M02753

21

б)	ò y sin xdy − x cos ydx , L – відрізок прямої від точки A(0;0)							до
	L
	точки B(π ;2π ).
11. а)	ò(x + y)dl ,					L – контур трикутника з вершинами A(1;0), B(0;1)
	L
	і C(0;0);
б)	ò(x2 y − x)dx + (y2 x + 2y)dy , L – дуга еліпса x = 3cost ,
	L
	y = 2sin t , що пробігається проти годинникової стрілки.
12. а)	ò	x2 + y2			dl , L – коло x2 + y2 = ax ;
	L
б)	ò2xydx + x2dy , L – дуга кубічної параболи від точки O(0;0)
	L
	до точки A(1;1).
13. а)	ò(x2 + y2 )dl , L – дуга розгортки кола x = a(cost + t sin t),
	L
	y = a(sin t − t cost), 0 ≤ t ≤ 2π ;
б)	òx2 ydx + x3dy , L – контур, обмежений параболами y2 = x і
	L
	x2 = y , що пробігається проти годинникової стрілки.
14. а) ò(43				− 3			)dl , L – відрізок прямої між точками A(−1;0)
			x			y		і
	L
	B(0;1);
б)	ò(2a − y)dx + xdy , L – перша арка циклоїди x = a(t − sin t),

L

y = a(1− cost), що пробігається у напрямку зростання параметра t .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

							22
15. а) ò					dl				, L – відрізок прямої між точками A(0;−2) і
	L			x2 + y2
B(4;0);
б)	ò y2dx + x2dy , L – верхня половина еліпса x = acost ,
	L
	y = bsin t , що пробігається за годинниковою стрілкою.
16. а)	ò xdl , L – відрізок прямої між точками A(0;0) і B(1;2);
	L
б)	ò(x + 2y)dx + (x − y)dy , L – коло x = 2cost , y = 2sin t , що
	L
	пробігається проти годинникової стрілки.
17. а)	ò x2 ydl ,						L – чверть кола x2 + y2 = 9 , що знаходиться у
	L
	першому квадранті;
б)	òxydx + (y − x)dy , L – дуга параболи x2 = y від точки A(0;0)
	L
	до точки B(1;1).
18. а)	ò		dl			,	L – відрізок прямої між точками			A(2;4) і B(1;3);
			x + y
	L
б)	ò ydx + xdy , L – чверть кола x = R cost ,									y = Rsin t від t1 = 0
	L					π .
	до t2				=
						2
19. а)	ò(x2 + y2 )dl , L – коло x2 + y2 = 4 ;
	L
б)	ò2xydx + x2dy , L – ламана ACB : A(0;0), C(1;0) і B(1;1).
	L

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

23

20. а)

б)

21. а)

б)

22. а)

б)

23. а)

б)

24. а)

dl

, L – відрізок прямої між точками O(0;0) і

Lò

8 - x2 - y2

B(2;2);

ò(xy -1)dx + x2 ydy , L – дуга еліпса x = cost ,

y = 2sin t від

L

точки A(1;0) до точки B(0;2).

ò

dl

, L – відрізок прямої між точками

A(0;4) і B(4;0);

(x - y)

5

L

ò(2 - y)dx + xdy , L – арка циклоїди x = t − sin t ,

y = 1− cos t ,

L

0 ≤ t ≤ 2π , у напрямку зростання параметра t .

y

dl , L – дуга кардіоїди ρ = 2(1+ cosϕ),

Lò

x2 + y2

0 £ ϕ £

π

;

2

ò(4x + y)dx + (x + 4y)dy , L – дуга кривої y = x4

від точки

L

A(1;1)

до точки B(-1;1).

ò ydl ,

L – дуга астроїди x = cos3 t , y = sin 3 t між точками

L

A(1;0) і

B(0;1);

ò(x2 - y2 )dx + xydy , L – відрізок прямої від точки A(1;1) до

L

точки B(3;4).

	ò ydl , L – дуга параболи y2 =									2	x між точками O(0;0) і
										3
	L
	æ						ö
			35			35
	Bç			;				÷	;
	ç	6			3		÷
	è						ø

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

24

ò x2 ydy − y2 xdx , L – крива x =

, y =

,

б)

cost

sin t

L

0 ≤ t ≤ π

, у напрямку зростання параметра t .

2

25. а) ò

(y2 − x2 )xy

dl , L – дуга кривої ρ = 9sin 2ϕ , 0 ≤ ϕ ≤

π

;

2

4

L

(x2 + y2 )

б)

ò(x − y)2 dx + (x + y)2 dy , L – ламана OAB : O(0;0), A(2;0),

L

B(4;2).

