1		t 2	5	10		5	0.3	0.5	–		0.4	0.3	–
		2
17			t			4	5		8	0.4	0.3	0.4		0.3	0.3	–
18			1		t 2	5	5		5	0.3	0.3	0.3		0.5	0.25	–
		2
19			t			5	15		10	–	0.3	–		0.3	0.5	–
20			1		t 2	10	7		5	–	0.42	–		0.5	0.2	–
		2
21			t			7	3		–	–	–	–		0.3	0.5	–
22			1		t 2	5	5		–	0.5	–	–		0.2	0.4	–
		2
23			t			6	6		6	0.3	0.5	0.5		0.2	0.2	37
24			1		t 2	10	20		10	0.3	0.3	–		0.3	0.3	–
		2
25			t			7	5		10	–	0.34	–		0.2	0.4	–
26			1		t 2	10	15		10	–	0.6	–		0.4	–	–
		2
27			t			5	15		5	–	0.3	–		0.25	0.5	–
28			1		t 2	7	15		5	0.3	0.4	0.3		0.2	0.2	–
		2
29			t			7	15		10	0.4	0.4	0.5		0.5	0.5	60
30			1		t 2	4	5		5	0.3	0.2	0.4		0.5	0.5	–
		2
172

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Рисунок 3.10

173

2 ДИНАМІКА

Продовження рисунка 3.10

174

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Продовження рисунка 3.10

175

2 ДИНАМІКА

Продовження рисунка 3.10

176

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Продовження рисунка 3.10

177

2ДИНАМІКА

3.15Приклад виконання завдання Д.5

Тіло складається з матеріаль-

ної точки масою m1 (тягар), яка розміщена на кінці стержня завдовжки

l1 і масою m2 та кільця з радіусом l3

і масою m3 (маса рівномірно розподілена по ободу кільця), прикріплених до вала, що обертається навколо нерухомої осі за законом

t 12 t2 рад, (рис. 3.11).

Використовуючи метод кінетостатики, знайти:

–повні і додаткові динамічні ре-

акції в опорах вала ХА, YA, ZA, XB,

YB, X AD , YAD , Z AD , X BD , YBD ;

– обертальний момент Моб, якщо:

			z
			B
		l1
	m1	m2	m3
			C
	l1 Ax
			A
	x
		Рисунок 3.11

b

l3

a

y

m1=5 кг;	m3=8 кг;
m2=2 кг;	l1=0.4 м;

Розв’язання.

Спочатку визначимо повні динамічні реакції опор.

Зв’яжемо жорстко з тілом

рухому систему координат Axyz (рис. 3.12). Визначимо активні

сили m1g , m2 g , m3g , що діють на тіло, і обертовий мо-

мент Mоб.

Згідно з аксіомою про звільнення від в’язей відкинемо верхню і нижню підшипникові опори і замінемо їх дію на тіло відповідними реакціями в’язей

X A , YA , Z A , X B і YB .

178

l3=0.2 м;

L=AB=1 м;

a=b=0.3 м;

=20 рад/c3.

z

B

YB

X B

MCz

E

Mоб

E

D

MCz

Z

A

Cn

C

D m g

2

D

m1g

C

m3g

y

n

A

YA

x

X A

Рисунок 3.12

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

До центрів мас кожного з елементів, які складають тіло, умовно прикладемо у напрямку, протилежному їх прискоренням (або складовим прискорень), сили інерції. Для тягаря, стержня і кільця відповідно сили та моменти сил інерції визначимо за такими формулами

D

m1

a1

m1

2

l1

2

m1l1

2

m1a1

m1l1 ;

m1 1 l1

t ; D

n

n

2

l1

2

2

E m2l1 2 ;

En m2

m2l1 t 2 ;

C

2

2

C m3l3 ;

n

m3

l3 m3l3 t ;

M Ez JEz 13 m2l12 ;

M Cz JCz m3l32 m3l32 2m3l32 .

Отримана система сил є довільною просторовою, тому використаємо відповідні умови її рівноваги

Fix

X A X B D

E

n

C 0 ;

(3.26)

n

Fi y

Y A Y B D

E C n

0 ;

(3.27)

Fiz Z A m1g m2 g m3 g 0 ;

(3.28)

M xi YB L m3gl3 D

E

L b C

a 0 ;

(3.29)

n

M yi X B L D E

L b

n

n

C a m1gl1 m2 g

l1

0;

(3.30)

2

M zi M об D

l1 E

l1

C

l3

M E

MC

0 . (3.31)

2

z

z

Розв’яжемо ці рівняння відносно невідомих величин.

Із рівняння (3.31) знаходимо обертальний момент відносно вертикальної осі z

179

2 ДИНАМІКА

		M													l																		l1														l			M										M
				об								D															E																		C												E
																1																2																3											z					C				z
																		1																l 2									m				l			2						1		m l 2								2m l 2
									m													m
																		4																																						3
													1													2										1										3 3														2 1											3 3
																					1													l 2									3m l							2						1			m l2
											m													m				2
														1							4															1												3 3								3				2 1
							5.5 0.16 24 0.04																																										2			0.16 20 38.93 Н м.
																																																3
	Із виразу (3.30) знайдемо проекцію реакції в опорі В на вісь x
																															b																														m						l
X	B				D									E								1																								C								m										2						1 g
																n															L																	L											1			2 L
						n
										m															2															b																														m					l
		m											2				t											1															l				m														m										2			g	1
																																								L																L
					1						2																																			1							3											1							2				L
						2				202 t 2 0.4 0.7 8																																					20 0.2 0.3																			5					2		9.81 0.4
		5
																																																																							2
						2					33.141 H.
		672t2
	Із рівняння (3.29) отримаємо проекцію реакції в опорі В на вісь y
																																									b													l	3
			B							D											E								1																	m g															C
																																									L													L								n			L
															m																							b																			l														2
							m													2							1																		l			m g											3	m						t						l		L
											1						2																					L								1							3					L						3									3

6 0.7 20 0.4 8 9.81 0.2 8 20t 2 0.2 0.3

192t2 17.904 H.

Далі з виразу (3.28) знайдемо проекцію на вісь z реакції підп’ятника А

Z A m1 m2 m3 g 15 9.8 147 Н.

180