Методичка з ВМ. Статистика

11

непараметричні. Параметричні гіпотези передбачають, що вигляд закону розподілу відомий і перевірка зводиться до перевірки значень невідомих параметрів.

1.3.1 Перевірка гіпотези про математичне сподівання нормально розподіленої сукупності

Якщо

дисперсія

сукупності

відома

і дорівнює s2 , то при

H0: a = a0.

і

H1: a = a1

за статистичну

характеристику

береться

вибіркова функція Z =

- a0

X

.

Критична область визначається

n

s

рівня значущості α.

залежно від

значення a1 і відповідно

до

Можливі три випадки.

1. Якщо a1 > a0 , критична область правостороння. Її границя zα

P(Z ³ zα ) =

1

∞

t 2

визначається

за

умовою:

ò e−

2

dt =

= 0,5 - F(zα )= a . Тоді zα = F−1(0,5 - a).

2p zα

zα =

2.

Якщо

a1 < a0 ,

то

критична

область

лівостороння,

= -F−1 (0,5 - a).

3.

Якщо

a1 ¹ a0 ,

то

критичній

області

належать

значення

z ³ zα

i z £ -zα . При цьому zα = F

−1æ

a ö

ç0,5 -

÷.

2

2

2

è

2 ø

Коли дисперсія сукупності невідома, то для перевірки гіпотези

- a0

використовується вибіркова функція

Z =

X

розподілена

n -1,

s

за законом Стьюдента з n–1 ступенями вільності. Вигляд критичної області визначають так само, як і в попередніх випадках, а границю знаходять за допомогою таблиць розподілу Стьюдента з відповідною кількістю ступенів вільності. Якщо n > 20, то розподіл Стьюдента апроксимується нормальним розподілом з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Приклад 1.3.1 Під час перевірки діаметрів 17 установочних

кілець було здобуто такі	числові характеристики: x = 12,075	мм і
s2 = 0,065 мм2. Вважаючи,	що розмір, який контролюється,	має

нормальний закон розподілу, перевірити гіпотезу H0: a =12 мм при

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

12

H1: a ¹ 12 мм, якщо α = 0,05.

Розв’язання. Статистичною характеристикою гіпотези є вибіркова

			- a0
функція Z =		X
					n -1, яка розподілена за законом Стьюдента з
			S

n −1 ступенями вільності. Згідно з виглядом альтернативної гіпотези, критична область двостороння (рис. 1.5). Границя критичної області

zα = F −1	æ	-	a ö	= F −1(1- 0,025) = = F −1(0,975) = 2,12.
	ç1		÷
2	è		2 ø
				f(z)

О

Z

α – z

G

z

α

G

−

2

2

Рисунок 1.5 – Вигляд критичної області

Границя відшукується за таблицями функції розподілу Стьюдента при 16 ступенях вільності. Обчислимо реалізацію вибіркової функції:

	z =	12,075 -12						»1,177. Реалізація вибіркової функції не належить
							16
		0,065

до критичної області, і гіпотеза H0 приймається.

1.3.2 Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох нормально розподілених сукупностей

Нехай задано дві нормально розподілені сукупності. На

підставі вибірок об’ємом

n1

i

n2

із

цих сукупностей

потрібно

перевірити гіпотезу H :

s2

= s2

за

альтернативної

гіпотези

0

1

2

H : s2

> s2 . Статистичною характеристикою для перевірки гіпотези

1

1

2

n1

s2

n -1

H0

буде вибіркова функція

F =

1

. При побудові відношення

1

n2

s2

n2 -1

2

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

13

чисельник має бути не меншим від знаменника. Якщо гіпотеза H0

правильна,	то вибіркова функція F має розподіл Фішера з
n1 -1 i n2 -1	ступенями вільності. Критична область правостороння

і визначається умовою P(F ³ fα ) = a.

Приклад 1.3.2 На підприємстві розроблено два методи виготовлення виробів. Для перевірки цих методів на матеріалоємність зібрані дані про витрати сировини на одиницю продукції у процесі роботи обома методами. Витрати сировини за застосування першого методу становили: 2,0; 2,7; 2,5; 2,9; 2,3; 2,6; а другого – 2,5; 3,2; 3,5; 3,8; 3,5. Вважаючи, що розподіл у сукупностях нормальний і дисперсії

у сукупностях

однакові, перевірити гіпотезу

H 0: σ12

= σ 22

при

H : σ 2

¹ σ 2 , α = 0,05.

1

1

2

1 -

2

- d0

Розв’язання.