26. а) ò(x + y)dl , L – контур трикутника з вершинами O(0;0),

L

A(−1;0), B(0;1);

б)

ò ydx − (y + x2 )dy , L – дуга параболи y = 2x − x2 , що

L

розташована над віссю Ox і пробігається за годинниковою

стрілкою.

27. а) ò(x + y)dl , L – дуга лемніскати Бернуллі ρ 2 = cos 2ϕ ,

L

π ≤ ϕ ≤ π ;

−

4

4

б) ò ydx + 2xdy ,

L – контур ромба, сторони якого лежать на

L

x

y

x

y

прямих

+

= ±1,

−

= ±1, і що пробігається проти

3

2

3

2

годинникової стрілки.

28. а) ò

x2 + y2

dl , L – коло x2 + y2 = 2y ;

L

б)

ò(x2 + y2 )dx + (x2 − y2 )dy , L – крива y = 1−

1− x

,

L

0 ≤ x ≤ 2 , що пробігається у напрямку зростання змінної x .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

25

29. а) òxydl , L – контур прямокутника з вершинами O(0;0), A(5;0),

б)

30. а)

L

B(5;3), C(0;3);

ò dy − dx , L – перша чверть кола x = r cost , y = r sin t , що

L x y

пробігається проти годинникової стрілки.

ò(x2 + y2 )dl , L – коло x2 + y2 = 4x ;

L

б) ò ydx + xdy , L – чверть кола радіуса R с центром в точці

L

O(0;0), яка знаходиться у першому квадранті і пробігається проти годинникової стрілки.

2.8 Завдання 8

Знайти

похідну функції

u = u(x, y, z) за напрямом вектора

у точці M1 та

u(M1 ):

M1M 2

grad

1.

u = x yz ,

M1(3;1;4), M 2 (1;−1;−1).

2.

u = ex− yz ,

M1(1;0;3), M 2 (2;−4;5).

3.

u = (x2 + y2 + z2 )3 ,

M1(1;2;−1), M 2 (0;−1;3).

4.

u =

x

−

y

−

x

,

M1(2;2;2), M 2 (− 3;4;1).

y

z

z

5.

u = 5x2 yz − xy2 + yz2 ,

M1(1;1;1), M 2 (9;−3;9).

6.

u = x3 + xy2 − 6xyz ,

M1

(1;3;−5), M 2 (4;2;−2).

7.

u = 3xy2 +z2−xyz ,

M1

(1;1;2), M 2 (3;−1;4).

8.

u =

x

+

y

−

z

,

M1

(−1;1;1), M 2 (2;3;4).

y

z

x

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

26

9.u = xe y + yex - z 2 ,

10.u = ln(1+ x2 - y2 + z2 ),

11.u = x2 y + xz2 - 2 ,

10
12. u =		,
	x2 + y2 + z2 +1

13.u = 1+ x2 + y2 + z 2 ,

14.u = x2 y + y2 z - 3z ,

15.u = ln(xy + yz + xz),

16.u = (x - y)z ,

17.u = ze x2 + y2 +z2 ,

18.u = exy+z2 ,

19.u = ln(x2 + y2 + z2 ),

20.u = 3x2 yz3 ,

21.u = 5xy3 z2 ,

22.u = x y - 3xyz ,

23.u = x2 y + y2 z + z 2 x ,

24.u = ln(x3 + y3 + z +1),

25.u = tg(x2 + y4 - 2z)+ 2y + 6z ,

26.u = x2 + 2y2 - 4z2 - 5 ,

27.u = sin(x5 + y5 - 2z)+ 2y + 7z ,

	28.	u = x2 + y2 + z2 - 2xyz ,
		æ			1	ö
	29.	u = 2tgç	x -			+ 2z÷	+ y + 3z ,
		ç			y	÷
		è				ø
	30.	u = y2 z - 2xyz + z2 ,

M1(3;0;2), M 2 (4;1;3).

M1(1;1;1), M 2 (5;-4;8).

M1(1;1;-1), M 2 (2;-1;3).

M1(-1;2;-2), M 2 (2;0;1).

M1(1;1;1), M 2 (3;2;1).

M1(0;-2;-1), M 2 (12;-5;0).

M1(- 2;3;-1), M 2 (2;1;-3).

M1(5;1;1), M 2 (3;7;-2).

M1(2;1;-2), M 2 (3;-4;2).

M1(- 5;0;2), M 2 (2;4;-3).

M1(-1;2;1), M 2 (3;1;-1).

M1(- 2;-3;1), M 2 (5;-2;0).

