Физика

51

Спектр власних значень енергії знаходиться за формулою

	En =	π 2h2n2		,	n =1,2,3,... ,
		2ma2
	а власні функції ψn (x)= Cn sin		πn x ,		0 < x < a ,
			a

де Cn - нормуючий множник. За межами потенційної ями (x < 0, x > a)

ψn (x)≡ 0 .

Рішення для потенційної ями із стінками кінцевої висоти U0 суттєво відрізняється від попереднього рішення в області x <0, x > a .

В цьому випадку існує деяка ймовірність, відмінна від нуля, проникнення частинки за стінки ями. Хвильова функція в цій області експоненційно спадає із зростанням відстані d до стінки:

ψn = An exp(− 2m(U0 − En )d / h), U0 − En > 0 .

Поряд з енергією, головною характеристикою атома є момент імпульсу. Класичне означення моменту імпульсу системи частинок

L = ∑ri pi втрачає свій зміст в квантовій механіці, тому що радіус-

i

вектор і імпульс частинки неможливо указати одночасно.

Як у класичній, так і в квантовій механіці закон збереження моменту імпульсу виникає як результат ізотропії простору в відношенні до замкненої системи. Якщо система знаходиться у зовнішньому полі, то в загальному випадку її момент імпульсу не зберігається. Але зберігання моменту проте може мати місце при певній симетрії поля, наприклад, в аксіально-симетричному полі зберігається складова моменту вздовж осі симетрії. В цьому виявляється зв’язок моменту з властивостями симетрії по відношенню до обертання. В квантовій механіці цей зв’язок стає головним змістом поняття моменту.

Момент (імпульсу) – це квантове число, яке класифікує стани системи за їх трансформаційними властивостями по відношенню до обертання системи координат. При такому розумінні моменту стає несуттєвим питання про його походження, і ми приходимо до уявлення про „власний” момент частинки, який притаманний їй незалежно від того, чи є частинка „складною” або „елементарною”.

Власний момент частинки називають її спином, на відміну від

52

моменту, що пов’язаний з рухом частинки у просторі і називається орбітальним моментом.

Позначимо орбітальний момент L . Він приймає значення, про-

порційні h: L = h l(l +1), l = 0,1,2,... .

Спин позначимо S . У електрона, як і у багатьох інших частинок (протона, нейтрона та ін.), S =h/ 2 . Спин, виражений в одиницях h, будемо позначати s . Для електрона s =1/ 2 .

МоментL та його проекція Lz на довільну вісь можуть разом мати певне значення. Можливі значення проекції Lz = hm,

де m - додатні та від’ємні цілі числа,					у тому числі нуль, такі, що
	m		≤ l .		S , то можливі значення його
			Аналогічно, якщо спин дорівнює
проекції				Sz = hσ ,

де σ приймає цілі або напівцілі від’ємні та додатні значення, починаючи з − S і далі через одиницю до S. Якщо додаються моменти двох частин системи L1 та L2 , або, скажімо, орбітальний і спиновий моменти, то результуючий момент може приймати такі значення:

L = L1 + L2, L1 + L2 −1,..., L1 − L2 .

Тепер звернемось до розгляду атома з точки зору квантової механіки. Нехай це буде атом водню – найпростіший з усіх .

Атом водню має один електрон. Потенційна енергія взаємодії електрона з ядром U = −e2 / 4πε0r ,

де r - відстань між електроном і ядром, e = 1,6 10-19 Кл, ε0 = 8,85 10-12

Ф/м. Ми не враховуємо відносно невеликий внесок в потенційну енергію, який залежить від величини і взаємної орієнтації орбітального моменту і спину (так звана спин-орбітальна взаємодія).

Потенційна енергія U залежить тільки від відстані r , тому роз- в’язання рівняння Шредингера проводять в сферичній системі координат {r,θ,ϕ}. Згідно загальним принципам квантової механіки, хвильо-

ву функцію довільного стаціонарного стану атома з енергією E шукають у вигляді суми (суперпозиції) хвильових функцій, які усі відповідають енергії E, але відрізняються значеннями орбітального l і ма-

гнітного m квантових чисел:

53

∞l

ψ(r,θ,ϕ)= ∑∑ fl (r)Ylm (θ,ϕ).

l =0 m=−l

Орбітальне квантове число задає значення орбітального моменту атома L , а магнітне число – його проекцію Lz на вісь z системи координат.

