Курс теоретичної механіки 2007 (Укр)

осі рухливої системи координат увесь час залишаються паралель-ними осям нерухомої, а відносний рух – обертанням навколо нерухо-мої осі, оскільки точка А плоскої фігури залишається нерухомою відносно рухливою системи координат так само, як і вісь, що проходить через цю точку і перпендикулярна лощини По. Таким чином, плоскопара-

лельний рух тіла представлений у виді суперпозиції (накладення) двох рухів : переносного - поступального і відносного – обертання навколо нерухомої осі. Точка А

Мал.30 плоскої фігури, що є початком

рухливої систе ми координат, називається полюсом розкладання плоскопаралельного руху тіла на

поступальний та обертальний.

Для запису рівнянь плоскопаралельного руху тіла необхідно, очевидно, скласти рівняння переносного та відносного рухів. Поступальний рух визначається рухом однієї точки тіла (наприклад, точки А), а обертання – кутовою координатою, яку можна задати як кут між віссю х і яким або відрізком АВ плоскої фігури (мал.30). Таким чином, рівняння плоскопараллельного руху виглядають так:

x0A = f1 (t), y0A = f2 (t), φ = f3 (t).

(81)

§ 2. Незалежність кутової швидкості відносного обертання від вибору полюса розкладання

Теорема. Кутова швидкість відносного обертання не залежить

від вибору полюса розкладання.

Доказ. Візьмемо два різних полюси розкладання А1 і А2 , потім – деяку точку плоскої фігури В (мал.31). При виборі полюса А1 відносне обертання визначається кутом φ1 між віссю х1 і відрізком А1В, а при виборі полюса А2 – кутом φ2 між віссю х2 і відрізком А2В. З креслення випливає, що

φ1 = φ2 + α ,

(82)

де α – кут між відрізками А1В и А2В. Помітимо, що α = const, оскільки точки А1 , А2 і В є точками плоскої фігури, отриманої перетинанням

91

абсолютно твердого тіла площиною По. Диференціюючи (82) за часом, одержимо

ω1 = ω2,

що і було потрібно.

Мал.31

§ 3. Друга формула Эйлера

Нехай А – полюс розкладання плоскопаралельного руху на поступальний й обертальний, а В – точка плоскої фігури (мал.32). З малюнка випливає, що

		(83)
rB = rA + AB

Тут rА і rВ – радіус-вектори точок А и В у нерухомій системі координат, а

AB – радіус-вектор точки В в рухливій системі координат. Диференцируючи (83) за часом одержимо

Мал.32	VB = VA + VBA ,				(84)
де	VBA =	d AB		, що являє	собою
		dt

швидкість точки В в відносному обертанні плоскої фігури навколо осі Аz, перпендикулярної площині креслення.

Таким чином, швидкість будь-якої точки плоскої фігури

дорівнює швидкості довільно обраного полюса, геометрично складеної зі швидкістю цієї точки у відносному обертанні плоскої фігури навколо осі, яка перпендикулярна фігурі і проходить через

полюс.

Використовуючи першу формулу Эйлера (§5 глави II), можемо записати

92

VBA = [ω, AB ],					(85)
причому вектор ω спрямований уздовж осі обертання Аz, тому
|VBA| = |ω|| AB |,					(86)

оскільки ω AB .

Зауваження. Швидкість VBA = [ω, AB ] перпендикулярна AB ,

оскільки векторний добуток перпендикулярно кожному з векторів, що перемножуються.

Тоді (84) можна записати так:
VB = VA + [ω, AB ].	(87)

Формула (87) (чи дві формули (84) і (85)) і являє собою другу формулу Эйлера.

Наслідки.

1) Якщо швидкості двох точок плоскої фігури геометрично рівні в якийсь момент часу, то швидкості всіх точок плоскої фігури

геометрично рівні в цей момент часу.

Доказ. Нехай VB = VA . З (84) і (86) маємо ω = 0. Візьмемо тепер довільну точку З плоскої фігури і запишемо для неї другу формулу Эйлера (87):

VС = VA + [ω, AC ] = VA ,

відкіля і випливає справедливість наслідку.