Для

вибіркової функції

Z =

X

X

,

n S2

+ n S

2

æ

1

+

1 ö

1

1

2

2

ç

÷

n1+n2

è n1

n2 ø

яка

розподілена

за

законом Стьюдента

з n1 + n2 - 2

ступенями

вільності потрібно знайти критичну область (вона двостороння) і знайти фактичну реалізацію. Знайдемо числові характеристики

вибіркових сукупностей: x1 = 16 (2 + 2,7 + 2,5 + 2,9 + 2,3 + 2,6) = 2,5;

s12 = 16 (0,25 + 0,04 + 0,16 + 0,04 + 0,01) = 121 . x2 = 15 (2,5 + 3,2 + 3,5 + 3,8 + 3,5) = 3,3;

s22 = 15 (0,64 + 0,01+ 0,04 + 0,25 + 0,04) = 25049 .

За таблицями розподілу Стьюдента для 9 ступенів вільності

знаходимо zα = F−1(0,975) » 2,26.					Обчислимо значення статистичної
2		2,5	- 3,3
характеристики: z =									» -3,258.
		0,5 + 0,98		æ 1	+	1	ö
		6 + 5 -	2	ç		5	÷
				è 6			ø

Отже, значення характеристики належить критичній області, і гіпотеза H0 відхиляється.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

14

1.3.3 Критерій χ 2 Пірсона

Критерій ґрунтується на порівнянні теоретичних і емпіричних частот. Нехай область реалізацій випадкової величини розбито на k

інтервалів, частоти яких дорівнюють ni ,	k
	å ni = n. Якщо гіпотеза
	i =1
про закон розподілу в сукупності правильна, то можна обчислити
ймовірності pi = P(xi −1 ≤ X < xi ), тобто	ймовірність потрапляння

випадкової величини на i-й інтервал. Теоретичні частоти потрапляння нa цей інтервал можна розглядати як математичне сподівання компонентів випадкової величини, розподіленої за

поліноміальним							законом:			P(X1 = m1; X2 = m2;...; Xk = mk ) =
=		n!		pm1	pm2 ...pmk ;		MX	i	= n′ = np , i = 1,2,...,k.
	k
				i	2	k			i	i
	Õ	(mi )!
	i =1 Статистичною характеристикою гіпотези є вибіркова функція
U =		k	(n′ − n )2			. Якщо n → ∞ , то вибіркова функція має розподіл χ2
		å	i		i
		i=1		ni′

з k − r −1 ступенями вільності, де r – кількість параметрів, оцінки для яких знайдено за вибірковими даними. Критична область для статистичної характеристики правостороння.

Приклад 1.3.3 При відрахунках на шкалах вимірювальних приладів цифри показів звичайно оцінюють лише наближено у частках шкали. За рівня значущості α = 0,05 потрібно перевірити

гіпотезу про рівномірний закон розподілу, скориставшись наведеними в таблиці даними.

Цифра	Частота,	Теоретична	Відхилення,		(ni − ni′)2
показу	ni	частота, ni′	ni − ni′
					n′
					i
0	35	20	15		11,25
1	16	20	–4		0,8
2	15	20	–5		1,25
3	17	20	–3		0,45
4	17	20	–3		0,45
5	19	20	–1		0,05
6	11	20	–9		4,05
7	16	20	–4		0,8

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

15

8		30	20		10		5
9		24	20		4		0,8
Сума		200	200		—		24,9
Розв’язання.		Застосуємо критерій		c2 Пірсона.		Для обчислення

значення статистичної характеристики гіпотези, яка перевіряється, у таблиці записані теоретичні частоти ni′ = n × pi . При цьому вважалось,

що довільна цифра має однакову ймовірність pi = 0,1, тому усі значення теоретичних частот ni′ = 200 × 0,1 = 20. У останньому стовпці таблиці знайдено суму, яка дорівнює значенню вибіркової функції

U = åk	(ni	- ni¢)2	. За таблицями розподілу c2	з 9 ступенями вільності
		ni¢
i=1
uα =16,9.		Критична область правостороння, і фактичне значення

вибіркової функції належить їй. Тому гіпотеза рівномірності розподілу відхиляється, що свідчить про систематичні помилки при знятті показань.

1.4 Елементи теорії кореляції

Якщо розглядаються дві випадкові величини, то між ними можуть бути такі форми залежності:

а) функціональна залежність, Y = j(X );

б) стохастична залежність, коли зі зміною значення однієї величини змінюється розподіл другої величини;

в) кореляційна залежність, коли умовне середнє значення однієї величини функціонально залежить від другої величини.

