лекции ММ ОМД

31

разности, можно записать так:

получаем

Ограничиваясь в выражениях для производных первыми и вторыми центральными разностями, находим

для производной в направлении s.

Смешанная производная получается аналогично:

Рассмотрим применение изложенного выше подхода для конечноразностной аппроксимации частных производных. Для функции

z z x ,y

используем следующее обозначение для значений в узлах сетки x r ,ys

Поскольку z означает производную от z по х при постоянном у,

x

получаем

при этом вычислительный шаблон имеет вид

Вычислительный шаблон содержит только горизонтальные элементы, поскольку s (или у) является постоянной. Аналогично

Умножением отдельных элементов строки на каждый элемент столбца получим

Здесь все нулевые члены, за исключением центрального, опущены. Рассмотрим наиболее часто используемые вычислительные шаб-

лоны (h= k):

42. Аппроксимация эллиптических уравнений в частных производных.

В качестве иллюстрации численных методов решения уравнений эллиптического типа рассмотрим двумерное уравнение Лапласа

Это уравнение представляет установившийся режим теплопроводности через двумерное тело. Предполагается, что уравнение (1) выполняется внутри области R, окруженной границей В. Задача состоит в определении z (х, у), причем граничные условия на границе В заданы. Для упрощения сначала рассмотрим границу В в виде квадрата со стороной, равной L. Имеются три возможные способа задания величины z на границе

В.

Первый способ:

где f1 , f 2 ,g1 ,g2 — произвольные функции.

32

условиями (2) называется задачей Дирихле. Второй способ:

Задача нахождения решения уравнения (1) с граничными условиями (3) называется задачей Неймана. Третий способ:

Этому способу соответствует смешанный тип граничных условий (4), которые при специальном выборе значений коэффициентов

и	сводятся к условиям (2) и (3).
a1 ,a2 ,a3	b1 ,b2 ,b3

Для любого граничного условия, указанного выше, искомая функция определена на границе В и удовлетворяет уравнению Лапласа в пределах области, ограниченной границей В. Решение уравнения Лапласа может быть получено аналитически, однако здесь будут использованы только численные методы. Далее рассматриваются обобщения уравнений эллиптического типа, которые не могут быть решены аналитически, но могут быть решены численно с использованием излагаемых методов решения.

После того как поставлена некоторая краевая задача типа (1) с граничными условиями одного из трех типов, необходимо, во-первых, установить систему уравнений, аппроксимирующую дифференциальное уравнение эллиптического типа и граничное условие, во-вторых, определить метод решения этой системы и. наконец, определить

ошибку между решением аппроксимирующей системы уравнений и точным решением поставленной задачи. Рассмотрим способы решения поставленных вопросов.

Задача нахождения решения уравнения (1) с граничными

На рис. 10.2 показана сеть h k , покрывающая область R и включающая границу В. Нижняя правая точка имеет координаты х 0 , у0 и величина z равна z х 0 , у0 , или. Величины z в граничных

узловых точках и во внутренних узловых точках обозначены через z1 ,z2 ,..., z23 ,z24 . Для задачи Дирихле величины z0 ,z1 ,..., z14 ,z15 , соответствующие значениям функции на границе, известны и необходимо вычислить z16 ,z17 ,..., z23 ,z24 так, чтобы было

удовлетворено уравнение Лапласа.

Имеется значительное число возможных конечно-разностных представлений для уравнения Лапласа. Наиболее часто используются шаблоны

или

33

В виде уравнения последнее соотношение можно записать следующим образом:

После того как конечно-разностная аппроксимация для эллиптического дифференциального уравнения известна [т. е. для уравнения Лапласа получено соотношение (5) § 10.31, следующей задачей является эффективное решение аппроксимирующих алгебраических уравнений. В этом случае для задачи Дирихле имеем такую систему:

Здесь br ,s являются известными граничными условиями.

Пусть N — число внутренних узловых точек в строке и N + 1 — число интервалов в строке. Как и прежде, интересующей областью является квадрат. Простейшим итерационным методом решения системы уравнений является метод Ричардсона, в котором вычисления проводятся согласно формулам

Обозначения zrn,s и zrn,s 1 соответствуют n-й и (п+1)-й аппроксимациям в итерационном процессе. Начиная с допустимых величин zr0,s во внутренних узловых точках и известных величин в

граничных точках, выражение (2) используется для сглаживания влияния первоначально выбранных точек zr0,s и для вычисления

нового набора точек z 1	. Процесс вычислений является
r ,s

34

итерационным.

