Hibnasci_Askirka_A5_2011_

Параўнаем значэнні tn са значэннем α для размеркавання Гауса пры P = 0,95 . З табл. 1 α = 2 і не залежыць ад колькасці вымярэнняў. З табл. 3 відаць, што значэнне tn залежыць ад колькасці вымярэнняў. Так, калі зроблена толькі 2 вымярэнні ( n −1 =1), то tn =12,7 , г.зн. хібнасць у 6 разоў перавышае хібнасць, знойдзеную з размеркавання Гауса. Пры павелічэнні n tn змяншаецца, але нават пры n =10 tn > α . Так як у нашых умовах лік вымярэнняў не

перавышае 10, то лепей карыстацца размеркаваннем Сцьюдзента, а не нармальным размеркаваннем. Тады давяральны інтэрвал вылічваецца па формуле:

	x = tn		å(xi − x)2	.		(23)
			n(n −1)

Неабходна звярнуць увагу на тое, што пры малых n tn вялікі, та-

му пры наяўнасці выпадковых хібнасцей неабходна зрабіць не меней 8-10 вымярэнняў.

ДАВЯРАЛЬНЫ ІНТЭРВАЛ
СЯРЭДНЕВКАДРАТЫЧНАЙ ХІБНАСЦІ
Пры малой колькасці вымярэнняў σ						з’яўляецца вельмі
				x
прыблізнай ацэнкай σm . Велічыня	σ		разглядаецца як выпадко-
		x
вая і для σm , у гэтым выпадку	можна					знайсці давяральны

інтэрвал, у якім яна знаходзіцца з зададзенай імавернасцю. Для гэтага ўводзіцца велічыня:

χ2 = nσ−2 1 σ2x .

m

Вядомы закон размеркавання гэтай велічыні. Ён носіць назву χ2 – размеркавання (хі-квадрат). Графік гэтага размеркавання прадстаўлены на малюнку 6. Функцыя размеркавання χ2 з’яўляецца

асіметрычнай, што асабліва яскрава выражаецца пры малых n . Для вялікіх n гэтае размеркаванне пераходзіць у нармальнае. З папярэдняга выразу вынікае:

21

sm = nc-2 1sx = gsx .

Мал. 6. c2 –размеркаванне

Карыстаючыся c2 –размеркаваннем, можна задаць акрэсленыя значэнні імавернасцей, пры якіх sm > g1sx або sm > g2sx . Пазначым іх адпаведна P1 і P2 , так як c2 –размеркаванне асіметрычнае, то хібнасці роўнай велічыні, але супрацьлеглага знаку не

роўнаімаверны. Гэта значыць, што калі P1 = P2 ,	то g1 ¹ g2 , г.зн.
давяральны інтэрвал, у якім утрымліваецца sm ,	не сіметрычны.

Значэнні g1 і g2 знаходзяцца па адпаведнай табліцы, разлічанай з c2 –размеркавання. У ёй дадзены значэнні g1 і g2 для зададзенай імавернасці P і ліку вымярэнняў n .

РАЎНАМЕРНАЕ РАЗМЕРКАВАННЕ

Калі счытваюць паказанні са шкалы вымяральных прыладаў, то ўзнікае хібнасць, звязаная з акругленнем ліка, якую можна разглядаць як выпадковую, хаця, згодна існуючай тэрміналогіі, яна з’яўляецца сістэматычнай. Вызначэнне адбываецца ў межах аднаго дзялення шкалы або паловы дзялення. Няхай цана дзялення прыбора роўна ω . Функцыя шчыльнасці выпадковых вымярэнняў у гэтым выпадку запішацца ў выглядзе:

22

ì 1		, a -	w	£ x £ a +	w		;
ï
f (x)= íw			2		2		(24)
ï0, x > a + w , x < a - w .
ï				2		2
î

Графік гэтай функцыі адлюстраваны на малюнку 7. Аналітычны запіс (24) выбіраецца такім чынам, каб f (x) задавальняла умове нарміроўкі (11).

