Методические указания

Порядок работы.

Упражнение 1. Определение моментов инерции тел.

1. При помощи штангенциркуля измерить диаметр шкива		, на который
намотана нить. Радиус шкива	занести в таблицу.

2. По указанию преподавателя укрепить на платформе тот или иной груз. Его массу и массу платформы также записать в таблицу. Вычислить 3. На свободный конец каждого стержня крестовины одеть 4 одинаковых

тела, измерить и занести в таблицу расстояние от центра тела до оси вращения:

где толщина тела, расстояние от края тела до шкива, – радиус шкива.

4. Установить верхний фотоэлемент на заданной преподавателем высоте (по черте на корпусе фотоэлемента), записать в таблицу.

5.Установить нижнюю плоскость платформы с грузами на уровне черты на верхнем фотоэлементе.

6.Нажать кнопку «ПУСК».

7. Записать время падения груза , показанное на табло электросекундомера, нажать клавишу «СБРОС».

8. Поднять платформу в исходное верхнее положение. Отжать клавишу «ПУСК». Установка готова к следующим измерениям.

9. Измерения повторить ещѐ 4 раза (для тех же		и	).
10.	Серию 5-ти измерений времени обработать по схеме обработки
прямых измерений при коэффициенте надежности			.
11.	По формуле (2) вычислить момент инерции	крестовины с четырьмя
телами, поставив туда среднее значение времени			.

12. Сняв тела со стержней крестовины, проделать 5 раз измерения времени падения груза с высоты для пустой крестовины, начиная с пункта 5.

13. По формуле (2) вычислить момент инерции пустой крестовины , подставив туда среднее значение времени .

21

14. Вычислить	и момент инерции одного тела		.

15. Вычислить момент инерции одного из стержней крестовины

16. Вычислить абсолютные погрешности

и

косвенных измерений

и

.

Упражнение 2. Сравнение с теоретическими значениями.

1. Вычислить

и

по теоретическим формулам:

;

,

где

длинна стержня (измерить по меркам на стержне),

масса

стержня (дана в работе).

масса тела (дана в работе).

2. Сравнить теоретическое и экспериментальное значение

и

:

;

3. Сравнить

и

,

и

. Дать оценку пригодности метода ма-

ятника Обербека для определения

и .

Таблицы экспериментальных данных

№

, с

, с

п/п

1

2

3

4

5

22

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 104

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Литература: [I] , §§ 25, 36-39, 41-43. Раздел III, стр.28.

Описание установки и вывод формулы

Маятник Максвелла представляет собой ролик, закрепленный на оси и подвешенный на двух нитях (бифилярный подвес), на который накладывают различные кольца, изменяя, таким образом, момент инерции системы.

Маятник с наложенным кольцом в верхнем положении (нить намотана на ось маятника) обладает запасом потенциальной энергии.

,

где		(1)
масса оси маятника,	масса насаженного кольца,	масса
ролика,

В верхнем положении маятник удерживается электромагнитом. Если освободить маятник, он начнет опускаться. При этом маятник движется поступательно с постоянным ускорением и одновременно вращается. При движении мятника его потенциальная энергия превращается в кине-

тическую энергию поступательного движения							и кинетиче-
скую энергию вращения			, где		момент инерции всей си-
стемы, который равен:
		,			(2)
где	момент инерции оси маятника,			момент инерции насаженно-
го кольца,
		23

Если пренебречь силой трения, то на основании закона сохранения энергии можно записать:

			или								(3)
		Так как вся система движется равноускоренно, то
											(4)
	где	ускорение, – время падения.
		Линейная скорость поступательного движения системы равна
						.					(5)

Линейная скорость точек кольца равна линейной скорости поступательного движения системы, поэтому можно воспользоваться связью между линейной и угловой скоростью:

					,	(6)
где – внешний диаметр маятника вместе с намотанной на него нитью
подвески:
				,		(7)
где	диаметр оси маятника,				диаметр нити подвески.
Подставив в (3) формулы (4), (5) и (6), получим:

		(			) .	(8)
Зная высоту поднятия маятника					и время падения	, по формуле

(8) можно определить момент инерции маятника Максвелла, что и со-

ставляет цель настоящей работы.

24

Накладывая на ролик различные кольца, можно определить моменты инерции системы с соответствующими кольцами.

Параметры маятника:

Максимальная длина маятника			410 мм
масса колец ( ):		кольцо 0,1	0,263 кг
		кольцо 0,2	0,392 кг
		кольцо 0,3	0,524 кг
диаметр оси маятника			10 мм
внешний диаметр ролика			86 мм
внешний диаметр колец			105 мм
диаметр нити подвески			0,5 мм
масса оси маятника			0,033 кг
масса ролика			0,123 кг

Порядок работы

1.Включить прибор в сеть. Нажать клавишу «СЕТЬ». Проверить все ли индикаторы высвечивают «Нуль» и засветились ли лампочки обоих фотоэлектрических датчиков (на верхнем и нижнем кронштейнах).

2.Отжать клавишу «ПУСК».

3.Намотать на ось маятника нить подвески виток к витку.

4.Зафиксировать маятник при помощи электромагнитов.

5.Повернув маятник в направлении движения на угол около 5 , нажать клавишу «СБРОС», затем нажать клавишу «ПУСК».

6.В момент, когда маятник достигнет крайнего положения (нижнего), прочитать измеренное значение времени падения маятника. Проделать опыт 5 раз.

7.	По шкале на вертикальной колонке определить длину маятника .
8.	Используя формулу (7) и известные значения	и , определить диа-
метр оси вместе с намотанной на нее нитью.

