метод-amo

31

32

5.2 Порядок виконання роботи

Завдання 1. Дослідження чисельних методів розв‟язування ЗДР. 1. Відповідно до варіанта завдання (див.табл.5.3) скласти програму розв‟язання диференційного рівняння двома методами:

явним методом Ейлера та вказаним у таблиці.

2. Дослідити чисельні методи розв‟язку ЗДР на стійкість і точність. Точність оцінити за правилом Рунге (5.5). Результати оформити у вигляді таблиць.

Таблиця 5.3

	Останні цифри номера студентського квитка.
Цифри		4-а		5-а	6-а
Номери	Інтервал
	а		B	Метод	ЗДР
0	0		1.0	Н	y'=cos(x+y)+2.5(x–y)
1	0		1.1	Т	у'=(1–y2)cos(x)+2.6y
2	0		1.2	Ш	y'=l–sin(x–y)+1.5(x–y)
3	0		1.3	Н	у'=1+0.8ysin(x)–y2
4	0		1.4	Т	y'=cos(2x+y)+1.5(х–у)
5	0		1.3	Ш	y'=cos(x+3y)+x–y2
6	0		1.2	Н	у'=1+0.2ysin(x)–y
7	0		1.1	Т	y'=cos(1.5x+y)+x–y
8	0		1.0	Ш	y'=0.6sin(x)–1.2y2
9	0		1.1	Н	y'=2y–x+cos(x)

Додаткові дані. Початкові умови: х0=0, у0=0. Похибка розрахунку =0.001.

У таблиці використовано позначення: Н – неявний метод Ейлера, Т – метод трапецій, Ш – метод Шихмана.

Точність обчислень оцінити методом Рунге. Вихідну величину кроку h обрати самостійно, забезпечивши стійкість обчислень. Результати обчислень оформити у вигляді таблиць.

Для прикладу розглянемо розв‟язання рівняння y'=2x+cos(y)

33

явним і неявним методами Ейлера при початкових умовах х0=0,у0=0. У результаті алгебраїзації за явним методом Ейлера заданого рівняння отримаємо

yn+1=yn + h(2xn+cos(yn)).

Обираємо крок h і розв‟язуємо рівняння при х0=0,у0=0. Зменшуємо крок удвічі і, повторивши розрахунки, оцінюємо за (5.5) похибку обчислень. Неявний метод Ейлера перетворює вихідне ЗДР до наступного вигляду:

yn+1=yn + h(2xn+1+cos(yn+1)).

Це нелінійне алгебраїчне рівняння зручно розв‟язувати на кожному кроці методом простої ітерації за формулою

ym+1n+1=ymn + h(2xmn+1+cos(ymn+1)).

Тут m, m+1 – індекси попередньої та поточної ітерації. Для початку ітерацій можна взяти значення x0n+1=xn, y0n+1=yn, отримані на попередньому кроці. Ітераційний процес вважати закінченим при здійсненні умови:

abs(ym+1n+1 – ymn+1) ,

де - похибка обчислення ( <0.001). Величину кроку h, що забезпечує задану точність ЗДР, взяти з розв‟язку рівняння явним методом Ейлера.

Завдання 2. Дослідження чисельних методів розв‟язку ЗДР при аналізі електронних схем.

Складання і розв‟язок математичної моделі схеми.

1.Набрати текст програми розрахунку вихідної реакції U(t) в заданій схемі.

2.Виконати розрахунок реакції U(t) з кроком h=0.5 , h=2 і h=3 за допомогою набраної програми або самому.

3.Набрати текст програми для розрахунку перехідного процесу

усхемі з використанням дискретної схеми заміщення реактивного елемента.

4.Обрати крок h і здійснити розрахунок за допомогою програми або самому.

34

Відповідно до варіанту (див.табл.5.4) скласти програми або алгоритми для розрахунку перехідної характеристики заданої схеми. Вважати, що вхідним сигналом є ступінчаста функція, рівна нулю при t<0 і Е - при t 0. Початкове значення напруги на С або струму у L рівні нулю.

Програма або розрахунок повинні забезпечувати знаходження точного (аналітичного) і чисельного (наближеного) розв‟язків ЗДР різними методами, а також обчислення похибки наближених розрахунків, визначеної як різниця між точним і наближеним розв‟язками.

Таблиця 5.4.

