statistica_o_k

5.3.Квантилі розподілу

5.3.1.Квантилі розподілу –

це значення варіант, які ділять сукупність на певні рівні за чисельністю частини

дві частини – медіана

чотири частини – квартилі

десять частин – децилі

сто частин – перцентилі

ДЕЦИЛІ
ПЕРЦЕНТИЛІ
Р а н ж о в а н а	с у к у п н і с т ь
МЕДІАНА
КВАРТИЛІ
Місце медіани, квартилей, децилей і перцентилей
в упорядкованому ряду даних
71

		5.3.2. Квартилі Qj –
	це значення варіант, які ділять упорядкований ряд
		на чотири рівні за обсягом частини
	Нижній квартиль Q1 –		Верхній квартиль Q3 –
	виділяє ¼ частину сукупності		виділяє ¼ частину сукупності
	з найменшими значеннями		з найбільшими значеннями
	ознаки		ознаки
		m		m
		0,25∑ f j − cumfQ −1	0,75∑ f j − cumfQ −1
		1		3
	Q1 = x0 + h	1	Q3 = x0 + h	1
		fQ		fQ
		1		3
	де х0 – нижня межа квартильного інтервалу;
	h – ширина квартильного інтервалу;
	fQ – частота квартильного інтервалу;
	сumfQ–1 – кумулятивна частота передквартильного

	5.3.3. Децилі Dj			–
це значення варіант, які ділять упорядкований ряд
на десять рівних за обсягом частин
Перший дециль D1 –			Дев’ятий дециль D9 –
ділить сукупність у			ділить сукупність у
співвідношенні 1/10 до 9/10		співвідношенні 9/10 до 1/10
	m				m
	0,1∑ f j − cumfD −1				0,9∑ f j − cumfD −1
	1					9
D1 = x0 + h	1	D	= x	+ h	1
	fD	9	0		f
						D
	1
						9
де х0 – нижня межа децильного інтервалу;
h – ширина децильного інтервалу;
fD – частота децильного інтервалу;
cumfD–1 – кумулятивна частота переддецильного інтервалу

72

5.4.Вимірювання варіації

5.4.1.Абсолютні міри варіації характеризують

коливання, різноманітність, змінюваність значень ознаки в межах сукупності

Варіаційний розмах		Визначають також розмах:
R = xmax − xmin		квартильний	RQ = Q3 − Q1 ;
характеризує діапазон варіації		децильний	RD = D9 − D1

Узагальнюючі міри варіації

Середнє лінійне

Дисперсія

Середнє квадратичне

відхилення

(середній квадрат

(стандартне)

відхилення

m

відхилень)

m

∑

x j −

f j

∑( x

2

x

−

)

f

m

2

j

x

j

1

m

∑( xj − x)

f j

у = 1

= у2

l =

∑ f j

у2 =

1

m

∑ f j

m

1

∑ f j

1

Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення за

змістом ідентичні, проте у > l

За незгрупованими даними узагальнюючі міри варіації розраховуються за принципом простої середньої

Лінійне відхилення

Дисперсія

Стандартне

відхилення

n

n

2

n

∑

∑( xj −

2

x j −

x

)

∑( xj −

)

x

x

1

2

1

l =

у

=

у =

1

n

n

n

73

		5.4.2. Коефіцієнт варіації V
	характеризує ступінь варіації ознаки
	V
	визначається	відношенням абсолютних
		іменованих характеристик
		варіації до центра розподілу
	виражається	коефіцієнтом або в процентах
	застосовується	для порівняння варіації різних
		ознак або однієї ознаки в різних
		сукупностях
		Коефіцієнти варіації та диференціації

l

V l = x 100

лінійний

Vу = σ 100 x

квадратичний

VQ	=	Q	3 − Q 1
			2 Me

квартильний

V

	VD	=	D	9
			D 1

децильної

диференціації

	Якщо Vу ≤ 33 %,			R
	статистичну	VR	=
	сукупність				x			Показує кратність
		осциляції
	вважають							співвідношення
	однорідною, а							дев’ятого та першого
	середню –							децилів

74

		5.5. Характеристики форми розподілу
		5.5.1. Види розподілів
		Одновершинні		Багатовершинні
		(одномодальні)		(полімодальні)
		розподіли		розподіли
	f			f
		x					x
		Мо		Мо 1	Мо 2	Мо 3
			Багатовершинність свідчить про
			неоднорідний склад сукупності
		Одновершинні розподіли:
•	симетричні –
рівновіддалені від центра значення ознак
мають однакові частоти				f f		As = 0
•	асиметричні – з правосторонньою (As > 0)
та лівосторонньою (As < 0) асиметрією
						x
				x =	Mo =	Me
f		f				x − Mo
				Міра асиметрії Аs =
							у
		As > 0		As = 0 – симетричний
				розподіл;
	As < 0	x	х
				As < 0 – лівостороння
	x < Mo < Me	x > Mo > Me		асиметрія;
				As > 0 – правостороння
				асиметрія
		75

5.5.2. Момент розподілу – це середня арифметична величина з піднесених до k-го степеня відхилень (х – а)

					m		− a)k
					∑( x	j		f
								j
			µk =		1			.
						m
					∑ fj
						1
Залежно від величини а моменти поділяються на:
початкові (а = 0);
центральні (а =		);
	x				Степінь k визначає порядок моменту
умовні (х = const)

