Статистика. Конспект лекций

41

де Sfme−1 - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу; fme - частота медіанного інтервалу.

5.3 Характеристики варіації Варіація, тобто коливання будь-якої ознаки є властивістю ста-

тистичної сукупності. Чим менша варіація, тим однорідніша сукупність, отже, тим більш надійні і типові середні величини.

Абсолютні характеристики варіації.

1. Варіаційний розмах - різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки:

R = X max − X min .

(5.5)

Недоліком цього показника є те, що він фіксує лише крайні відхилення і зовсім не враховує відхилень решти варіантів від їхньої середньої. Тому цей показник відносно нечасто використовують у практичній діяльності.

2. Середнє лінійне відхилення:

		åΙx −			Ιf
	l =			x				- зважене, якщо дані згруповані;	(5.6)
			å f
			åΙx −				Ι
	l =					x		- просте, якщо дані не згруповані.	(5.7)
			n

Середнє лінійне відхилення не завжди характеризує розсів варі-

антів.

Ступінь варіації об’єктивніше відображує показник середнього квадрата відхилення (дисперсія).

3. Дисперсія (середній квадрат відхилення): зважена:

			å(x −		)2 f
σ	2	=		x		(5.8)
			;
			å f

проста:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

42

å(x -

)

σ

2

=

x

(5.9)

n

4. Середнє квадратичне (стандартне) відхилення:

зважене:

å(x -

)2 f

σ =

x

(5.10)

å f

,

просте:

å(x -

)

2

σ =

x

(5.11)

n

.

Відносні характеристики.

При порівнянні варіації різних ознак або однієї ознаки в різних сукупностях використовуються коефіцієнти варіації V:

	лінійний:
	V		=		l		×100;	(5.12)
		l
					x

характеризує частку середнього значення абсолютних відхилень від середньої величини;

квадратичний:

V = σ

×100;

(5.13)

σ x

коливання індивідуальних значень відносно середнього в цілому по сукупності, і відповідно типовість середньої величини.

осциляції:

VR =	R			×100.	(5.14)
		x

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

43

відображає відносну коливність крайніх значень ознаки навколо середньої.

Коефіцієнт варіації є певною мірою критерієм типовості середньої. Чим менша варіація, тим менше значення цих характеристик. Для порівняння варіацій найчастіше використовують квадратичний коефіцієнт варіації. Вважають, що сукупність є однорідною, а середня - типовою, коли цей коефіцієнт не перевищує 33% (0,33).

ТЕМА 6 АНАЛІЗ КОНЦЕНТРАЦІЇ, ДИФЕРЕНЦІАЦІЇ ТА ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛІВ

6.1 Характеристики форми розподілу

Найпростішою мірою асиметричності розподілу є відхилення між характеристиками центру розподілу. У симетричному розподілі ( x =Me = Мо), у асиметричному між ними існують певні розбіжностіПри правосторонній асиметрії x > Me > Мо, при лівосторонній навпаки x < Me < Мо.

Асиметрія як відносна статистична характеристика дорівнює різниці між середнім значенням і медіаною або модою, поділеними на середнє квадратичне відхилення.

Стандартизовані відхилення:
A =	x − M 0	або А =	х − Ме	.	(6.1)
1	σ	2	σ

Характеризують напрям і міру скошеності розподілу. Очевидно, що в симетричному розподілі А=0, при правосторонній асиметрії

Абільше 0, при лівосторонній Aá0

Усиметричних та помірно асиметричних розподілах вимірюється ексцес розподілу.

Асиметрія та ексцес - дві пов'язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексна їх оцінка виконується на основі центральних моментів розподілу.

Момент 2-го порядку є дисперсією, яка характеризує варіацію:

M 2	=	å(x − x)2	f
		å f	.	(6.2)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

44

Момент 3-го порядку характеризує асиметрію:

M 3	=	å(x − x)3	f
		å f	.	(6.3)

тоді коефіцієнт асиметрії:

A =	M 3	.	(6.4)
	σ 3

При правосторонній асиметрії А > 0, при лівосторонній - А < 0. Вважається, що при А < 0,25 асиметрія низька, якщо А не перевищує 0,5 - середня, при А > 0,5 - висока.