Решением (или интегралом) уравнения (2) называется всякая диф-

Для окончания процесса вычислений требуется выполнение усло-

ференцируемая

функция

y

x ,

удовлетворяющая

этому

вия

n 1

n

для

всех

r

и

s , где

- заданная заранее

уравнению, т. е. такая, после подстановки которой в уравнение (2)

zr ,s

zr ,s

оно обращается в тождество.

погрешность вычислений. Когда это условие выполняется, итера-

График

решения обыкновенного

дифференциального

уравнения

ционный

процесс

сходится

к

решению

конечно-разностной

называется интегральной кривой этого уравнения.

аппроксимации

уравнения

Лапласа с заданными

граничными

Решение

дифференциального

уравнения,

содержащее

столько

условиями.

Это

верно

для

выбранной

величины

h ,

независимых произвольных постоянных (параметров),

каков его

использованной для построения сети.

порядок, называется общим решением (или общим интегралом)

этого уравнения.

43.

Общая формулировка задачи Коши для обыкновенных

Геометрически

общее

решение

дифференциального

уравнения

представляет

собой

семейство

интегральных

кривых

этого

дифференциальных уравнений.

уравнения.

Уравнение,

в котором неизвестная функция входит под знаком

Частным

решением дифференциального

уравнения называется

всякое решение, которое может быть получено из общего при

производной

или

дифференциала,

называется

определенных

числовых значениях

произвольных постоянных,

дифференциальным уравнением.

входящих в общее решение.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший

Произвольные

постоянные,

входящие

в

общее

решение,

порядок

производной

(или

дифференциала),

входящей

в

определяются из так называемых начальных условий.

уравнение.

Задача

с

начальными

условиями ставится так:

найти

решение

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом

y

x

уравнения

общем случае содержит независимую переменную, неизвестную

функцию и ее производные или дифференциалы до n-го порядка

y n

f

x , y , y' , y" ,..., y n 1 ,

удовлетворяющее

дополнительным

включительно и имеет вид:

условиям, состоящим в том,

что

решение

y

x

должно

F x , y , y' , y" ,..., y n

0

(1)

принимать вместе со своими производными до (n — 1)-го порядка

В этом уравнении x

— независимая переменная,

y — неизвестная

заданные

числовые значения

x

0

, y

0

, y ' , y " ,..., y

n 1

при

заданном

0

0

0

функция, y' ,

y" ,...,

y n

— производные этой функции.

числовом значении x

x 0 независимой переменной x :

Если левая часть дифференциального уравнения (1) является мно-

y

y0 ,y'

y0' ,y"

y0" ,..., y n 1

y0

n 1 при x

x 0 . (3)

гочленом по отношению к производной максимального порядка от

Условия

(3)

называются

начальными

условиями;

числа

неизвестной функции, то степень этого многочлена называется

x0 , y0 , y0' , y0" ,..., y0

—начальными

данными

решения,

а

задача

степенью дифференциального уравнения.

n 1

Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относи-

отыскания решения y

x

дифференциального уравнения (2),

тельно старшей производной, может быть записано в виде

удовлетворяющего начальным условиям (3), — задачей с

y n

f

x , y , y' , y" ,..., y n 1 .

(2)

начальными условиями, или задачей Коши.

f x ,y

В случае уравнения первого порядка, т. е. при n== 1, получаем задачу Коши для уравнения y' с начальным условием

x x 0 , x x0 .

Геометрически задача Коши (для уравнения первого порядка) состоит в том, что из всего множества интегральных кривых, представляющих собой общее решение, нужно найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M 0 с

координатами x x 0 , y y0 .

44. Интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения методом последовательных приближений (метод Пикара).

Этот метод возник в связи с доказательством теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений. Он носит название метода Пикара.

Пусть дано уравнение

y' f x ,y

(1)

правая часть которого в прямоугольнике

x x 0 a, y y0 b

непрерывна и имеет непрерывную частную производную по у. Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

x x 0 ,	y0 x 0		y0
Интегрируя обе части уравнения от x 0			до x , получим
y	x
dy	f	x , y dx
y0	x 0
или
		x	(3)
y x	y0	f	x , y dx

x 0

Уравнение (1) заменяется интегральным уравнением (3), в котором неизвестная функция у находится под знаком интеграла. Интегральное уравнение (3) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Действительно,

35

		x
y x 0	y0	f x ,y dx y0
		x 0

Заменяя в равенстве (3) функцию у значением y1 , получим первое приближение

		x	.
y1 x	y0		f x , y0
		x 0

Затем в уравнении (3) заменяем у найденным значением и получаем второе приближение

x

.

y2 x

y0

f x ,y1 dx

x 0

Продолжая процесс далее, последовательно находим

x

y3 x

y0

f x , y2 dx ,

x 0

.......... .......... .......... .......... ..,

x

yn x

y0

f x , yn 1 dx

x 0

Таким образом, составляем последовательность функций

y1 x , y2

x

, y3

x

,..., yn

x

,

Оценка погрешности метода Пикара определяется по формуле

hn

1

(4)

y

yn

N

n

M

n

1 !