		Останні цифри номера студентського квитка
	Цифри	3-а	4-а		5-а	6-а
	Номери	Е, (В)	R, (Ом)		С, (пФ)	Схема
					або L,
					(мГн)
	0	1	1		100	Рис. 5.3
	1	2	2		110	Рис. 5.4
	2	3	3		120	Рис. 5.5
	3	4	4		130	Рис. 5.6
	4	5	5		140	Рис. 5.3
	5	6	6		150	Рис. 5.4
	6	7	7		160	Рис. 5.5
	7	8	8		170	Рис. 5.6
	8	9	9		180	Рис. 5.3
	9	10	10		190	Рис. 5.4
	Точний розв‟язок ЗДР, що описують схеми, має наступний
вигляд:
							t
	– для схеми на рис.5.3 і 5.6:				U(t) = E exp(-			),
									t
	– для схеми на рис.5.4 і 5.5:				U(t) = E (1–exp(-					)).

35

Тут - постійна часу схеми: =RC для схем на рис. 5.3 і 5.4;

=L/R для схем на рис.5.5 і 5.6

( =

1

).

MAX

Для дослідження чисельних методів розв‟язку ЗДР

пропонується

використовувати

рівняння,

отримані для

схеми на

рис. 5.3:

dUC

1

U

1

E

, U = UR = E – UC

dt

C

для схеми на рис. 5.4:

dUC

1

U

1

E ,

U = UC

dt

C

для схеми на рис. 5.5:

di L

1

i

1

E , U = UR = R iL ,

dt

L

L

для схеми на рис. 5.6:

di L

1

i

1

E ,

U = UL = E – R iL .

dt

L

L

Для алгебраїзації ЗДР слід використовувати явний

і неявний

методи Ейлера. Розрахунок проводити з постійним кроком h для трьох випадків: h=0.5 , h=2 , h=3 .

Результати розрахунків представити у вигляді таблиць і графіків. У таблицях для кожного метода і величини кроку h привести значення часу, результати точного і наближеного розв‟язків, а також похибку обчислень. Графічно представити точний і наближений розв‟язки.

Виконати розрахунок схеми за другим способом формування і розв‟язку її математичної моделі. Для цього, обравши дискретну схему заміщення реактивного елемента (див. рис.5.1, 5.2 і таблиці 5.1, 5.2), відповідну до метода трапецій або Шихмана, складіть модель схемы, що аналізується, у вигляді резистивного кола. За законами Кірхгофа запишіть рівняння кола і отримайте співвідношення для струмів і напруг у n+1 -й момент часу. Організуйте цикл за часом з кроком h і перевизначте після кожного кроку незалежні джерела у дискретних схемах заміщення. Результати розрахунку представити у вигляді таблиці і графіка.

Примітка. У процесі алгебраїзації при підстановці у неявну формулу (5.2) значень похідних, взятих у точці tn, одержується лінійне алгебраїчне рівняння вигляду Un+1=a+bUn+1, що містить значення шуканої змінної у точці tn+1 як у лівій, так і у правій частинах. Це

36

рівняння можна розв‟язувати методом простої ітерації, взявши як начальне наближення значення змінної у попередній точці tn. Однак у даному випадку раціональніше перетворити це рівняння до явного

відносного Un+1 вигляду:	Un+1 =	a
		1 b

Результати розрахунку представити у вигляді графіка і таблиці. У таблиці вказати значення часу, значення U(t), отримані з кроком h і h/2, а також похибку апроксимації.

5.3 Зміст звіту

Письмовий звіт повинен містити:

а) тему, формулювання мети й задач досліджень; б) короткі теоретичні відомості, вихідні схеми і співвідношення;

в) еквівалентні схеми і співвідношення, покладені в основу програм;

г) завдання лабораторної роботи, виконане в MathCad; д) відповіді на контрольні запитання; е) висновки за результатами досліджень.

Письмовий звіт повинен бути оформлений на комп„ютері, мати титульну сторінку із зазначенням назви дисципліни, теми лабораторної роботи, автора звіту та викладача, дати складання письмового звіту. Далі на кожній сторінці звіту в колонтитулах має міститись прізвище, ім„я та номер групи студента (верхній колонтитул), тема лабораторної роботи та номер сторінки (нижній колонтитул).

5.4Контрольні запитання

1.Запишіть диференційні співвідношення для струму і напруги

уLC-елементах.

2.Вкажіть дві форми подання систем ЗДР.

3.Дайте класифікацію методов чисельного рішення ЗДР.

4.Запишіть явну і неявну формули Ейлера, дайте пояснення.

5.Запишіть формулу трапецій, дайте пояснення.

6.Запишіть формулу Шихмана, дайте пояснення.

7.Вкажіть різницю явних методів і неявних.

8.Яке обмеження на крок має явний метод Ейлера?

9.Як оцінити похибку обчислень за правилом Рунге?

37

ЛІТЕРАТУР А ДЛЯ ДОДАТКОВОГО ВИВЧЕННЯ

1.Фельдман Л.П., Петренко А.І., Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці. – К.: Видавнича група ВНV, 2006. – 480с.