	+ò∞	a+	ω	1
Сапраўды,		f (x)dx = ò	2		dx =1 .
	−∞	a−	ω w
			2

Мал. 7. Функцыя шчыльнасці выпадковых вымярэнняў

Размеркаванне, функцыя шчыльнасці якога вызначаецца выразам (24), называецца раўнамерным. Сярэднеквадратычную хібнасць для дадзенага размеркавання знойдзем па (13):

	a+	ω	1	(a - x)2 dx = w2		w
	s2 = ò	2			, s =		.
		ω w				3,4
	a−			12
		2

Ацэнім імавернасць таго, што шукаемая велічыня x ляжыць каля

значэння a у інтэрвале ад a - b w	да a + b w	, дзе β ≤1 і дадатнае.
2	2
23

Гэта імавернасць роўна плошчы прамавугольніка з бакамі ω1 і

βω , г.зн. роўна заштрыхаванай плошчы (малюнак 7). Калі неабходна задаць давяральную імавернасць 95% , то з гэтай імавернас-

цю x ляжыць у інтэрвале ад a − 0,95 ω2 да a + 0,95 ω2 . У гэтым выпадку можна гаварыць пра максімальную хібнасць. Яна не пе-

равышае ω2 . Для секундамера неабходна прыняць ω2 = 0,20 с, для штангенцыркуля – ω2 = 0,10 мм, для мікрометра ω2 = 0,010 мм.

СПОСАБЫ РАЗЛІКУ ХІБНАСЦЕЙ ПРАМЫХ ВЫМЯРЭННЯЎ

У любой рабоце мы маем дачыненне з велічынямі, якія вымяраюцца непасрэдна, г.зн. значэнні гэтых велічынь адлічваюцца па шкале вымяральнай прылады. Такія вымярэнні называць прамымі. Хібнасці вымярэнняў могуць быць разнастайнага кшталту: хібнасць прылады, хібнасць акруглення і іншыя сістэматычныя і выпадковыя хібнасці. Могуць быць выпадкі, калі адзін з гэтых тыпаў хібнасцей перавышае ўсе астатнія. У гэтым выпадку неабходна вызначыць толькі тую, якая дае галоўны ўнёсак у хібнасць вымярэнняў. Разгледзім, як улічваецца кожная хібнасць паасобку.

1. Сістэматычныя хібнасці.

Як пазбавіцца ад сістэматычных хібнасцей, звязаных з методыкай доследа (сіла трэння, кантактная рознасць патэнцыялаў і г.д.) у асноўным указваецца ў апісаннях работ. Ад сістэматычных хібнасцей, звязаных з выкарыстаннем прылад, неабходна пазбаўляцца самастойна. Так, неабходна правільна ўсталяваць прыладу, праверыць палажэнне нулявога адліку. Калі нуль прыбора збіты, то неабходна гэта ўсталяваць або ўносіць адпаведную папраўку ў вымярэнні.

Калі адлічваем паказанні са шкалы прыладаў, то ўзнікае сістэматычная хібнасць, абумоўленая хібнасцю прылады і хібнасцю акруглення. Мы вымушаныя акругляць да цэлага самага дробнага дзялення шкалы або яго паловы. У выпадку акруглення лічым, што

24

= 0,10 мм; β = 0,95 і шукаемае значэнне h ля-

сістэматычная хібнасць мае раўнамернае размеркаванне. Разгледзім прыклад ацэнкі хібнасці акруглення. Вымярэнне штангенцыркулем вышыні металічнага цыліндра дало наступныя вынікі:

h , см

2,71

2,71

2,71

2,71

2,71

У гэтым выпадку функцыя размеркавання мае выгляд (24). Для штангенцыркуля ω2

жыць у межах h = (2,71 ± 0,01)см.

Хібнасць прылады ўказваецца ў пашпарце, які дадаецца да прылады, або на шкале прылады маецца умоўны знак, які характэрызуе яго дакладнасць.

Звычайна, калі ўказваецца хібнасць прылады δ , то пад гэтай велічынёй разумеюць палову інтэрвала, унутры якога можа быць заключаная вымяраемая велічыня з дакладнасцю 0,999. Але, як правіла, невядомы выгляд функцыі размеркавання. Можна прыняць, што гэта функцыя падпарадкоўваецца нармальнаму размеркаванню. У гэтым ёсць вядомае дапушчэнне, але іншага выйсця няма, таму што аперацыя ўсталявання віду функцыі размеркавання хібнасці прылады патрабуе шмат часу. Тады σnp = δ3 (25), таму

што ў выпадку нармальнага размеркавання менавіта 3δ складае палову інтэрвала, які адпавядае давяральнай імавернасці 0,999. Разам з хібнасцю, якая ўказваецца ў пашпарце, пры зняцці паказанняў са шкалы электравымяральных прылад узнікае хібнасць акруглення, якая мае раўнамерную функцыю размеркавання (24). Пры ацэнцы агульнай хібнасці ў гэтым выпадку неабходна карыстацца выразам:

=	2	2	2	,	(26)
	акр + α		σnp

25

дзе Dакр = b w2 – хібнасць акруглення ( β = 0,95 ), snp –вызначаецца па формуле (25), α = 2 .