Нехай результати вибірки із двовимірної сукупності подано в табличній формі:

Х	Y	y	y	2	…	y	k	nx		yx
									i		i
		1
x1		n11	n12		…	n		nx		yx
						1k			1		1
x		n	n		…	n		nx	2	yx	2
2		21	22			2k
…		…	…		…	…		…		…
x		n	n		…	n		nx	m	yx	m
m		m1	m2			mk

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

16

ny

j

ny

ny

2

…

ny

k

n

—

1

xy j

xy1

xy2

…

xyk

—

—

Якщо розглядати таблицю за рядками, то кожному значенню xi

відповідає деякий розподіл випадкової величини Y.

Обчислимо для

k

å y jnij

k

цих

розподілів

умовні

середні значення

yxi =

j =1

,

nxi = ånij ,

yx = f (x).

nxi

j=1

i = 1,2,...,m. Отже,

Аналогічно,

розглядаючи

таблицю за

стовпцями,

також

визначаємо умовні

середні

величини

m

åxi nij

m

xy j

=

i=1

,

ny j

= ånij ,

j = 1,2,...,k.

Знову маємо

залежність

ny j

i=1

виду xy = ϕ(x).

Рівняння, які виражають умовні середні, називаються кореляційними рівняннями або рівняннями регресії другого роду. У кореляційному аналізі розглядаються такі задачі:

- визначити за кореляційною таблицею форму залежності між випадковими величинами, тобто вид функціональної залежності yx = f (x) i xy = ϕ(y);

- оцінити тісноту залежності, тобто визначити ступінь розсіювання можливих значень однієї випадкової величини відносно лінії регресії, якщо одна із величин набуває певних значень.

Для визначення форми залежності між X i Y за результатами розрахунків у кореляційній таблиці в системі координат XOY відкладаємо точки (xi , yxi ). Якщо ці точки розміщені на лінії, яка

близька до прямої, то можна вважати, що залежність має лінійний характер, тобто рівняння регресії подається у вигляді yx = ax + b , або

аналогічно xy = cy + d. За допомогою методу найменших квадратів

можна визначити коефіцієнти рівнянь регресії: b = y − ax, a = xy − x y ;

DX

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

17

d = y − cy;	c =	xy − x y	.	Коефіцієнти a = ρ y / x	i	c = ρx / y	— коефіцієнти
		DY
регресії.	Отже,			лінійні рівняння	регресії		мають вигляд:
yx − y = ρy / x (x − x); xy − x = ρx / y (y − y).
Лінії	регресії			перетинаються в точці		(x, y),	яка називається

центром кореляції. Тіснота зв’язку в разі лінійної залежності оцінюється коефіцієнтом кореляції. Коефіцієнтом кореляції

випадкових		величин		X i Y називається	середнє геометричне
значення коефіцієнтів				регресії, яке має	знак останніх: r =
= ±		= ±	xy − x y	.
	ρ y / x ρx / y
			sx s y

Коефіцієнти регресії виражаються через коефіцієнт кореляції за такими формулами:

ρ

y / x

=

xy − x y sy

=

xy − x y sy

= r

sy

;

sx2 sy

sxsy

sx

sx

рівняння регресії мають вигляд:

	аналогічно ρx / y = r			sx	. Тоді
				sy
	yx − y = r	sy	(x − x);	xy − x =
		sx

=r sx (y − y). sy

Абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевищує одиницю. Якщо r = 0 , то величини не пов’язані лінійною залежністю, але при цьому між ними можливий нелінійний кореляційний зв’язок. Якщо r зростає за абсолютною величиною від нуля до одиниці, то тіснота зв’язку зростає, і, якщо r = ±1, то кореляційна залежність перетворюється на функціональну і прямі регресії зливаються в одну пряму. Обчислення параметрів, які входять у рівняння регресії, спрощується, якщо перейти до умовних змінних і умовних моментів розподілу.

Приклад 1.4.1 У результаті обстеження одержано статистичний розподіл 100 підприємств за виробничими фондами Х, млн грн, і добовим виробітком Y, т.:

Х	Y	10	15	20	25	30	35	nxi

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

18

50	2	2					4
60	2	4	5	6	4		21
70		2	7	12	10	4	35
80				10	10	6	26
90				8		6	14
ny j	4	8	12	36	24	16	100

Визначити форму залежності між X i Y, знайти рівняння ліній регресії і тісноту зв’язку.