Для характеристики варіації та форми розподілу використовують центральні моменти розподілу 2-4-го порядку

	m				)k
	∑( x		−			f
		j		x
						j
µk =	1
		m

∑ fj

1

Центральний

Центральний

момент 2-го порядку

момент 3-го порядку

характеризує

м3 характеризує

варіацію

асиметрію розподілу

m

2

∑ ( x j −

)

fj

x

Мірою асиметрії є

µ

= σ 2 =

1

2

m

стандартизовани

∑ fj

й момент –

1

коефіцієнт

асиметрії

У симетричному розподілі

м3

As = у3

Аs = 0;

чим більша скошеність, тим більше значення Аs

f

Es > 3

Es < 3

x

Центральний момент 4-го порядку характеризує ексцес (крутизну) розподілу

Мірою ексцесу є стандартизований момент – коефіцієнт ексцесу

Es = м4

у4

У нормальному розподілі

Es = 3;

Es > 3 свідчить про гостровершинний розподіл;

Es < 3 – про плоско- вершинний розподіл

76

5.6. Оцінювання рівномірності (нерівномірності) розподілу, подібності структур і структурних зрушень

Оцінювання відмінностей двох розподілів у просторі чи в часі ґрунтується на порівнянні часток цих розподілів:

•частки розподілу елементів сукупності dj;

•частки розподілу значень ознаки Dj

Коефіцієнт концентрації –

узагальнююча міра відхилення розподілу від рівномірного

		1	m
	К =		∑	d j − D j	,
	2		j =1

0 ≤ K < 1.

У рівномірному розподілі К = 0 . Чим більший ступінь концентрації, тим більше

значення К

Коефіцієнти локалізації

оцінюють локалізацію значень ознаки в окремих складових сукупності

Lj = D j , d J

За рівномірного розподілу всі значення Lj =1. У разі локалізації значень в j-й складовій Lj > 1, і навпаки

Коефіцієнт подібності

(схожості) структур двох сукупностей

1 m

P = 1 − 2 ∑1 d j − d r .

Якщо структури однакові, Р = 1

Чим більше відхилення структур, тим менше значення Р

Коефіцієнт структурних

зрушень оцінює інтенсивність змін у структурі сукупності за певний період.

Найпоширеніший лінійний коефіцієнт

	m
	∑	d j1 − d j 0
ld =	1		,
		m

де dj1 і dj0 – частки відповідно поточного та базисного періоду; m – кількість складових сукупності

77

5.7. Види і взаємозв’язок дисперсій

Для ознак метричної шкали

Для альтернативної ознаки

m

2

у

2

= d1 d0 = d1 (1 − d1 ) ,

∑ ( x j −

)

x

fj

Дисперсія

де d1 – частка елементів

2

2

2

у

1

=

= x

− x

m

сукупності, яким властива

∑ fj

ознака;

1

d0 – частка решти елементів

Якщо сукупність розбито на групи за певною ознакою x, то для будь-якої іншої ознаки можна обчислити дисперсію як у цілому по сукупності, так і в кожній групі

n

∑( y j −

y)2

Загальна дисперсія

у2 =

Характеризує варіацію

1

ознаки уj навколо

n

загальної середньої

y

f j

Характеризує варіацію

Групова дисперсія

∑( y −

j )2

у2 =

y

ознаки уj навколо

1

групової середньої yj

f

j

m

Узагальнююча міра

Середня з групових

∑у2 fj

внутрішньогрупової

2 =

у

1

варіації

m

∑ fj

1

m

Характеризує варіацію

Міжгрупова дисперсія

∑(

yj

−

y

)2 fj

2

групових середніх yj

у

=

1

m

навколо загальної

∑ fj

1

середньої

y

Правило декомпозиції

Взаємозв’язок дисперсій

у 2

= у 2 + д2

(розкладання) варіації

78

САМОКОНТРОЛЬ

1.Закономірність розподілу характеризується:

1)межами варіації ознаки;

2)кількістю груп, складових сукупності;

3)частотами груп;

4)співвідношенням варіант і частот. Відповіді: 1; 2; 3; 4.

2.Закономірність розподілу як результат дії основних, спільних для всіх

елементів сукупності причин та умов проявляється: а) у кожному окремому елементі сукупності; б) у масовій сукупності в середньому.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) –.

3.Середня величина в ряду розподілу розраховується за формулою: а) середньої арифметичної простої; б) середньої арифметичної зваженої.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) –.

4.Мода в ряду розподілу:

а) найпоширеніше значення ознаки; б) найбільша частота.

Значення моди:

в) залежить від крайніх значень ознаки;

г) не залежить від цих її значень. Відповіді: 1) а, в; 2) б, в; 3) а, г; 4) б, г.

5.Медіана в ряду розподілу — це:

а) найпоширеніше значення ознаки; б) значення ознаки, яке поділяє ряд навпіл.

79

Значення медіани збігається із значенням середньої:

в) у симетричному розподілі; г) в асиметричному розподілі.

Відповіді: 1) а, в; 2) б, в; 3) а, г; 4) б, г.

6.Варіація – це:

а) різноманітність значень певної ознаки у статистичній сукупності; б) відмінності значень різних ознак в окремого елемента сукупності. Чи можна виміряти варіацію за згрупованими даними?

в) так;

г) ні.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

7.Якщо в ряду розподілу частоти замінити частками, то середня величина:

а) зміниться; б) не зміниться. Дисперсія:

в) зміниться; г) не зміниться.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

8.Середні значення ознаки у двох сукупностях однакові. Чи може бути різною варіація ознаки в цих сукупностях:

а) так; б) ні.

Середні значення у двох сукупностях різні. Чи може бути однаковою варіація ознаки у цих сукупностях?

в) так; г) ні.

Відповіді: 1) а, в; 2) б, в; 3) а, г; 4) б, г.

80