где M max

f

x , y

при

x ,y

R

, а N — постоянная Липшица для

a ,b

области R a ,b

, равная n

. Величина h для определения

max

f y '

x ,y

окрестности

x 0

h x

x 0

h

вычисляется по формуле

h

min a,

b

;

(5)

M

a и b — границы области R .

45. Интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов.

Пусть дано дифференциальное уравнение n-го порядка:

36

y n

f

x , y , y' , y" ,..., y n

1

(1)

идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными

с начальными условиями

для ряда других методов.

x

x

,y

y

,y'

y ' ,y"

y " ,..., y n 1

y

n 1

(2)

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

0

0

0

0

0

Правая часть этого уравнения есть аналитическая функция в

начальной точке

с начальным условием

M

0

x

0

,y

,y ' ,y " ,..., y

0

n 1 .

0

0

0

Представим решение y

y x

уравнения (1) в окрестности точки

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке

a,b .

x 0 в виде ряда Тейлора:

Разобьем отрезок

a,b

на п равных частей и получим последова-

тельность x 0 ,x1 ,..., x n ,

где

0,1,2,..., n ,

а h

b a

— шаг

y "

2

y '''

3

(3)

x i

x 0

ih, i

y

y0

y0'

x x0

0

x

x0

0

x x0

...,

n

2!

3!

интегрирования.

где

h , a h — достаточно малая величина. Для нахождения

x x 0

Выберем k-и участок

x

k

,x

k 1

и проинтегрируем уравнение (I):

коэффициентов ряда (3) уравнение (1) дифференцируют по

x

нужное число раз, используя условия (2).

На практике величину

x

x 0

берут

настолько

малой,

что при

требуемой степени точности остатком ряда можно пренебречь.

т. е.

46. Численное

интегрирование

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

стандартным

методом

Если в последнем интеграле подынтегральную функцию на

Эйлера.

участке

x k ,x k 1

принять постоянной

и

равной начальному

Решить дифференциальное уравнение

y'

f x ,y

численным мето-

значению в точке x

x k , то получим

дом — это значит для заданной последовательности аргументов

x 0 ,x1 ,..., x n

и числа y0 , не определяя функцию y

F x , найти такие

Тогда формула (3) примет вид

значения y1 ,y2 ,..., yn , что yi

F

x i , i 1,2,...n

и F x 0

y0 .

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения

Обозначив yk 1 yk

yk т. е.

yk ' h

yk , получим

функции y F x получить таблицу значений этой функции для за-

данной последовательности аргументов.

Величина h x h

x h 1

на-

Продолжая этот процесс и каждый раз принимая

зывается шагом интегрирования.

подынтегральную

функцию

на

соответствующем

участке

постоянной и равной

ее

значению

в начале участка,

получим

Рассмотрим некоторые из численных методов.

таблицу

решений

дифференциального

уравнения на

заданном

Метод Эйлера. Этот метод является сравнительно грубым и

применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако

отрезке

a,b [. Равенство

(4)

означает,

что

на

отрезке x k ,x k 1

интегральная	кривая	y		y x	приближенно	заменяется
прямолинейным	отрезком,		выходящим из точки			M k x k ; yk с
угловым коэффициентом f x			,y	. В качестве приближения искомой
		k		k

интегральной кривой получаем ломаную линию с вершинами в точках M 0 x0 ; y0 ,M1 x1; y1 ,..., M n x n ; yn . Первое звено касается

истинной интегральной кривой в точке M 0 x 0 ; y0 (рис. 9.2). Если функция f x ,yв некотором прямоугольнике

удовлетворяет условию

и, кроме того,

то имеет место следующая оценка погрешности:

y x n	yn			hM	1 hN n	1
				2N

где y x n - значение точного решения уравнения (1) при x x n , а y y n - приближенное значение, полученное на п-м шаге.