2.Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные

методы. – Бином. Лаборатория знаний, 2007 . – 640с.

3.Васильков Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 256с.

4.Численные методы. Конспект лекций для студентов специальностей 8.091 501 «Компьютерные системы и сети» и 7.091 503 «Специализированные компьютерные системы» всех форм

обучения. / Сост. А.К. Тимовский, Л.М. Карпуков, С.Н. Романенко – Запорожье: ЗНТУ, 2004. – 130 с.

5.Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни “Чисельні методи” для студентів спеціальностей 8.091 501 “Комп‟ютерні системи та мережі” та 7.091503 “Спеціалізовані комп‟ютерні системи” усіх форм навчання / Укл. А.К. Тимовський, Г.Л. Козіна, Н.В. Луценко. – Запоріжжя: ЗДТУ, 2001.- 48c.

6.Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический

практикум. – М.: Финансы и статистика, 1999.-655с.

7.Таха, Хэмди, А. Введение в исследование операций, 6-е издание.: Пер.с англ. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 912с.

8.Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. Пособие. –

М.: Наука, 1987.-320с.

9.Петров И.Б., Лобанов А.И. Введение в вычислительную математику – [Електронний ресурс] – Режим доступу:

http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/10/

10.В. Нарретер. Расчет электрических цепей на персональной ЭВМ: Пер. с нем. – М.: Энергоатом издат, 1991-220с.

11.Т.Кормен, Ч.Лейзерсон, Р.Ривест. Алгоритмы: построение и анализ.- М.: МЦНМО, 2001.- 960 с.

Додат ок А

Варiанти СЛАР

Варiант N 1
18x1 + 3x2 - 10x3 =			84
-3x1 + 10x2	-	5x3 =	-32
x1 - 3x2 +		8x3 =	69

Варiант N 2

17x1 - 3x2 - 9x3 = -165 -4x1 + 16x2 + 8x3 = 120 -8x1 + 3x2 + 18x3 = 165

Варiант N 3

7x1 + 3x2 = 31 -4x1 + 17x2 - 10x3 = -69 6x1 + 2x2 + 13x3 = 117

Варiант N 4

21x1 - 3x2 - 8x3 = 127

7x1 + 14x2 = 91

8x1 - 2x2 + 14x3 = 166

Варiант N 5

19x1 - 7x2 + 4x3 = 113

11x2 + 7x3 = 5 -3x1 - 6x2 + 16x3 = 127

Варiант N 6

15x1 - 4x2 + 6x3 = 100

4x1 + 8x2 - x3 = 72 -8x1 - 4x2 + 18x3 = -84

Варiант N 7

18x1 - 6x2 - 9x3 = 69 -6x1 + 14x2 - 4x3 = -170 9x1 + 7x2 + 26x3 = 239

Варiант N 8
9x1	+	2x2 +	3x3 =	-60
-2x1 + 14x2 -			3x3 =	-51
2x1	-	6x2 + 11x3 =		99
Варiант N 9
16x1 -		4x2 -	8x3 =	-80
-10x1 + 24x2 -			8x3 =	-6
2x1	+	x2 + 10x3 =		-2
Варiант N 10
16x1 +		3x2 -	2x3 =	66
2x1	+	13x2 -	8x3 =	86
-1x1 -		5x2 +	7x3 =	-22
Варiант N 11
20x1 -		9x2 +	4x3 =	-76
6x1	+	10x2 -	3x3 =	49
-	x2 + 10x3 = -54
Варiант N 12
18x1 -		4x2 +	9x3 =	-80
-5x1 + 20x2 +			8x3 = -152
-8x1 +		4x2 + 22x3 =		-84
Варiант N 13
16x1 -		3x2 -	9x3 =	73
3x1	+	12x2 -	5x3 =	91
-5x1 -		8x2 + 23x3 =		47

Варiант N 14

9x1 + x2 + 3x3 = 50

2x1 + 19x2 - 8x3 = -181 -8x1 - 6x2 + 18x3 = 136

Варiант N 15
4x1	-	2x2	=	36
8x1	+ 13x2 -		2x3 =		-30
-	7x2 + 13x3 =			42
Варiант N 16
16x1 +		4x2 - 10x3 =			88
-8x1 + 13x2 -			3x3	= -195
-3x1 +		x2 + 11x3 =			-14
Варiант N 17
9x1	+	x2 +	3x3 =		-86
-7x1 + 17x2			=	189
-4x1 +		2x2 + 10x3 =			44