Як і слід чекати при обмеженому русі електрона в атомі, енергія

має дискретний спектр значень: E	= −E / n2	,	n = 1,2,3,... .
n	i

Ei = 13,6 еВ називається енергією іонізації атома водню. Це енергія,

яку треба надати електрону, щоб перенести його в нескінченність із стану з найменшою енергією (основного стану).

n - називається головним квантовим числом. Його фізичний зміст стане зрозумілим після аналізу характеру радіальної частини рішення рівняння Шредингера fl (r). Квантові числа n , l , m , а також

σ , складають повний набір, який вичерпно визначає стан атома водню.

Для розгляду радіальної частини зручно представити її у вигляді fl (r) = gl (r)/ r , де допоміжна функція gl (r) є рішенням рівняння, аналогічного одномірному рівнянню Шредингера з потенційною енергією Ueff (r) =U (r)+ h2l(l +1)/ 2mr2 , де U (r)- кулонівська потенційна

енергія електрона. Додаток до неї враховує вплив „обертання” електрона, якщо казати класичною мовою.

Функція Ueff (r) має мінімум, і навколо точки мінімуму її можна

розглядати як потенційну яму кінцевої глибини. Нехай значення повної енергії (Ueff )min < E < 0 , що відповідає фінітному (обмеженому)

руху.

Рівняння Ueff (r)− E = 0 визначає область руху. Якщо l ≠ 0 , воно має два корені r = r1,2 . В класичній механіці електрон може руха-

тись тільки у межах ями, коли Ueff (r)− E < 0 , між двома точками повороту, r1 < r < r2 , в яких напрямок швидкості електрона змінюється на зворотній. Квантова механіка, як ми вже казали, дозволяє знаходження електрона в області, де Ueff (r)− E > 0 , але ймовірність цього

54

швидко падає до нуля із зростанням глибини проникнення.

В точках r = r1,2 змінюється вигляд хвильової функції gl (r). Можна передбачити, що в потенційній ямі, коли r1 < r < r2 , gl (r) має

осцилюючий характер, причому чим більше енергія E , тим більше буде осциляцій на інтервалі (r1, r2 ), тобто більше число нулів N фун-

кції gl (r). Дійсно, із збільшенням числа осциляцій зростає значення похідної dgl / dr , що означає збільшення середнього імпульсу і кінетичної енергії E −Ueff (r).

За межами потенційної ями, коли r < r1 або r > r2 , Ueff (r) монотонно спадає до нуля. Додатковою умовою для визначення gl (r) є gl (0)= 0 , щоб хвильова функція fl (r) мала в точці r =0 обмежене значення.

Кількість N нулів функції gl (r) використовується для нумерації

станів атому у порядку зростання енергії при фіксованому значенні орбітального моменту l : n = N +l ,

n - головне квантове число. N ≥1, бо один нуль в точці r = 0 є завжди. Радіальну хвильову функцію, що відповідає стану з головним квантовим числом n і моментом l , позначимо fnl (r). Для основного

стану атома (n =1)

f10 (r)= Aexp(−r / a),

де а = 0,53 10-10м – боровський радіус. На відміну від цієї функції, f20 (r)= B(1−r / 2a)exp(−r / 2a)

має один нуль (N = 2). А і В – константи.

Кутову частину рішення Ylm (θ,ϕ) називають сферичними функ-

ціями. Ylm 2 визначає кутову конфігурацію „електронної хмари”. Стан

з l = 0 має сферичну симетрію:

Y00 (θ,ϕ)=1/ 4π .

Ще приклади:

Y11(θ,ϕ)= iC sinθeiϕ ,

55

Y20 (θ,ϕ) = D(1 −3cos2 θ),

C, D – дійсні сталі. Ці приклади ілюструють той факт, що залежність від ϕ відсутня, якщо проекція моменту дорівнює нулю m = 0 .

Всі стани атома, за винятком основного, є нестійкими. Атом, що знаходиться в нестійкому (збудженому) стані, через деякий час здійснює довільний перехід в стан з меншою енергією. При такому переході атом випромінює порцію електромагнітної енергії – фотон. Фотон, хоч і має хвильові властивості, в акті випромінювання (поглинання також) виявляє себе як частинка, що має певну енергію, імпульс і спин.

Згідно закону збереження енергії,

ε = Ei − E j ,

де ε, Ei , E j - енергії фотона, початкового і кінцевого стану атома.

Довжини хвиль λ , що відповідають лініям в спектрі випромінювання (поглинання) атома водню, визначаються за формулою

1/ λ = R(1/ ni2 −1/ n2j ),

в якій ni ,n j - головні квантові числа початкового і кінцевого стану, R = 1,10 107 1/м – стала Ридберга.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. При якому значенні швидкості V дебройлівська довжина хвилі мікрочастинки дорівнює її комптонівській довжині хвилі?