Якщо швидкості всіх точок плоскої фігури стають геометрично рівними в якийсь момент часу, то говорять, що фігура робить миттєво поступальний рух у цей момент.

2) Проекції швидкостей двох точок плоскої фігури на вісь, яка проходить через ці точки, рівні.

Доказ. Спроектуємо рівність (84) на напрямок вектора AB . З огляду на те, що VBA AB , одержуємо

npAB VA = npAB VB ,

що і було потрібно.

93

§ 4. Миттєвий центр швидкостей (миттєвий центр обертання)

Теорема. Якщо кутова швидкість відносного обертання відмінна від нуля в якийсь момент часу, то існує точка, причому

єдина, швидкість якої дорівнює нулю в цей момент часу.

Доказ. Нехай швидкість деякої точки А плоскої фігури дорівнює

VA (мал.33). Проведемо перпендикуляр			до VA		через		точку	А и
відкладемо уздовж його відрізок		АР = VA	/ ω .	Знайдемо величину
швидкості VРA точки Р в відносному обертанні навколо точки А:
	VPA = ω · AP = VA ,						(88)
тобто величини векторів VA і VPA		рівні.
Вектор VPA	перпендикулярний відрізку				АВ	і	виходить,
паралельний вектору VA . З огляду на напрямок відносного обертання
	(див.	мал.33),	дійдемо		висновку,			що
	напрямок векторів VA			і VPA		протилежні.
	Приймаючи в увагу (88), можна записати
		VPA = ─ VA .
	Використовуємо		тепер		другу		формулу
	Эйлера для перебування швидкості точки
	Р:

Мал.33

VP = VA + VPA = 0

Доведемо, що точка плоскої фігури, швидкість якої дорівнює нулю в даний момент часу єдина. Допустимо протилежне, тобто що існує ще одна точка Р/ плоскої фігури, швидкість якої також дорівнює нулю в цей момент часу, тобто VP’ = 0. Тоді виявляється, що VP’ = VP = 0 , і по першому наслідку з другої формули Эйлера одержуємо, що швидкості всіх точок плоскої фігури звернулися в нуль, тобто фігура зупинилася і кутова швидкість ω у цей момент часу також виявилася рівної нулю, що суперечить умові теореми. Це значить, що наше допущення про неодиничність точки з нульовою швидкістю невірно.

Теорема доведена. Уведемо визначення:

Точка плоскої фігури , швидкість якої дорівнює нулю в даний момент часу називається її миттєвим центром швидкостей (за умови, що ця точка єдина).

94

§ 5. Картина розподілу швидкостей точок плоскої фігури

Візьмемо як полюс розкладання миттєвий центр швидкостей Р. Тоді друга формула Эйлера для довільної точки А плоскої фігури запишеться так:

VА = VР + VAР = VAР ,

оскільки VР = 0. Таким чином, швидкість точки Мал.34 плоскої фігури збігається зі швидкістю відносно-

го обертання фігури навколо миттєвого центра швидкостей. З огляду на зауваження в §3 і формулу (86), приходимо до висновку, що мають місце два твердження:

1)швидкості точок плоскої фігури перпендикулярний відріз- кам, що з'єднують їх з миттєвим центром швидкостей;

2)величини швидкостей точок плоскої фігури пропорційні довжинам відрізків, що з'єднують їх з миттєвим центром

швидкостей.

Відповідно до цих правил побудована картина розподілу швидкостей точок плоскої фігури (мал.34). Вона збігається з картиною розподілу швидкостей точок фігури, що обертається навколо осі, яка перпендикулярна площини фігури і проходить через миттєвий центр швидкостей. Тому миттєвий центр швидкостей носить ще назву

миттєвого центра обертання.

§ 6. Побудова миттєвого центра швидкостей

Розглянемо побудову миттєвого центра швидкостей у різних окремих випадках.

1.Швидкості двох точок плоскої фігури не паралельні.

Використовуючи твердження 1 попереднього параграфа, дійдемо висновку, що миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці перетинання перпендикулярів до швидкостей. Таким чином, якщо швидкості двох точок

плоскої фігури не паралллельны, те для перебування миттєвого центра швидкостей

необхідно провести перпендикуляри до ско- Мал.35 ростей і знайти їхню точку перетинання.