Прыклады:

Сіла тока вымяраецца амперметрам. Яго шкала мае дыяпазоны

0,25; 0,50; 1,0 А. Клас дакладнасці 0,50, шкала разбіта на 100 дзяленняў праз 1. Возьмем дыяпазон 0,50 А. Ацэнім максімальную хібнасць акруглення, улічваючы, што можам здымаць паказанні з дакладнасцю да 12 дзялення шкалы:

Dакр = 0,0025А (паложым β =1 ).

Па класу дакладнасці d = 0,5 × 0,5 = 0,0025 А. 100

Бычым, што snp у гэтым выпадку складае 13 ад хібнасці акруглення. Поўную хібнасць разлічваем па (26):

D= (25 ×10−4 )2 + 94 (25 ×10−4 )2 = 0,0030 А.

Угэтым выпадку ўлік хібнасці прылады прывёў да нязначнага па-

велічэння

агульнай

хібнасці.

Для дыяпазона 1 А маем

Dакр =

1

= 0,005 А,

2 ×100

d =

0,5 ×1

= 0,005 А, D =

(5 ×10−3 )2

+

4

(5 ×10−3 )2

= 0,0060 А.

100

9

З дадзенага прыкладу бачна, што ацэньваючы хібнасць электравымяральных прыладаў толькі па класу дакладнасці мы заніжаем рэальную хібнасць. Аднак, ёсць і такія выпадкі, калі адна з хібнасцей значна пераўзыходзіць другую.

Напружанне вымяраецца вольтметрам. Ён разлічаны на 250 В,

шкала мае 100 дзяленняў праз 1, клас дакладнасці 0,2.

	Dакр =	250	=1,25 В; d =		0,2 × 250	= 0,50 В.
		2 ×100		100
	Гэта значыць, што Dакр			> d і за хібнасць вымярэння неабходна

ўзяць 1,25 В, а не 0,5 В. Тады:

26

= (1,25)2 + 94 (0,5)2 =1,30 В,

што можна атрымаць акругленнем 1,25 В. Гэта значыць, калі адна

зхібнасцей у 3 разы меншая за другую, то яе можна адкінуць. У гэтым выпадку поўная хібнасць прылады роўна хібнасці акруглення.

На якасных вымяральных прыладах цана дзялення шкалы ўзгоднена з класам дакладнасці. У гэтым выпадку за агульную хібнасць можна ўзяць хібнасць, вызначаную з класу дакладнасці. Сістэматычныя хібнасці апісанага вышэй тыпу не могуць быць выключаныя, але ацэнку іх велічыні мы заўсёды можна зрабіць.

Сістэматычныя хібнасці, звязаныя з уласцівасцямі вымяральнага аб’екта, могуць быць ацэненыя па формулах для падліку выпадковай хібнасці. Напрыклад, вымярэнні дыяметра дроту мікраметрам

здакладнасцю 0,010 мм у 10 месцах далі наступныя вынікі:

h , мм

1,57

1,54

1,51

1,50

1,58

1,52

1,50

1,54

1,54

1,56

Раскіданасць паміж асобнымі значэннямі болей дакладнасці вымярэння, таму, дрот неаднародны па сячэнню. Калі вымярэнні паказваюць, што велічыня дыяметра адвольна змяняецца па даўжыні дроту, то можна лічыць, што дыяметр з’яўляецца выпадковай велічынёй, якая мае размеркаванне Сцьюдзента або нармальнае. У

гэтым выпадку гавораць, што сістэматычная хібнасць пераведзе-

27

на ў выпадковую. У разліковую формулу падстаўляюць сярэдняе значэнне дыяметра. Хібнасць у вызначэнні дыяметра падлічваецца па формуле (23).

Выпадковыя хібнасці няцяжка вылічыць, калі вядома функцыя размеркавання. У большасці выпадкаў яе выгляд невядомы. Існуюць прыёмы, якія дазваляюць ацаніць, наколькі добра атрыманы набор вымярэнняў задавальняе нармальнаму размеркаванню. У студэнцкім практыкуме гэтыя ацэнкі праводзіць немэтазгодна. Дамовімся лічыць, што выпадковыя хібнасці доследа падпарадкоўваюцца нармальнаму закону размеркавання (давяральны інтэрвал разлічваецца з прымяненнем каэфіцыентаў Сцьюдзента).

ЛІК ЗНАКАЎ ПРЫ РАЗЛІКАХ

Пры малой колькасці вымярэнняў x і σx самі з’яўляюцца выпадковымі велічынямі. Падлік давяральнага інтэрвала для σ паказвае, што пры 10 вымярэннях σx вызначаецца хібнасць у 30% . Таму, неабходна для σx прыводзіць адну знакавую лічбу, калі яна большая за 3, і дзве, калі першая з іх меншая за 4. Напрыклад, калі σx = 0,523 , то прыводзім адну лічбу σx = 0,5 , калі σx = 0,124 , то неабходна пакідаць дзве знакавыя лічбы σx = 0,12 .