Розв’язок
Комптонівська довжина хвилі визначається формулою
Λ = h / m0c ,	(1)

де m0 - маса спокою частинки, с – швидкість світла у вакуумі, h – ста-

ла Планка. Довжина хвилі де Бройля
λБ = h / p ,	(2)

де p - імпульс частинки. Швидкість частинки може бути великою, тому застосуємо релятивістську формулу для імпульсу:

p = m0V / 1−V 2 / c2 .

(3)

Прирівнюючи вирази (1) і (2), із урахуванням (3) отримуємо рівняння

56

V / c = 1−V 2 / c2 ,

із якого легко знаходимо, що V = c / 2 . Відповідь: V = c / 2 .

Приклад 2. Кінетична енергія електрона в атомі водню становить величину порядка Т = 10 еВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальні лінійні розміри атому.

Розв’язок

Співвідношення невизначеностей має такий вигляд: ∆x∆px ≥ h, де ∆x - невизначеність координати електрона, ∆px - невизначеність

відповідної компоненти імпульсу, h = 1,05 10-34 Дж·с – стала Планка. Якщо атом має лінійні розміри l , то можна вважати ∆x = l .

Невизначеність імпульсу ∆px у всякому разі не повинна перевищувати значення самого імпульсу, тобто ∆px ≤ p .

Тож маємо:	l ≥ h/ ∆px ≥ h/ p ,
	lmin = h/ p

У даному випадку кінетична енергія електрона набагато менша за його енергію спокою T << E0 ( E0 = mc2 = 0,511 Мев), тому значення імпульсу електрона можна знайти за формулою

p = 2mT ,

де m = 9,1 10-31 кг – маса електрона. Після її використання отримує-

мо:

lmin = h/ 2mT .

м

[l

]=

Дж с

Дж1/ 2 с =

кг

1/ 2

с

min

=

с

= м.

кг1/ 2 Дж1/ 2

кг1/ 2

кг1/ 2

lmin

=

1,05 10−34

≈ 6 10−11 .

2 9,1

10−31 10 1,6 10−19

Відповідь: lmin ≈ 0.06 нм.

			57
	Приклад 3.		Псі-функція деякої частинки має вигляд
ψ =	Aexp(	r / a)/ r	, де r – відстань частинки від силового центру, а
	−

– константа. Знайти:

а) значення коефіцієнту А,

б) середню відстань r частинки від центру.

Розв’язок

Значення коефіцієнту А знаходиться з умови нормування

∫ Ψ 2 dV =1,

де інтегрування проводиться по всьому простору.

∞ exp(−2r / a)
1/ A2 = ∫	r2		4πr2dr = 2πa ,
0
звідки отримуємо	A =1/	2πa .

Згідно правилам квантовомеханічного усереднення,

r = ∫rψ 2dV ,

де знову ж таки інтегрування проводиться по всьому простору.

∞

r = 4πA2 ∫r exp(−2r / a)dr =− r exp(−2r / a)rr ==0∞ +

0

∞

+ ∫exp(−2r / a)dr = a / 2 .

0

Відповідь: A =1/ 2πa, r =a / 2 .

Приклад 4. Електрон знаходиться в прямокутному потенційному ящику з непроникними стінками. Ширина ящика а = 0.2 нм, енергія електрона Е = 37.8 еВ. Визначити номер n енергетичного рівня і модуль хвильового вектора k.

Розв’язок

Енергетичні рівні у ящику з непроникними стінками

58

En = π 2h2n2 , n =1,2,3,... ,

2ma2

m = 9,1 10-31 кг – маса електрона, h = 1.05 10-34 Дж·с – стала Планка. Звідси легко знаходимо, що

n = [ 2mEn a /πh].

Тут квадратні дужки виділяють цілу частину числа. Перевіримо роз-

мірність: [n]=

кг1/ 2 Дж1/ 2 м

=

кг1/ 2 м

=

кг1/ 2 м

= 1.

Дж с

( 1/ 2

)

Дж

1/ 2

с

кг

м/ с с

2 9.1 10−31 37.8 1.6 10−19

0.2 10−9

= 2 .

n =

3.14

1.05 10−34

Як легко побачити, наприклад, із вигляду хвильової функції

ψn (x) = Cn sin πan x ,

спектр значень хвильового числа (модуля хвильового вектора) такий:

kn = πn / a , n = 1,2,3,... .

У даному випадку n = 2, і

k = 2π / a .

[k]= 1/ м,

k = 2 3,14 / 0.2 10−9 = 3.14 1010 . Відповідь: n = 2; k = 3,14 1010 м-1.