Момент 4-го порядку характеризує ексцес:

M 4	=		å(x − x)4			f
					å f	.	(6.5)
Тоді коефіцієнт ексцесу:
E =		M 4		.			(6.6)
		σ 4
У симетричному, близькому до нормального,							розподілі Е = 3.

При гостровершинному розподілі Е > 3, при плосковершинному Е < 3. Якщо Е > 3 - позитивний розподіл, якщо Е < 3 - негативний розподіл.

6.2 Види та взаємозв'язок дисперсій

Дисперсія посідає особливе місце у статистичному аналізі соці- ально-економічних явищ.

Для ознак метричної шкали дисперсія - середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

				45
σ	2	=	å(x − x)2 f	(6.7)
			.
			å f

Як і будь-яка середня дисперсія має певні математичні власти-

вості.

1.Якщо всі значення варіант х зменшити на сталу величину С, то дисперсія не зміниться.

2.Якщо всі значення варіант х змінити в С разів, то дисперсія зміниться в С2 раз:

σ 2 = σ 2C 2 .

(6.8)

3.Якщо частоти замінити частками, дисперсія не зміниться. Якщо сукупність розбито на групи за певною ознакою х, то для

будь-якої іншої ознаки у можна обчислити дисперсію як у цілому по сукупності, так і в кожній групі та дисперсію між групами (міжгрупову).

Загальна дисперсія:

	σ		2	=	å(x − x)2	f	(6.9)
					å f	,
σ	2	=		å(x − x)2			(6.10)
					.
					ån

Характеризує варіацію ознаки х за рахунок впливу всіх причин (факторів).

Групова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи:

σ i	2	=	å(x − xi )2 f	(6.11)
			,
			å f
σ i	2	=	å(x − xi )2	(6.12)
			.
			ån

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

46

розраховується окремо для кожної групи. або спрощеним способом:

σ 2i = x

2

− x 2 .

(6.13)

Ця дисперсія відображує варіацією ознаки лише за рахунок умов і причин, що діють всередині групи.

Середня дисперсія з груповихсередня арифметична зважена з групових дисперсій:

		2	=	åσ 2i f	(6.14)
σ i				.
				å f

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх xi від загальної середньої x :

δ	2	=	å(xi − x)2 fi	,	(6.15)
			å fi

де xі - середня і-ї групи;

x - загальна середня; fі - частота і-ї групи.

характеризує варіацію ознаки у за рахунок впливу всіх причин (факторів),

Тобто, міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок групувальної ознаки.

Загальна дисперсія складається з двох частин: сумі середньої з групових дисперсій та між групової дисперсії:

σ 2 = σ

2

i + δ 2

(6.16)

Це правило складання дисперсій.

6.3 Показники диференціації

Якщо виникає необхідність вивчити структуру варіаційного ряду більш детально, розраховують значення ознаки, аналогічні меді-

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

47

ані.

Квартилі Q - варіанти, які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні за обсягом частини. Нижній квартиль Q1 - виокремлює і частину сукупності з найменшим значенням ознаки. Верхній квартиль Q3 - виокремлює і частину сукупності з найбільшими значеннями ознаки.

Q	= x	0	+ h	0,25å f − SQ1−1			,	(6.17)
1					fQ
			1
Q	= x	0	+ h		0,75å f − SQ3−1		,	(6.18)
3					fQ
			3

де х0- нижня межа квартильного інтервалу; h – ширина квартильного інтервалу;

f Q - частота квартильного інтервалу,

SfQ−1 - кумулятивна частота попереднього квартального інтер-

валу.

Квартилі: 0,25; 0,5; 0,75.

Децилі D – це значення варіант, які ділять упорядкований ряд на десять за обсягом рівних частин. Перший дециль D1 - ділить сукупність у співвідношенні 1/10 до 9/10. Дев’ятий дециль D9 - ділить сукупність у співвідношенні 9/10 до 1/10.

D	= x	0		+ h	0,1å fi − SDi−1			,		(6.19)
1						fD1
D	= x		0	+ h		0,9å fi − SDi−1			,	(6.20)
9						fD 9

де х0- нижня межа децильного інтервалу; h – ширина децильного інтервалу;

fD частота децильного інтервалу,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

48

SfD−1 - кумулятивна частота попереднього децильного інтер-

валу.

Децилі: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9.