Варiант N 18

10x1 - 4x2 + 3x3 = -15

7x2 + 2x3 = 4 -10x1 + 7x2 + 21x3 = 225

Варiант N 19
14x1 -	x2 - 3x3 = -119
-6x1 + 10x2 +		3x3 =	65
7x1 +	3x2 + 20x3 = -117
Варiант N 20
18x1 -	9x2 +	4x3 = -181
5x1 + 19x2 +		9x3 =	159
-3x1	+ 10x3 = 38
Варiант N 21
21x1 -	9x2 +	6x3 =	36
-7x1 + 24x2 -		8x3 =	-78
3x1 +	5x2 + 12x3 = -144
Варiант N 22
15x1 -	9x2 -	3x3 =	-24
-9x1 + 18x2 +		6x3 =	69
-8x1 - 10x2 + 27x3 =			-21

39

Варiант N 23
12x1	-	4x3 =		-4
-3x1 + 12x2 -		3x3	=	81
	2x2 + 11x3 =			25
Варiант N 24
10x1	- 8x3 =		32
7x1 + 22x2 +		8x3 =		54
-9x1 -	5x2 + 21x3		= -188

Варiант N 25

18x1 - 7x2 - x3 = 92 -2x1 + 15x2 - 6x3 = 128 -2x1 - 5x2 + 9x3 = -92

Варiант N 26

21x1 - 10x2 + 4x3 = 11

7x1 + 25x2 - 9x3 = 269 -3x1 - 4x2 + 8x3 = -59

Варiант N 27

14x1 + 4x2 - 6x3 = -62 -7x1 + 19x2 + 3x3 = 220

7x2 + 13x3 = 154

Варiант N 28
16x1 -		4x2 -	8x3 =		-48
-8x1	+ 13x2 -		2x3	=	56
-2x1	+	x2 + 12x3		=	30

Варiант N 29

23x1 - 10x2 + 3x3 = -232

4x1 + 23x2 - 9x3 = 268 -3x1 + 7x2 + 11x3 = -21

Варiант N 30

6x1 - x2 + 2x3 = -41

5x1 + 13x2 - 2x3 = -120

6x1 + 10x3 = -72

Варiант N 31

23x1 - 5x2 - 8x3 = -20 -4x1 + 14x2 + 7x3 = 159 5x1 - 10x2 + 19x3 = 111

Варiант N 32

11x1 + 3x2 + 4x3 = 37 -5x1 + 12x2 + 4x3 = -75 -2x1 - 9x2 + 15x3 = -164

Варiант N 33

18x1 + 7x2 - 5x3 = 10

3x1 + 20x2 + 8x3 = -13

2x1 - 5x2 + 11x3 = 134

Варiант N 34

10x1 + x2 - 7x3 = 12 -3x1 + 18x2 - 6x3 = -168 -3x1 - 4x2 + 13x3 = 113

Варiант N 35
18x1 -		x2 +	9x3	=	142
x1 + 16x2 -			7x3	=	25
-5x1	+	6x2 + 13x3 =			3
Варiант N 36
21x1 +		7x2 +	8x3 =		136
-9x1	+ 26x2 -		9x3 = -317
-10x1 +		x2 + 22x3 =			163
Варiант N 37
22x1 +		9x2 -	3x3 =		139
-9x1	+ 19x2 +		8x3 =		129
-8x1	-	7x2 + 18x3 =			-9
Варiант N 38
16x1 +		x2 -	5x3	=	-35
	7x2 + 3x3 =			-65
-10x1 -		x2 + 15x3 =			-95

40

Варiант N 39

11x1 - x2 + 5x3 = -89

x1 + 12x2 + 4x3 = -124

9x1 - 10x2 + 23x3 = -28

Варiант N 40

18x1 - 10x2 + 2x3 = -86 -7x1 + 12x2 + 2x3 = 52 -6x1 + 5x2 + 15x3 = -43

Варiант N 41
17x1 -		x2	+	6x3 =	-142
2x1	+	8x2 -		3x3 =	41
5x1	-	3x2	+ 17x3 = -187

Варiант N 42

13x1 + 3x2 + 7x3 = -82

6x1 + 24x2 + 8x3 = -270

5x1 + 2x2 + 15x3 = -113

Варiант N 43

12x1 - 2x3 = 22 -10x1 + 22x2 + 6x3 = -150

6x1 - 4x2 + 13x3 = -39

Варiант N 44

15x1 - 3x2 + 7x3 = 151 -4x1 + 9x2 + 2x3 = -102 9x1 - 3x2 + 20x3 = 116

Варiант N 45
7x1	+	2x2 +	3x3 =	49
9x1	+ 22x2 -		2x3 =	92
2x1	-	x2 + 14x3 =		75
Варiант N 46
26x1 -		8x2 +	8x3 =	6
-10x1 + 17x2 -			6x3 =	68
-1x1 +		x2 +	7x3 =	-34