Формула(7) имеет в основном теоретическое применение. На практике, как правило, применяют «двойной просчет». Сначала

расчет ведется с шагом h , затем шаг дробят и повторный расчет

37

ведется с шагом h2 . Погрешность более точного значения yn оценивается формулой

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений высших порядков. Однако в последнем случае дифференциальные уравнения должны быть приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка

с начальными условиями

Приближенные значения y x i yi и z x i zi находятся по формулам

где

47.Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений модифицированным методом Эйлера.

Усовершенствованный метод Эйлера. Рассмотрим дифференциальное уравнение

			y' f x ,y	(1)
с начальным условием
			y x 0 y0	(2)
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a, b].
Разобьем отрезок [a,b]	из п равных частей точками
x i x 0 ih, i 0,1,2,..., n где	h	b a
		n

- шаг интегрирования. Сущность усовершенствованного метода Эйлера состоит в следующем: сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции

y

yi

h

y'i

i

1

2

2

в точках

x

xi

h

i

1

2

2

- с помощью формулы

y

yi

h

yi'

(3)

i

1

2

2

затем находят значение правой части уравнения (1) в средней

точке

y'

i

1

f x

i

1

, y

i

1

2

2

2

и определяют

yi

1

yi

hy'

i

1

(4)

2

Замечание. Оценка погрешности в точке x i

может быть получена с

помощью «двойного просчета»: расчет повторяют с шагом h2

и

погрешность более точного значения y* (при шаге h

) оценивают

i

2

приближенно следующим образом:

1

*

(5)

*

yi

y xi

yi

yi

3

где y x — точное решение

дифференциального

уравнения.

Усовершенствованный метод Эйлера является более точным по сравнению с методом, рассмотренным в § 9.4.

				38
			y x 0 y0	(2)
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a, b].
Разобьем отрезок [a,b]	из п равных частей точками
x i x 0 ih, i 0,1,2,..., n где	h	b a
		n

Усовершенствованный метод Эйлера — Коши. Сущность метода Эйлера - Коши состоит в следующем. Сначала определяют

вспомогательную величину
				~		1 yi hy'i		(3)
					yi
~	f x i 1	~	и по формуле
затем вычисляют y'i 1		, yi 1
					y'i	~		(4)
	yi 1	yi	h			y'i 1
						2

находят соответствующее решение.

Усовершенствованный метод Эйлера—Коши с последующей итерационной обработкой. Метод Эйлера — Коши с итерационной обработкой является более точным, чем ранее рассмотренный метод Эйлера—Коши. Сущность его заключается в том, что производится итерационная обработка каждого найденного значения yi . Вначале выбирается грубое приближение

y 0		y		i		hf x	i	,y	i	,	(6)
	i 1
затем строится итерационный процесс:
k			h							k 1	(7)
yi 1	yi	2				f xi ,yi		f xi 1 ,yi 1

Итерации продолжаются до тех пор, пока два последовательных

приближения	y k	,y	k 1	не совпадут в интересующих вычислителя
	i 1	i	1
знаках. После этого принимается					y k	y k 1	. Если после трех-
					i 1	i 1

48. Численное	интегрирование	обыкновенных		четырех итераций при выбранном значении h совпадения нужных
дифференциальных уравнений методом Эйлера-Коши.				знаков не происходит, то следует уменьшить шаг расчета h.
Рассмотрим дифференциальное уравнение				49. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
	y'	f x ,y	(1)	уравнений методом Рунге-Кутта.

с начальным условием

Метод Рунге — Кутта является одним из методов повышенной точности. Он имеет много общего с методом Эйлера.

Пусть на отрезке [а, b] требуется найти численное решение уравнения

с начальным условием

Разобьем отрезок [а, b] на п равных частей точками

x i x 0 ih, i		0,1,2,..., n ,
где
h	b	a
		n

— шаг интегрирования. В методе Рунге — Кутта, так же и в методе Эйлера, последовательные значения yi , искомой функции у

определяются по формуле

Если разложить функцию у в ряд Тейлора и ограничиться членами до /г4 включительно, то приращение функции y можно представить в виде

где производные у” (х), у’’’ (х), yIV(х) определяются последовательным дифференцированием из уравнения (1).

Вместо непосредственных вычислений по формуле (4) в методе Рунге — Кутта определяются четыре числа:

	39
чисел, т. е.
с точностью до четвертых степеней равно значению	y ,
вычисленному по формуле (4):
Таким образом, для каждой пары текущих значений xi и yi	по
формулам (5) определяются значения

по формуле (7) находится

и затем

Можно доказать, что если числам k1, k2, k3, k4 придать соответственно вес 1/6; 1/3; 1/3; 1/6, то средневзвешенное этих

40

50. Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.