Другий квартиль та п'ятий дециль збігаються з медіаною.

6.4 Показники концентрації та подібності розподілів

Оцінка нерівності розподілу значень ознаки між окремими складовими сукупності ґрунтується на порівнянні часток двох розподілів: за кількістю елементів сукупності d; за обсягом значень ознаки

D.

Відхилення часток свідчить про певну нерівномірність розподілу, яка вимірюється коефіцієнтами.

Локалізації:

	L =			D				(6.21)
				d
	Концентрації:
	K =	1		å			d − D		(6.22)
		2

Коефіцієнт локалізації розраховується для кожної складової сукупності, L > 1 свідчить про концентрацію значень ознаки в окремій складовій сукупності.

Коефіцієнт концентрації є узагальнюючою характеристикою відхилення розподілу від рівномірного. Значення його коливаються в межах від 0 до 1. Чим помітніша концентрація, тим більше значення К відхиляється від 0.

Коефіцієнти концентрації та локалізації є ефективним засобом вимірювання диференціації сукупності за даними інтервальних рядів з нерівними інтервалами та за даними атрибутивних рядів.

Для оцінки інтенсивності структурних зрушень у часі використовують абсолютні міри варіації - коефіцієнти структурних зру-

шень.

Лінійний:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

								49
ld	=	å		d1	− d2		,	(6.23)
				n

де d0, d1 - частки розподілу за два періоди; n - число складових сукупності.

Квадратичний:

	σd =	å(d1	− d2 )2	.
		n

(6.24)

Коефіцієнт подібності (схожості) структур двох сукупностей:

		1	m
	P = 1−		å	d j − dr	.	(6.25)
		2
			1

Якщо структури однакові, Р=1. Чим більше відхилення структур, тим менше значення Р.

МОДУЛЬ 2 СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ЗАКОНОМІРНОСТЕЙ ТА

ТЕНДЕНЦІЙ РОЗВИТКУ СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ ЯВИЩ ТА ПРОЦЕСІВ. ОСНОВНІ УМОВИ НАУКОВОЇ ОРГАНІЗАЦІЇ ВИБІРКОВОГО СПОСТЕРЕЖЕННЯ

ТЕМА 7 СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ ВИМІРЮВАННЯ ВЗАЄМОЗВ”ЯЗКІВ

7.1 Види взаємозв'язків

Усі соціально-економічні явища взаємопов'язані та взаємообумовлені. Зв'язок між ними має причинно-наслідковий характер. Ознаки, що характеризують причини та умови зв'язку, називаються факторними. Ознаки, що характеризують наслідки зв'язку, називаються результативними.

Типи зв’язків

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

50

функціональні

стохастичні

кореляційні

Рисунок 7.1- Типи зв’язків

При функціональному зв'язку кожному значенню факторної ознаки х відповідає одне або кілька чітко визначених значень результативної ознаки у. Функціональні зв'язки в основному вивчають точні науки: математика, фізика, хімія.

На відміну від функціональних, стохастичні зв'язки неоднознач-

ні.

При стохастичному зв'язку кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень у, які утворюють так званий умовний розподіл.

Якщо умовні розподіли замінюються одним параметром - середньою, то такий зв'язок називають кореляційним. Кореляційний зв'я- зок є різновидом стохастичного і виявляється у зміні середніх, умовних розподілів.

Наявність стохастичного зв'язку можна виявити на основі комбінаційного розподілу елементів сукупності.

За напрямком розрізняють прямі і обернені зв'язки.

Прямий зв'язок - зв'язок, коли із зростанням факторної ознаки х зростає результативна ознака у.

Обернений зв'язок - зв'язок, якщо зі зростанням факторної ознаки результативна зменшується або навпаки, із зменшенням факторної ознаки результативна зростає.

7.2 Рівняння регресії

Залежно від форми зв'язку кореляційні залежності бувають прямолінійними і криволінійними.

При прямолінійній залежності рівним змінам середніх значень факторної ознаки відповідають рівні зміни середніх значень результативної ознаки.

При криволінійній залежності рівним змінам середніх значень факторної ознаки відповідають нерівні зміни середніх значень результативної ознаки.

Залежно від характеру зв'язку в економічних дослідженнях використовують лінійні і нелінійні рівняння.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com