M1(2;1;-1), M 2 (4;-3;0).

M1(2;2;-4), M 2 (1;0;-3).

M1(1;-1;2), M 2 (3;4;-1).

M1(1;3;0), M 2 (- 4;1;3).

M1(1;1;1), M 2 (0;0;0).

M1(1;2;1), M 2 (- 3;-2;6).

M1(1;1;1), M 2 (0;0;1).

M1(1;-1;2), M 2 (5;-1;4).

M1(1;1;0), M 2 (3;4;1).

M1(3;1;-1), M 2 (- 2;1;4).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

27

2.9 Завдання 9

Обчислити течію векторного поля a(M ) через зовнішню поверхню піраміди, створену площиною (p) та координатними площинами, за допомогою формули Остроградського-Гауса:

1.

a = (y − z)i

+ (2x + y)

(p): 2x + y + z = 2 .

j

+ zk ,

2.

a = xi

+ (y − 2z)

j

+ (2x − y + 2z)k

,

(p): x + 2y + 2z = 2 .

3.

a = (x + 2z)i

+ (y − 3z)

(p): 3x + 2y + 2z = 6.

j

+ zk ,

4.

a = 4xi

+ (x − y − z)

,

(p): 2x + y + z = 4 .

j

+ (3y + 2z)k

5.

a = (2z − x)i

+ (x + 2y)

(p): x + 4y + 2z = 8.

j

+ 3zk

,

6.

+ (x − y − z)

a = 4zi

j

+ (3y + z)k

,

(p): x − 2y + 2z = 2 .

7.

+ (y + z)

,

(p): 3x − 2y + 2z = 6 .

a = (x + y)i

j

+ 2(x + z)k

8.

a = (x + y + z)i

+ 2zj

+ (y − 7z)k ,

(p): 2x + 3y + z = 6 .

9.

+ (y − x)

,

(p): x − y + z = 2 .

a = (2x − z)i

j

+ (x + 2z)k

10.

a = (2y − z)i

+ (x + y)

j

+ xk ,

(p): x + 2y + 2z = 4 .

11.

+ (x − y)

,

(p): x + y + 2z = 2 .

a = (2z − x)i

j

+ (3x + z)k

12.

a = (x + z)i

+ (x + 3y)

,

(p): x + y + 2z = 2 .

j

+ yk

13.

a = (x + z)i

+ zj

+ (2x − y)k ,

(p): 2x + 2y + z = 4 .

14.

a = (3x + y)i

+ (x + y)

,

(p): x + 2y + z = 2 .

j

+ yk

15.

+ (2x − z)

,

(p): 2x + y + 3z = 6 .

a = (y + z)i

j

+ (y + 3z)k

16.

a = (y + z)i

+ (x + 6y)

,

(p): x + 2y + 2z = 2 .

j

+ yk

17.

a = (2y − z)i

+ (x + 2y)

,

(p): x + 3y + 2z = 6 .

j

+ yk

18.

,

(p): 2x + 2y + z = 2 .

a = (y + z)i

+ xj

+ (y − 2z)k

19.

,

(p): 3x + 2y + z = 6 .

a = (x + z)i

+ zj

+ (2x − y)k

20.

+ (x + y)

,

(p): 2x + y + 2z = 2 .

a = zi

j

+ yk

21.

a = 3xi

+ (y + z)

j

+ (x − z)k ,

(p): x + 3y + z = 3 .

22.

a = (3x −1)i

+ (y − x + z)

,

(p): 2x − y − 2z = 2 .

j

+ 4zk

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

28

23.

a = xi

+ (x + z)

j

+ (y + z)k

,

(p): 3x + 3y + z = 3 .

24.

a = (x + z)i

+ (z − x)

j

+ (x + 2y + z)k ,

(p): x + y + z = 2 .

25.

a = (y + 2z)i

+ (x + 2z)

j

+ (x − 2y)k ,

(p): 2x + y + 2z = 2 .

26.

a = (x + z)i

+ 2yj

+ (x + y − z)k ,

(p): x + 2y + z = 2 .

27.

+ (2y + z)

,

(p): 2x − 3y + z = 6 .

a = (3x − y)i

j

+ (2z − x)k

28.

a = (2y + z)i

+ (x − y)

(p): x − y + z = 2 .

j

− 2zk

,

29.

,

(p): 2x − y − 2z = −2.

a = (x + y)i

+ 3yj

+ (y − z)k

30.

a = (x + y − z)i

− 2yj

+ (x + 2z)k ,

(p): x + 2y + z = 2 .