Цей спосіб називається «правилом двох пер-

95

пендикулярів».

2.Швидкості двох точок плоскої фігури перпендикулярні відріз-

	ку, що	з'єднує		ці	точки, і
	не рівні		(тобто	VA ||VB,		але VA
	≠ VB ).
	У	цьому		випадку		для
	побудови		миттєвого			центра
	швидкостей необхідно скорис-
	татися твердженням 2 попе-
	реднього		параграфу.		Миттєвий
	центр виявляється на перетинан-
Мал.36	ні відрізка АВ (чи його продов-
	ження) і прямої, що проходить

через кінці векторів швидкостей, відкладених у деякому масштабі. 3. Швидкості двох точок плоскої фігури геометрично рівні

(тобто VA = VB). Як випливає з першого наслідку з другої формули Эйлера, у цьому випадку фігура робить миттєво поступальний рух і миттєвий центр швидкостей не існує (мал.37).

Мал.37

§7. Визначення швидкостей точок плоского механізму

Задача. Плоский механізм складається зі стержнів 1, 2, 3, 4 і повзуна В, з'єднаних один з одним і опорами ПРО1 і ПРО2 шарнірами (мал. 38).

Дано α=60ο, β=150ο, γ=90ο, φ=60ο, θ=30ο, l1=0,4м, l2=1,2м, l2=1,4м, l3=1,4м, l4=0,6м, ω1=2з-1. Необхідно знайти ωАВ, VВ, VE.

Рішення.

Рішення починаємо з побудови положення механізму відповідно до заданих кутів. Побудова починаємо з кута α – відкладаємо його від горизонталі проти годинної стрілки. Уздовж отриманого напрямку відкладаємо в масштабі відрізок l1. У результаті одержуємо положен-

96

	ня точки А. Від отриманого
	напрямку стержня		1 відкладаємо
	проти	годинної	стрілки		(як
	зазначено на кресленні) кут β і
	одержуємо напрямок стержня 2.
	Відклавши в цьому			напрямку
	довжину	l2,		знаходимо
	положення точки В и так далі
	(помітимо тільки, що точка D –
	середина стержня 2). Результат
	цієї побудови приведе-ний на
	мал. 39).
	Стержень О1А оберта-ється
	навколо	нерухомої		осі,	яка
	перпендикулярна площині крес-
Мал.38	лення і проходить через точку
	О1. Швидкість точки А спрямо-

вана перпендикулярно стержню О1А, оскільки вона рухається увздовж кола, центр якої знаходиться в точці О1. Величина визначається за формулою для швидкості точки обертового тіла

VA = ω1l1 = 0,8 м/з2.

Швидкість точки В спрямована уздовж осі повзуна, тобто під кутом 30о до горизонталі. Таким чином, відомі напрямки швидкостей двох точок стержня АВ. Вони не паралельні один одному. Тому миттєвий центр швидкостей Р2 цього стержня знаходиться на перетинанні перпендикулярів до швидкостей точок А и В. Кутова швидкість стержня АВ визначається за формулою

ωAB = VA

AP2

Довжина відрізка АР2 може бути знайдена з трикутника АВР2. Він прямокутний, оскільки відрізок ВР2 проведений перпендикулярно VB, а вона паралельна АР2.

Тоді

AP = AB cos300				3
	= l				= 0,6 3м .
			2
2		2

Отже,

ωAB = 4 / 33 с-1.

97

Помітимо, що трикутник DBP2 рівносторонній, оскільки DB=l2/2, оскільки точка D – середина відрізка АВ, і ВР2=l2/2 як катет, противолежний куту 30о.