Приклад 5. У яких межах повинне знаходитись значення енергії Т бомбардуючих електронів, щоб при збудженні атомів водню ударами цих електронів спектр водню мав тільки одну спектральну лінію?

Розв’язок

Для переходу атома водню із основного у збуджений стан потрібно надати йому енергію

∆En = En − E1 = Ei (1−1/ n2 ),

(1)

де n = 2, 3,... – номер збудженого рівня, Еi = 13,6 еВ – так звана енергія іонізації. Для того. щоб у спектрі випромінювання була тільки одна

59

лінія, значення кінетичної енергії бомбардуючих електронів повинно належати інтервалу ∆E2 <T < ∆E3 . Використавши (1), отримуємо

43 Ei <T < 89 Ei , або остаточно, 10.2 еВ < Т < 12.1 еВ.

Відповідь: 10.2 еВ < Т < 12.1 еВ.

Приклад 6. Знайти повний момент j і його проекцію jz для атома водню у стані з n = 2, l = 1, m = 1, σ = 1/2.

Розв’язок

Повний момент атома – це сума орбітального і спинового моментів. Згідно правилу складання моментів, можливі значення повного

моменту j1 = l − s =1−1/		2 =1/ 2 , j2 =l +s =1+1/ 2 =3/ 2 . Прое-
кція повного моменту jz		= m +σ =1+1/ 2 = 3/ 2 . Це можливо ли-
ше при значенні	j = 3/ 2 .	jz = 3 / 2 .
Відповідь:	j = 3 / 2 ,

Задачі

156 Визначити довжину хвилі де Бройля α - частинки і протона, що пройшли однакову прискорюючу різницю потенціалів U = 1кВ.

157 Використовуючи співвідношення невизначеностей ∆x∆px ≥ h , оцінити найнижчий енергетичний рівень електрона в атомі

водню. Прийняти лінійні розміри атома l ≈ 10-10 м.

158 Хвильова функція частинки має вигляд ψ(r)= Aexp(− r2 / 2a2 ), де r - відстань частинки від силового центра,

а – константа. Знайти значення А .

159 Знайти фазову швидкість плоскої хвилі, що описує стан вільної частинки.

160 Радіальна хвильова функція основного стану атома водню має вигляд f10 (r)= Aexp(− r / a), де а - боровський радіус. Знайти зна-

чення А.

161 Радіальна хвильова функція основного стану атома водню

60

має вигляд f10 (r)= Aexp(−r / a), де а - боровський радіус. Знайти середню відстань електрона від ядра.

162Потік електронів, які мають швидкість V = 1,00 106 м/с, проходить крізь щілину шириною b = 0,100 мм. Знайти ширину центрального максимуму, що спостерігається на екрані на відстані l = 10,0 см від щілини.

163Виходячи з того, що радіус атома має величину порядку 0,1 нм, оцінити швидкість руху електрона в атомі водню.

164Рішення рівняння Шредингера для нескінченої потенційної

ями має вигляд: ψn (x)= Cn sin πan x , де а – ширина ями. Знайти невиз-

начений коефіцієнт Cn з умови нормування.

165 Радіальна хвильова функція основного стану атома водню має вигляд f10 (r)= Aexp(−r / a), де а - боровський радіус. Знайти най-

більш ймовірну відстань електрона від ядра.

166 Радіальна хвильова функція атома водню в стані з n = 2, l = 0 має вигляд f20 (r)= B(1− r / 2a)exp(− r / 2a), де а - боровський радіус, В

– константа. Знайти найбільш ймовірну відстань електрона від ядра. 167 Хвильова функція частинки має вигляд

ψ(r)= Aexp(− r2 / 2a2 ), де r - відстань частинки від силового центра, а

–константа. Знайти найбільш ймовірну відстань частинки від центру. 168 Знайти фазову швидкість плоскої хвилі, що описує вільний

електрон, який рухається з швидкістю V = 0,99c (с – швидкість світла).

169 Електрон знаходиться на третьому енергетичному рівні в прямокутному потенційному ящику шириною l, що має абсолютно непроникні стінки. Знайти модуль його імпульсу.

170 Радіальна хвильова функція, яка описує рух електрону в основному стані атома водню, має вигляд: f10 (r)= Aexp(−r / a), де а - боровський радіус, А – стала. Знайти середнє значення потенційної енергії U .

171 Вважаючи, що нуклони в ядрі знаходяться в тримірному потенційному ящику кубічної форми (l = 10-14 м), оцінити найнижчий енергетичній рівень нуклонів в ядрі.

172 Хвильова функція частинки має вигляд