АДНОСНАЯ ХІБНАСЦЬ

Для ацэнкі дакладнасці вымярэнняў уводзіцца паняцце адноснай хібнасці ε , якая роўна адносіне абсалютнай хібнасці да значэння выніка вымярэння, г.зн. да x :

ε = xx .

ХІБНАСЦІ ЎСКОСНЫХ ВЫМЯРЭННЯЎ

У большасці выпадкаў прадстаўляе цікавасць велічыня, якая не вымяраецца непасрэдна ў доследзе, але якую можна выразіць як функцыю непасрэдна вымяраемых велічынь. У гэтым выпадку гавораць пра ўскосныя вымярэнні. Спосабы разліку хібнасці ў- скосных вымярэнняў, выкладзеныя ніжэй, маюць толькі арыента-

28

цыйны характар. У рамках студэнцкага практыкуму дастаткова лічыць, што вымяраемая велічыня мае прамавугольнае размеркаванне або размеркаванне Сцьюдзента шчыльнасці імавернасці, а любая функцыя вымяраемых велічынь мае размеркаванне Сцьюдзента. У гэтым выпадку давяральную імавернасць функцыі можна лічыць супадаючай з давяральнай імавернасцю вымяраемых велічынь.

Разгледзім спачатку выпадак адной пераменнай. Няхай шукаемая велічыня z = f (x), x вымяраецца непасрэдна. Тады, можна знайс-

ці x і x . Няхай x = a – праўдзівае значэнне x . Тады, z = f (a) – праўдзівае значэнне z . Раскладзём f (x) у рад Тэйлара каля a . Пры раскладанні абмяжуемся толькі лінейным членам:

f (x)= f (a)+

æ df

ö

(x - a)+ ...

ç

÷

або

è dx øx=a

f (x)- f (a)=

æ df

ö

(x - a)+ ....

ç

÷

è dx øx=a

Усярэднім гэтую роўнасць па ўсіх x :

æ df ö

[f (x)- f (a)]= ç

÷

(x - a)+ ... ,

è dx øx=a

узвядзём у квадрат:

ö2

2

æ df

2

[f (x)- f (a)]

= ç

÷

(x - a)

+ ... .

è dx

øx=a

Згодна (12) і (15):

[f (x)- f (a)]2 = s2z ; (x - a)2 = s2x .

Тады:

ö2

2

æ df

2

sz

= ç

÷

sx .

è dx øx=a

x невядома. У якасці найлепшага

Праўдзівае

значэнне

прыбліжэння бярэм a = x , sx

замяняем на x . Атрымоўваем:

29

æ df ö
Dz = ç		÷		Dx .	(27)
è dx ø
			x

x

падлічваем па (23). Тады z = f (x)± Dz з той жа давяральнай

імавернасцю,

з

якой

было

падлічана

x .

Адносная хібнасць

e =

Dz

.

z

пераменных: z = f (x, y). Праўдзівыя

Разгледзім

выпадак дзвюх

значэнні

x = a ,

y = b . Робім аналагічна выпадку адной перамен-

най:

f (x, y)= f (a,b)+

æ df ö

(x - a)+

æ df ö

(y

- b)+ ...

ç

÷

ç

÷

è dx øa

ç

÷

або

è dy øb

f (x, y)- f (a,b)=

æ df ö

(x - a)+

æ df ö

(y

- b)+ ... ,

ç

÷

ç

÷

è dx øa

ç

÷

è dy øb

2

æ df

ö2

2

æ df

ö

2

2

[f (x, y)- f (a,b)]

= ç

÷

(x - a)

+ ç

÷

(y - b)

+

è dx øa

ç

÷

è dy

øb

æ df ö

æ df

ö

+ 2ç

÷

ç

÷ (x - a)(y - b)

+ ... .

ç

÷

è dx øa è dy

øb

x

і y незалежныя.

Апошні член роўны нулю, таму што хібнасці

Маем, палажыўшы x = a ,

y = b :

2

æ df ö2

2

æ df ö2

2

ç

÷

(28)

sz

= ç

÷

sx +

ç

÷ s y .

è dx ø

è dy ø

x

y

Замяняем s

на

x , s

на

y .

x

y

Значэнні

x

і

y

разлічваем па (23) для давяральнай імавернасці

95% . Тады:

æ df ö

2

2

æ df ö2

2

Dz =

ç

÷

(Dx)

+ ç

÷

(Dy)

.

(29)

ç

÷

è dx ø

è dy ø

x

y

30