Розв’язання. Знаходимо умовні середні yx і xy.

yx=50 =		20 + 30		= 12,5;							yx=60	=	20 + 60 +100 +150 +120										≈ 21,4;
	4
														21
yx=70 =		30 +140 + 300 + 300 +140									= 26;		yx=80 =		250 + 300 + 210							≈ 29,2;
						35											26
yx=90 =		200 + 210				≈ 29,3;										xy=10	=		100 +120						= 55;
	14
																	4
xy=15 =	100 + 240 +140							= 60;						xy=20 =				300 + 490						≈ 65,8;
	8																12
xy=25 =		360 + 840 + 800 + 720								≈ 75,6;			xy=30 =			240 + 700 + 800							= 72,5;
	36																24
xy=35 =	280 + 480 + 540							≈ 81,3.
	16
Результати обчислень перенесемо в таблицю. У ній перейдемо до
умовних змінних, узявши C1 = 70, h1 = 10, C2 = 25, h2 = 5.
v			–3			–2			–1		0	1		2					nxi					yxi
u
–2			2			2											4					12,5
–1			2			4			5		6	4					21					21,4
0						2			7		12	10		4			35					26
1											10	10		6			26					29,2
2											8			6			14					29,3
ny j			4			8			12		36	24		16			100
xy j			55			60			65,8		75,6	72,5		81,3

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

19
Для визначення форм залежності	yx = f (x) i xy = ϕ(y)

проаналізуємо, як змінюються умовні середні зі зміною випадкових величин. Зі зростанням х умовна середня yx також зростає, а при

зростанні y умовна середня xy в основному зростає. У системі координат XOY відкладемо множину точок (xi , yxi ) значком «× » а множину точок (xy j , y j ) – значком « o » (рис. 1.6).

Y, Yx

	35
	30				×	×
	25		×	×
	20
	15	×
	10
	5					Х, X y
	0	50
			60	70	80	90

Рисунок 1.6 – Графіки рівнянь регресії

Із рис. 1.6 бачимо, що кожна із груп побудованих точок розміщена приблизно на деякій прямій, дещо відхиляючись від неї. Рівняння прямих шукаємо у вигляді:

yx − y = r

sy

(x − x);

xy − x = r

s

x

(y − y).

sx

sy

За даними останньої таблиці знаходимо умовні моменти

розподілу:

−8 − 21+ 26 + 28 = 0,25;

16 + 21+ 26 + 56

u

=

u

2

=

=1,19;

100

100

v

= −12 −16 −12 + 24 + 32

= 0,16;

v

2 =

36 + 32 + 12 + 24 + 64

= 1,68.

100

100

s =

1,19 − (0,252 )

≈ 1,06;

s

v

=

1,68 − (0,16)2

≈ 1,29.

u

Щоб знайти коефіцієнт кореляції, обчислимо середнє значення добутку умовних змінних:

uv = 1001 (12 + 8 + 6 + 8 + 5 − 4 +10 +12 + 24) = 0,81.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

20

= 0,81- 0,25×0,16 »

r 0,568. 1,06×1,09

Знайдемо значення решти параметрів, які входять до рівняння регресії: x = 70 + 0,25×10 = 72,5; y = 25 + 0,16×5 = 25,8; sx =1,06 ×10 = 10,6;

sy = 1,29 ×5 = 6,45. Запишемо рівняння ліній регресії:

	yx - 25,8 =		6,45		0,563(x - 72,5); yx = 0,343x - 0,933;
		10,6
	xy - 72,5 =	10,6		0,563(y - 25,8); xy = 0,925y + 48,635.
		6,45

1.5 Дисперсійний аналіз

Дисперсійним аналізом називається статистичний метод аналізу результатів випробувань, ціль якого – оцінити вплив одного або декількох якісних факторів на величину X . Метод заснований на порівнянні дисперсій. Будемо вважати, що на випадкову величину X

впливає деякий якісний фактор F , що має p рівнів: F1 , F2 , …, Fp .

Потрібно порівняти «факторну дисперсію», тобто розсіювання, породжуване зміною рівня фактора, і «залишкову дисперсію», обумовлену випадковими причинами. Якщо їхнє розходження значиме, то фактор істотно впливає на X і при зміні його рівня групові середні для кожного рівня фактора розрізняються значимо. Будемо вважати, що кількість спостережень на кожному рівні фактора однакова й дорівнює q . Оформимо результати спостережень у вигляді

таблиці:

Номер		Рівні фактора
випробування	F		F	…		F	p
	1		2
1	x11		x12	…		x1p
2	x21		x22	…		x2p
…	…		…	…	…
q	xq1		xq2	…	xqp
Групове	õãð1		хгр 2	…		хгрр
середнє

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com