9.По формуле (1) вычислить массу маятника с кольцом.

10.По формуле (8) определить момент инерции маятника с выбранным кольцом 5 раз. Вычислить среднее значение момента инерции.

25

11.Наложить на ролик другое кольцо (по указанию преподавателя) и повторить все действия, указанные в пунктах 2 – 10.

12.Данные эксперимента внести в таблицу.

Таблица

№

, кг

m , кг

№

, м

с

, кг

,

кольца

опыта

кг

1.

2.

3.

4.

5.

13. Результат записать в виде:

(

)

14. Вычислить теоретические значения момента инерции по формуле:

,

(10)

где

– момент инерции оси маятника,

– момент инерции кольца,

(где

– внешний диаметр ролика,

– внешний диаметр кольца,

(

) – момент инерции ролика,

(где

– внешний диаметр оси маятника).

Сравнить полученные результаты, определив относительную погрешность по формуле:

26

27

	4. Колебательное движение
Литература:	[I], §§ 53, 54, 58.
Закон		Гармоническими колебаниями некоторой физи-
гармонического		ческой величины называется процесс изменения
колебания		ее во времени по закону синуса или косинуса:
		(1)

Вслучае механических гармонических колебаний:

–линейное (угловое) смещение, т.е. отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия;

–амплитуда, т.е. максимальное смещение;

–циклическая (круговая) частота колебаний

(	период,	частота);
		– фаза колебаний,	начальная фаза.

Гармонические колебания происходят под действием упругих или квазиупругих сил, т.е. сил, пропорциональных смещению и направленных к положению равновесия:

,где

Гармонические колебания могут, например, совершать маятники при небольших углах отклонения от положения равновесия.

Физический маятник

Физическим маятником назы-

вают тело, совершающее колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси (рис. 1).

Пусть ось вращения физического

маятника проходит через точку	пер-
пендикулярно плоскости рисунка.
Если отклонить тело на угол	и

предоставить его самому себе, то возникает вращающий момент, создавае-

мый силой тяжести	:
	,

где	расстояние от оси вращения до центра тяжести .
	При небольших углах отклонения возвращающая сила является

квазиупругой, а колебания маятника гармоническими. Это нетрудно показать, опираясь на основное уравнение динамики вращательного движения (см. раздел III),

			,	(2)
принимающее для физического маятника вид:
где	момент инерции маятника;
	угловое ускорение:		.
	При малых углах отклонения			и уравнение приобретает
вид:

или

(3)

Уравнение (3) – уравнение собственных гармонических колебаний физического маятника, т.е. колебаний, происходящих под действием внутренних сил.

Уравнение гармони-	Коэффициент при	в уравнении (3) пред-
ческого колебания	ставляет собой квадрат циклической частоты

собственных колебаний системы.

Так что в общем случае уравнение собственных гармонических колебаний имеет вид:

(3а)

Частное решение этого дифференциального уравнения

(4)

показывает, что при малых колебания угловое отклонение физического маятника изменяется со временем по гармоническому закону.

Для физического маятника

√		(5)
28

Поскольку		, находим, что период колебаний физического
маятника
		√		(6)

Математический маятник

Математический маятник является частным случаем физического маятника.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешена на невесомой и не растяжимой нити. Как видно из определения, математический маятник – понятие абстрактное. Однако, если маятник представляет собой (рис. 2) маленький шарик, подвешенный на слабо растягивающейся нити (длина ), то шарик можно уподобить материальной точке. Тогда момент его инерции относительно оси

,

и из выражения (5) для математического маятника получается следующее значение

частоты собственнных колебаний

√		,	(7)

а формула (6) трансформируется в формулу Гюйгенса

√		.	(8)

Оборотный маятник

Сравнение формул (6) и (8) показывает, что физический маятник колеблется синхронно (т.е. с тем же периодом) с математическим

маятником	длинна		которого				. Она называется приведенной
длинной физического маятника.
Если	на	линии		(рис.	1) отложить отрезок:			, то
полученная точка			является центром качаний физического маятника.
Точка подвеса		и ценр качаний			обладают свойством взаимности: если
маятник подвесить так, чтобы ось подвеса прошла через точку								, то точка
					29

станет центром качаний, а период колебаний маятника при этом не изменится. На этом свойстве физического маятника основано так называемого оборотного маятника.

	Крутильный маятник
		Крутильный		маятник		представляет				собой
	симметричное тело (диск, гантель), подвешенное на тонкой
	нити. (Рис.3). Если повернуть его в горизонтальной
	плоскости на угол , то в закручивающейся нити подвеса
	возникнут силы, возвращающие тело в начальное
	положение.
		При малых углах закручивания деформация упругая,
	момент сил пропооционален углу					(				) и
уравнение движения (2) имеет вид:
				или						(9)
где	– момент инерции тела относительно оси;								– постоянная

кручения – величина, численно равная моменту упругих сил, возникающих при закручивании нити на угол, равный одному радиану.

Так как уравнение (9) не отличается по форме от (3), то будут совпадать и решения обоих уравнений. Следовательно, крутильный маятник совершает гармонические колебания с частотой

и периодом		√						(10)
			√					(11)
Затухающие	Всякая	реальная					колеблющаяся система
колебания	испытывает действие сил							сопротивления
	(трения),	которые					приводит к	уменьшению еѐ

энергии. Если убыль энергии не восполняется, то колебания будут затухать, т.е. их амплитуда будет со временем уменшаться.

Затухающие колебания, происходящие в отсутствие внешнего периодического воздействияя при наличии трения называются

свободными.

30