2.10 Завдання 10
Обчислити	циркуляцію	векторного поля a(M ) за		контуром
трикутника,	отриманого	внаслідок	перетину	площини

(p): Ax + By + Cz = D з координатними площинами, за допомогою

формули Стокса:

1.

a = (x + 3z)i

+ (y − 2x)

j

+ (2x + z)k ,

(p): 2x + y + 2z = 2 .

2.

a = (2y − z)i

+ (x + y)

(p): x + 2y + 2z = 4 .

j

+ xk

,

3.

a = (x − z)i

+ (2y + x)

j

+ (x − z)k ,

(p): x + y + 2z = 2 .

4.

+ (x − y)

a = (2z − x)i

j

+ (3x + z)k

,

(p): 2x + y + z = 2 .

5.

+ (4x + y)

a = (3x + z)i

j

+ (y + 3z)k

,

(p): x − 2y + 3z = 6 .

6.

+ (y − x)

,

(p): x − y + z = 2 .

a = (2x − z)i

j

+ (x + 2z)k

7.

+ (x − 3z)

,

(p): x + 2y + z = 4 .

a = (2x − y)i

j

+ (x − 2y)k

8.

a = (x + y + z)i

+ 2zj

+ (y − 7z)k ,

(p): 2x + 3y + z = 6 .

9.

a = (3x + y)i

+ zj

+ (x + 3y)k ,

(p): x + 2y + 2z = 4 .

10.

+ (y + z)

,

(p): 3x − 2y + 2z = 6 .

a = (x + y)i

j

+ 2(x + z)k

11.

a = zi

+ (y − 2x)

j

+ (x + y)k ,

(p): 2x + y + z = 4 .

12.

a = 4zi

+ (x − y − z)

j

+ (3y + z)k ,

(p): x − 2y + 2z = 2 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

29

13.a = (y + z)i + (x − 2y)j + (3y − 2z)k ,

14.a = (2z − x)i + (x + 2y)j + 3zk ,

15.a = (3x − y)i + (y + 2z)j + xk ,

16.a = 4xi + (x − y − z)j + (3y + 2z)k ,

17.a = (2x + 5y)i + (y − 3z)j + yk ,

18.a = (x + 2z)i + (y − 3z)j + zk ,

19.a = (3x + 2z)i + (x + z)j + xk ,

20.a = xi + (y − 2z)j + (2x − y + 2z)k ,

21.a = (2y + 3z)i + (2x + y)j + zk ,

22.a = (y − z)i + (2x + y)j + zk ,

23.a = (3y − 2z)i + (x + 2y)j + 5yk ,

24.a = (x + y − z)i − 2yj + (x + 2z)k ,

25.a = (y + 5z)i + (2x − 3y)j + xk ,

26.a = (x + y)i + 3yj + (y − z)k ,

27.a = (y − 6z)i + (4x − 2y)j + 3xk ,

28.a = (2y + z)i + (x − y)j − 2zk ,

29.a = (x + 3y)i + (y + 2z)j + 5yk ,

30.a = (3x − y)i + (2y + z)j + (2z − x)k ,

(p): x + 2y + 2z = 4 . (p): x + 4y + 2z = 8. (p): 2x + y + 2z = 4 . (p): 2x + y + z = 4 . (p): 2x + 2y + z = 4 .

(p): 3x + 2y + 2z = 6. (p): 2x + 3y + 2z = 6 .

(p): x + 2y + 2z = 2 .

(p): 3x + 2y + 2z = 6.

(p): 2x + y + z = 2 .

(p): 2x + 2y + 3z = 6.

(p): x + 2y + z = 2 . (p): 3x + 3y + z = 3.

(p): 2x − y − 2z = −2 . (p): x + 3y + 3z = 3. (p): x − y + z = 2 .

(p): 3x − y + 3z = 3 . (p): 2x − 3y + z = 6 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

30

ЛІТЕРАТУРА

1.Будак Б.М. Кратные интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин. –

М.: Наука, 1967. – 608 с.

2.Кутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учебное пособие для студентов

вузов / В.Ф. Кутузов, Н.Ч. Крутицкая, В.Н. Медведев, А.А. Шишкин. – М.: Высшая школа, 1988. – 288 с.

3.Сборник задач по курсу высшей математики: Учебное пособие для втузов / Под ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высшая школа, 1973. – 565 с.

4.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1974. – 472 с.

5.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / Под ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышейшая школа, 1990. – Ч. 3.– 370 с.

6.Шкіль М.І. Вища математика / М.І. Шкіль, Т.В. Колесник. – К.:

Либідь, 1994. – Кн. 1, 2.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com