Крім того, кут між цими відрізками дорівнює 60о. Звідси випливає, що

VD = VB = ω AB BP2 =

	= ω		l2	=	0,8		=
		AB 2
					3

= 0,462 м / c2

	Неважко	з'ясувати,
	що вектор VD утворяє
	кут 60о з напрямком
	відрізка ЕD. Крім того,
	вектор VE також утворяє
	кут 60о з відрізком ED,
Мал.39	оскільки VE	O2 E , а

кут O2ED дорівнює 150о. Тоді з наслідку з другої формули Эйлера, що полягає в тім, що проекції швидкостей двох точок плоскої фігури на пряму, що проходить через ці точки, рівні, випливає

VD cos600 = VE cos600 , тобто VE = VD = 0,462 м/с2

98

Г Л А В А V

ОБЕРТАННЯ ТІЛА НАВКОЛО НЕРУХОМОЇ ТОЧКИ. РУХ ВІЛЬНОГО ТВЕРДОГО ТІЛА

§ 1. Кути Эйлера. Рівняння обертання тіла навколо нерухомої точки

Розглянемо рух тіла, що має нерухому точку О, відносно нерухомої системи координат Оxоyоzо, початок який знаходиться в нерухомій точці тіла (мал.40). Жорстко зв'яжемо з тілом рухливу систему координат Оxyz.

Лінія ОК перетинання площин xоОyо і xОy зветься лінії вузлів.

	Уведемо наступні кути:
	кут між осями Ozo і Oz називається
	кутом нутації і позначається буквою θ;
	кут між віссю Охо і лінією вузлів
	називається кутом прецесії й познача-
	еться буквою ψ;
	кут між лінією вузлів і віссю Ох
Мал.40	називається кутом власного обертан-
	ня і позначається буквою φ.
Кути нутації θ, прецесії	ψ і власного обертання φ називаються

кутами Эйлера. Можна довести, що кути Эйлера однозначно визначають положення рухливої системи координат Оxyz відносно нерухомої Оxоyоzо , а значить і положення тіла відносно нерухомої

системи координат.

Тому рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої

точки мають наступний вид:
θ = f1 (t), ψ = f2 (t), φ = f3 (t),	(89)

оскільки при підстановці будь-якого часу в праві частини (89) одержуємо значення кутів θ, ψ, і φ, що однозначно визначать положення тіла в цей момент часу.

99

§ 2. Теорема Эйлера-Даламбера

Теорема. Переміщення тіла, що має нерухому точку, з положення I, що воно займало в момент часу t, у положення II, займане їм через проміжок часу t, можна здійснити обертанням навколо деякої нерухомої осі Op’, що проходить через нерухому точку O, на деякий кінцевий кут Δα.

Вісь Op’ називається віссю кінцевого обертання, а кут Δα −

кутом кінцевого обертання.

Доказ. Виберемо деяку точку тіла А1 у початковому положенні I. У

	результаті	переміщення	вона	займе
	положення А2 у кінцевому положенні
	тіла II. У цьому місці простору
	знаходилася деяка точка тіла В1 з
	положення I. Після переміщення вона
	займе положення В2. Якщо з'єднати
	точки А1 і В1 відрізком А1В1 , то в
	результаті	переміщення	він	займе
	положення А2В2 , причому початок А1
	відрізка А1В1 переміститься в точку А2 ,
	тобто в його кінець (мал.41). Якщо
	з'єднати точки А1 і В2 відрізком прямої,
	то утвориться трикутник А1В1В2.
Мал.41	Проведемо з нерухомої точки О пер-

пендикуляр до площини трикутника А1В1В2 і позначимо точку перетинання перпендикуляра з цією

площиною буквою С. З'єднаємо точки А1, У1 і В2	з нерухомою точкою
О відрізками прямих ОА1, ОВ1 і ОВ2.
Помітимо, що
А1В1 = В1В2,	(90)

оскільки це різні положення того самого відрізка А1В1 твердого тіла. Крім того, ОА1 = ОВ1, оскільки це два положення відрізка ОА1.

Аналогічно ОВ1 = ОВ2. Таким чином, ОА1 = ОВ1 = ОВ2. Виходить, що до площини трикутника А1В1В2 проведено три рівні похилі. Отже, рівні і їхні проекції, тобто

СА1 = СВ1 = СВ2.

(91)

З (90) і (91) випливає, що трикутники А1СВ1 і В1СВ2 рівні, оскільки три сторони одного рівні трьом сторонам іншого. Це значить, що

100